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====== 第一章 矩阵与行列式 ======

===== 1.1 矩阵的概念与运算 =====

==== 1.1.1 矩阵的定义 ====

**定义 1.1（矩阵）**
由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i = 1, 2, \ldots, m$；$j = 1, 2, \ldots, n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$
称为 **$m \times n$ 矩阵**，简记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$。

**特殊矩阵：**
- **方阵**：$m = n$ 时，称为 $n$ 阶方阵
- **行矩阵（行向量）**：$m = 1$，即 $1 \times n$ 矩阵
- **列矩阵（列向量）**：$n = 1$，即 $m \times 1$ 矩阵
- **零矩阵**：所有元素为零的矩阵，记为 $O$
- **单位矩阵**：主对角线元素为 1，其余为 0 的方阵，记为 $E$ 或 $I$
  $$E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

==== 1.1.2 矩阵的线性运算 ====

**1. 矩阵的加法**

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$，则
$$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$$

**性质：**
- 交换律：$A + B = B + A$
- 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
- 零矩阵：$A + O = A$
- 负矩阵：$A + (-A) = O$

**2. 数与矩阵的乘法**

设 $k$ 是数，$A = (a_{ij})_{m \times n}$，则
$$kA = (ka_{ij})_{m \times n}$$

**性质：**
- $(kl)A = k(lA)$
- $(k + l)A = kA + lA$
- $k(A + B) = kA + kB$

==== 1.1.3 矩阵的乘法 ====

**定义 1.2（矩阵乘法）**
设 $A = (a_{ij})_{m \times s}$，$B = (b_{ij})_{s \times n}$，则 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C = AB$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，其中
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} \quad (i = 1, 2, \ldots, m; j = 1, 2, \ldots, n)$$

**注：** 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，才能相乘。

**例 1.1**
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}_{2 \times 3}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}_{3 \times 2}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 & 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}$$

**矩阵乘法的性质：**
- **结合律**：$(AB)C = A(BC)$
- **分配律**：$A(B + C) = AB + AC$，$(A + B)C = AC + BC$
- **数乘结合**：$k(AB) = (kA)B = A(kB)$
- **单位矩阵**：$AE = EA = A$

**注意：** 矩阵乘法**不满足交换律**！一般 $AB \neq BA$。

**例 1.2** 设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

显然 $AB \neq BA$。

**例 1.3** $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$

这说明：**$A \neq O, B \neq O$，但 $AB = O$**（非零矩阵的乘积可以为零）。

==== 1.1.4 矩阵的转置 ====

**定义 1.3（转置）**
将矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为 $A$ 的**转置矩阵**，记为 $A^T$ 或 $A'$。

若 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $A^T = (a_{ji})_{n \times m}$。

**性质：**
- $(A^T)^T = A$
- $(A + B)^T = A^T + B^T$
- $(kA)^T = kA^T$
- $(AB)^T = B^T A^T$
- 对称矩阵：$A^T = A$
- 反对称矩阵：$A^T = -A$

===== 1.2 行列式 =====

==== 1.2.1 行列式的定义 ====

**定义 1.4（$n$ 阶行列式）**
$n$ 阶行列式是由 $n^2$ 个数排成的 $n$ 行 $n$ 列的数表所确定的一个数：
$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$$

其中求和遍历 $1, 2, \ldots, n$ 的所有排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$，$\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)$ 是该排列的逆序数。

**低阶行列式：**

**二阶行列式：**
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

**三阶行列式（对角线法则）：**
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

==== 1.2.2 行列式的性质 ====

**性质 1：** 行列式与它的转置行列式相等，即 $D = D^T$。

**性质 2：** 互换行列式的两行（列），行列式变号。

**推论：** 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。

**性质 3：** 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以数 $k$，等于用 $k$ 乘此行列式。

$$\begin{vmatrix} ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{vmatrix}$$

**推论：** 若行列式有两行（列）元素成比例，则行列式为零。

**性质 4：** 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可拆成两个行列式之和。

$$\begin{vmatrix} \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots \end{vmatrix}$$

**性质 5：** 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

==== 1.2.3 行列式按行（列）展开 ====

**定义 1.5（余子式与代数余子式）**
在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的**余子式**，记为 $M_{ij}$。称 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的**代数余子式**。

