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====== 第四章 摩擦 ======

===== 4.1 引言 =====

在前面的章节中，我们假设物体间的接触面是绝对光滑的，约束力沿接触面公法线方向。然而，实际物体的接触面都存在不同程度的粗糙性，当两物体有相对滑动或滑动趋势时，接触面间会产生阻碍相对滑动的力，这就是**摩擦力**（Friction Force）。

摩擦是自然界和工程中普遍存在的现象。在某些情况下，摩擦是有害的，如机械磨损、能量损耗；但在更多情况下，摩擦是必不可少的，如行走、制动、夹持等。研究摩擦规律对于工程设计和日常生活都具有重要意义。

本章将系统介绍滑动摩擦、滚动摩擦的基本理论，以及摩擦角、自锁等重要概念。

===== 4.2 滑动摩擦 =====

==== 4.2.1 静滑动摩擦 ====

**定义**：当两物体接触面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止时，接触面间产生的摩擦力称为**静滑动摩擦力**，简称**静摩擦力**。

**特点**：
  * 方向：与相对滑动趋势方向相反
  * 大小：由平衡条件确定，在一定范围内变化
  * 最大值：$F_{s,max} = f_s F_N$

其中 $f_s$ 为**静摩擦因数**，$F_N$ 为法向约束力。

**静摩擦定律（库仑定律）**：

最大静摩擦力与法向约束力成正比：
$$F_{s,max} = f_s F_N$$

静摩擦因数 $f_s$ 取决于接触材料的性质和表面状况，与接触面积无关。

==== 4.2.2 动滑动摩擦 ====

**定义**：当两物体接触面间发生相对滑动时，接触面间产生的摩擦力称为**动滑动摩擦力**，简称**动摩擦力**。

**动摩擦定律**：
$$F_d = f_d F_N$$

其中 $f_d$ 为**动摩擦因数**，通常 $f_d < f_s$。

**动摩擦力的特点**：
  * 方向与相对滑动方向相反
  * 大小近似为常数（在一定速度范围内）
  * 一般小于最大静摩擦力

==== 4.2.3 摩擦力与水平推力的关系 ====

当水平力 $F$ 逐渐增大时，摩擦力 $F_f$ 的变化规律：

  * 当 $F = 0$ 时，$F_f = 0$
  * 当 $0 < F < F_{s,max}$ 时，$F_f = F$（静摩擦，物体静止）
  * 当 $F = F_{s,max}$ 时，物体处于临界状态
  * 当 $F > F_{s,max}$ 时，物体滑动，$F_f = f_d F_N < F$

==== 4.2.4 摩擦因数的测定 ====

**静摩擦因数测定**：

将物体置于可倾斜的平面上，逐渐增大倾角 $\alpha$，当物体即将下滑时：
$$f_s = \tan\alpha_{max}$$

**动摩擦因数测定**：

使物体在斜面上匀速下滑，此时：
$$f_d = \tan\alpha$$

===== 4.3 摩擦角与自锁 =====

==== 4.3.1 摩擦角 ====

当静摩擦力达到最大值时，全约束力（法向约束力与最大静摩擦力的合力）与法线间的夹角称为**摩擦角**，记作 $\varphi_f$。

$$\tan\varphi_f = \frac{F_{s,max}}{F_N} = \frac{f_s F_N}{F_N} = f_s$$

因此：
$$\varphi_f = \arctan f_s$$

**摩擦锥**：

以接触面法线为轴，以 $2\varphi_f$ 为顶角的圆锥称为**摩擦锥**。若主动力的合力作用线在摩擦锥内，则无论该力多大，物体都保持静止。

==== 4.3.2 自锁现象 ====

**定义**：如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角之内，则无论这个力多大，物体都保持静止，这种现象称为**自锁**（Self-locking）。

**自锁条件**：
$$\alpha \leq \varphi_f$$

其中 $\alpha$ 为主动力合力与法线的夹角。

**工程应用**：
  * 螺旋千斤顶的设计利用自锁原理
  * 楔块夹紧装置
  * 螺纹联接的自锁条件：螺纹升角小于摩擦角

===== 4.4 考虑摩擦的平衡问题 =====

==== 4.4.1 解题方法 ====

考虑摩擦的平衡问题有两类：

**类型1**：判断物体是否平衡，求摩擦力或摩擦因数

**类型2**：求物体的平衡范围

**解题步骤**：

  1. 选取研究对象，画受力图
  2. 建立坐标系，列平衡方程
  3. 补充摩擦方程（$F_f \leq f_s F_N$ 或 $F_f = f_s F_N$）
  4. 联立求解

==== 4.4.2 摩擦力的方向判定 ====

  * 若物体的滑动趋势明显，摩擦力方向与趋势相反
  * 若趋势不明显或有两种可能，需分别讨论
  * 对于复杂问题，可先假设方向，由结果正负判断实际方向

===== 4.5 滚动摩擦 =====

==== 4.5.1 滚动摩擦的概念 ====

当一个物体在另一个物体表面滚动时，由于接触面的变形，会产生阻碍滚动的阻力，称为**滚动摩阻力**。

与滑动摩擦不同，滚动摩擦主要是由于接触区的变形引起的，而非接触面间的相对滑动。

==== 4.5.2 滚动摩阻定律 ====

设滚子半径为 $R$，正压力为 $F_N$，水平拉力为 $F$。

由于接触区变形，正压力分布不对称，其合力向前偏移距离 $\delta$。

**滚动摩阻定律**：
$$M_f = \delta F_N$$

其中 $\delta$ 为**滚动摩阻系数**，具有长度量纲，单位为 mm 或 cm。

**使物体滚动所需的最小水平力**：
$$F_{min} = \frac{\delta}{R} F_N$$

==== 4.5.3 滚动与滑动的比较 ====

通常情况下：
$$\frac{\delta}{R} \ll f_s$$

这意味着使物体滚动所需的力远小于使其滑动所需的力。这就是使用轮子和滚珠轴承的原因。

===== 4.6 典型例题 =====

==== 例题4.1 斜面上的物体 ====

重 $P = 500 \text{ N}$ 的物块放在倾角 $\alpha = 30°$ 的斜面上，物块与斜面间的静摩擦因数 $f_s = 0.3$。

  * (a) 判断物块是否静止
  * (b) 若静止，求摩擦力的大小
  * (c) 使物块下滑的最小倾角

**解答**：

**(a) 判断静止状态**

假设物块静止，沿斜面方向：
$$F_f = P\sin\alpha = 500 \times \sin30° = 250 \text{ N}$$

法向：
$$F_N = P\cos\alpha = 500 \times \cos30° = 433 \text{ N}$$

最大静摩擦力：
$$F_{s,max} = f_s F_N = 0.3 \times 433 = 130 \text{ N}$$

由于所需摩擦力 $250 \text{ N} > F_{s,max} = 130 \text{ N}$，物块将下滑。

**(b) 滑动时的摩擦力**

物块滑动，动摩擦力（设 $f_d = 0.25$）：
$$F_d = f_d F_N = 0.25 \times 433 = 108.3 \text{ N}$$

**(c) 最小下滑倾角**

当 $\tan\alpha = f_s$ 时，物块处于临界状态：
$$\alpha_{min} = \arctan f_s = \arctan 0.3 = 16.7°$$

==== 例题4.2 楔形滑块 ====

楔形滑块 $A$ 放在水平面 $B$ 上，滑块重 $P$，两侧面与铅垂方向夹角均为 $\alpha$。在滑块上作用铅垂力 $Q$，两侧面对滑块有水平压力。已知各接触面静摩擦因数均为 $f_s$，求推动滑块所需的最小水平力 $F$。