**定理 1.1（行列式展开定理）**
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和：
$$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$
或
$$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$

**推论：** 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零：
$$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0 \quad (i \neq j)$$

**例 1.4** 计算行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

**解：** 按第二行展开：
$$\begin{aligned}
D &= 4 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\
&= -4(1 - 6) + 0 - 2(4 - 1) \\
&= -4(-5) - 2(3) \\
&= 20 - 6 = 14
\end{aligned}$$

===== 1.3 逆矩阵 =====

==== 1.3.1 逆矩阵的定义 ====

**定义 1.6（逆矩阵）**
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得
$$AB = BA = E$$
则称 $A$ 是**可逆的**，$B$ 称为 $A$ 的**逆矩阵**，记为 $A^{-1}$。

**定理 1.2（逆矩阵的唯一性）**
若 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。

**证明：** 设 $B, C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，则：
$$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$$

==== 1.3.2 伴随矩阵 ====

**定义 1.7（伴随矩阵）**
设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则矩阵
$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$
称为 $A$ 的**伴随矩阵**（注意：$A_{ij}$ 位于第 $j$ 行第 $i$ 列）。

**重要性质：**
$$AA^* = A^*A = |A|E$$

**证明：** 由行列式展开定理，$AA^*$ 的 $(i, j)$ 元为：
$$(AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} |A|, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} = |A|\delta_{ij}$$

==== 1.3.3 逆矩阵的求法 ====

**定理 1.3**
$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$，且
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$

**证明：** 
- **必要性：** 若 $A$ 可逆，则 $AA^{-1} = E$，取行列式得 $|A||A^{-1}| = 1$，故 $|A| \neq 0$。
- **充分性：** 若 $|A| \neq 0$，由 $AA^* = |A|E$，得 $A \cdot \frac{A^*}{|A|} = E$，故 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。

**例 1.5** 求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

**解：** $|A| = 4 - 6 = -2 \neq 0$，$A$ 可逆。

$A_{11} = 4, A_{12} = -3, A_{21} = -2, A_{22} = 1$

$$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

**验证：** $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ ✓

**逆矩阵的性质：**
- $(A^{-1})^{-1} = A$
- $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k \neq 0$）
- $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
- $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

===== 1.4 矩阵的秩 =====

==== 1.4.1 矩阵的初等变换 ====

**定义 1.8（初等变换）**
矩阵的以下三种变换称为**初等行（列）变换**：
1. 互换两行（列）的位置
2. 用非零数乘某一行（列）
3. 把某一行（列）的倍数加到另一行（列）上

**定义 1.9（初等矩阵）**
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为**初等矩阵**。

==== 1.4.2 矩阵的秩 ====

**定义 1.10（矩阵的秩）**
矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为 $A$ 的**秩**，记为 $R(A)$ 或 $rank(A)$。

**性质：**
- $0 \leq R(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$
- $R(A) = R(A^T)$
- 初等变换不改变矩阵的秩
- 若 $A$ 可逆，则 $R(AB) = R(B)$，$R(CA) = R(C)$

**例 1.6** 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 6 & 8 \end{pmatrix}$ 的秩。

**解：** 用初等行变换：
$$A \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

非零行有 2 行，故 $R(A) = 2$。

===== 1.5 典型例题 =====

**例题 1.1** 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^n$。

**解：** 
$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2\lambda & 1 \end{pmatrix}$$

猜测 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n\lambda & 1 \end{pmatrix}$，用数学归纳法证明。

**例题 1.2** 计算 $n$ 阶行列式 $D_n = \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$

**解：** 各列加到第一列：
$$D_n = [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 1 & x & a & \cdots & a \\ 1 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$$

各行减去第一行：
$$= [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{vmatrix} = [x + (n-1)a](x-a)^{n-1}$$

===== 1.6 习题 =====

**基础题**
1. 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$。

2. 计算下列行列式：
   (a) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$
   (b) $\begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix}$

**提高题**
3. 证明：若 $A$ 是对称矩阵，则 $A^2$ 也是对称矩阵。

4. 设 $A^2 = A$，证明 $E + A$ 可逆，并求 $(E + A)^{-1}$。

**挑战题**
5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* = A^T$，$|A| \neq 0$。证明 $|A| = \pm 1$。

6. 证明 Vandermonde 行列式：
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)$$

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