**解答**：

设两侧面的法向压力均为 $F_N$，摩擦力均为 $F_f$。

竖直方向平衡：
$$2F_N\cos\alpha + 2F_f\sin\alpha = P + Q$$

水平方向平衡：
$$F = 2F_f\cos\alpha + 2F_N\sin\alpha$$

临界状态时 $F_f = f_s F_N$：

由竖直方程：
$$2F_N(\cos\alpha + f_s\sin\alpha) = P + Q$$
$$F_N = \frac{P + Q}{2(\cos\alpha + f_s\sin\alpha)}$$

代入水平方程：
$$F = 2f_s F_N\cos\alpha + 2F_N\sin\alpha = 2F_N(f_s\cos\alpha + \sin\alpha)$$

$$F = \frac{(P + Q)(f_s\cos\alpha + \sin\alpha)}{\cos\alpha + f_s\sin\alpha}$$

==== 例题4.3 制动器设计 ====

图示制动装置，轮 $O$ 半径 $R = 0.3 \text{ m}$，鼓轮半径 $r = 0.1 \text{ m}$，制动块与轮间静摩擦因数 $f_s = 0.4$。重物 $P = 500 \text{ N}$ 悬挂于鼓轮。求制动所需的最小力 $F$。

**解答**：

**鼓轮平衡**：
$$P \cdot r = F_f \cdot R$$
$$F_f = \frac{P \cdot r}{R} = \frac{500 \times 0.1}{0.3} = 166.7 \text{ N}$$

所需法向压力：
$$F_f \leq f_s F_N \Rightarrow F_N \geq \frac{F_f}{f_s} = \frac{166.7}{0.4} = 416.7 \text{ N}$$

**制动杆平衡**（对铰链取矩）：
$$F \cdot L = F_N \cdot a$$

若 $L = 0.5 \text{ m}$，$a = 0.1 \text{ m}$：
$$F = \frac{F_N \cdot a}{L} = \frac{416.7 \times 0.1}{0.5} = 83.3 \text{ N}$$

==== 例题4.4 螺纹自锁条件 ====

证明：螺纹的自锁条件是螺纹升角 $\lambda$ 小于或等于摩擦角 $\varphi_f$。

**解答**：

将螺纹展开成斜面，斜面倾角即为螺纹升角 $\lambda$。

螺母相当于斜面上的滑块，拧紧螺母相当于将滑块推上斜面。

松开螺母时，相当于滑块在重力作用下沿斜面下滑。

由斜面自锁条件，当螺纹升角：
$$\lambda \leq \varphi_f = \arctan f_s$$

时，无论轴向载荷多大，螺母都不会自动松脱，实现自锁。

==== 例题4.5 滚动摩擦计算 ====

车轮直径 $D = 0.6 \text{ m}$，载荷 $P = 5000 \text{ N}$，滚动摩阻系数 $\delta = 0.5 \text{ mm}$。求使车轮滚动所需的最小水平力，并与滑动所需的最小力比较（设 $f_s = 0.3$）。

**解答**：

**滚动所需最小力**：
$$F_{滚动} = \frac{\delta}{R} P = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{0.3} \times 5000 = 8.33 \text{ N}$$

**滑动所需最小力**：
$$F_{滑动} = f_s P = 0.3 \times 5000 = 1500 \text{ N}$$

**比较**：
$$\frac{F_{滑动}}{F_{滚动}} = \frac{1500}{8.33} = 180$$

滚动所需力仅为滑动的 $1/180$。

===== 4.7 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 4.1**
重 $P = 300 \text{ N}$ 的物块放在水平面上，静摩擦因数 $f_s = 0.4$。求：
  * (a) 使物块开始滑动的最小水平力
  * (b) 当作用力与水平成 $30°$ 斜向上时，使物块滑动的最小力

**习题 4.2**
重 $P$ 的物块放在倾角 $\alpha$ 的斜面上，摩擦因数为 $f_s$。求使物块保持静止时，水平推力 $F$ 的取值范围。

**习题 4.3**
如图所示，杆 $AB$ 长 $L$，重 $P$，$A$ 端靠在铅垂墙上，$B$ 端放在水平地面上。各处摩擦因数均为 $f_s$。求杆处于平衡时，杆与水平面的最大夹角 $\theta$。

**习题 4.4**
鼓轮半径 $R = 0.2 \text{ m}$，轴半径 $r = 0.05 \text{ m}$，重物 $P = 200 \text{ N}$ 悬挂于轴上。制动块与鼓轮间摩擦因数 $f_s = 0.3$。求制动所需最小力 $F$（制动杆尺寸如图所示）。

==== 提高题 ====

**习题 4.5**
均质杆 $AB$ 长 $2L$，重 $P$，放在半径为 $R$ 的半圆柱面上，摩擦因数为 $f_s$。求平衡时杆与水平面的最大夹角 $\theta$。

**习题 4.6**
楔形块 $A$、$B$ 叠放在水平面上，$A$ 重 $P_1$，$B$ 重 $P_2$。在 $A$ 上作用水平力 $F$。各接触面摩擦因数均为 $f_s$。分析 $A$、$B$ 的运动情况，求各种情况下 $F$ 的值。

**习题 4.7**
设计一螺旋千斤顶，要求：
  * 起重量 $Q = 50 \text{ kN}$
  * 螺杆中径 $d_2 = 40 \text{ mm}$
  * 螺纹升角 $\lambda = 4°$
  * 摩擦因数 $f_s = 0.1$

  验证是否满足自锁条件，计算所需扳手力矩。

==== 挑战题 ====

**习题 4.8**
皮带绕过圆柱，包角为 $\alpha$，皮带与圆柱间摩擦因数为 $f_s$。证明皮带两端的张力关系（欧拉公式）：
$$\frac{F_{T2}}{F_{T1}} = e^{f_s \alpha}$$
其中 $F_{T2} > F_{T1}$，$\alpha$ 以弧度计。

**习题 4.9**
分析汽车驱动轮的运动。设驱动轮受发动机力矩 $M$，车轮半径 $R$，车重分配在驱动轮上的载荷为 $P$，摩擦因数为 $f_s$。求：
  * 不打滑的最大驱动力
  * 车轮开始打滑的条件
  * 分析驱动力与摩擦力的关系

**习题 4.10**
证明：对于任意形状的表面接触，当主动力合力的作用线通过摩擦锥时，物体处于自锁状态。讨论摩擦锥概念在机器人抓取设计中的应用。

===== 4.8 本章小结 =====

本章核心内容：

  * **滑动摩擦**：
    - 静摩擦：$0 \leq F_f \leq F_{s,max} = f_s F_N$
    - 动摩擦：$F_d = f_d F_N$，通常 $f_d < f_s$
    - 方向：与相对滑动（趋势）方向相反

  * **摩擦角与自锁**：
    - 摩擦角：$\tan\varphi_f = f_s$
    - 自锁条件：主动力作用线在摩擦锥内
    - 工程应用：螺纹、楔块、夹紧装置

  * **滚动摩擦**：
    - 滚动摩阻：$M_f = \delta F_N$
    - 滚动摩阻系数 $\delta$ 具有长度量纲
    - 滚动比滑动省力得多

  * **解题要点**：
    - 正确判断滑动趋势，确定摩擦力方向
    - 区分静摩擦（平衡）和临界状态（$F_f = f_s F_N$）
    - 注意多点接触时各点摩擦力的协调

**常见材料的摩擦因数参考值**：

^ 材料组合 ^ 静摩擦因数 $f_s$ ^ 动摩擦因数 $f_d$ ^
| 钢-钢 | 0.15-0.3 | 0.1-0.2 |
| 钢-铸铁 | 0.2-0.3 | 0.15-0.2 |
| 钢-铜 | 0.15-0.25 | 0.1-0.15 |
| 木材-木材 | 0.4-0.6 | 0.2-0.4 |
| 橡胶-混凝土 | 0.6-0.8 | 0.5-0.7 |

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