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线性代数:第一章_矩阵与行列式
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====== 第一章 矩阵与行列式 ====== ===== 1.1 矩阵的概念与运算 ===== ==== 1.1.1 矩阵的定义 ==== **定义 1.1(矩阵)** 由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$($i = 1, 2, \ldots, m$;$j = 1, 2, \ldots, n$)排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表 $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ 称为 **$m \times n$ 矩阵**,简记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$。 **特殊矩阵:** - **方阵**:$m = n$ 时,称为 $n$ 阶方阵 - **行矩阵(行向量)**:$m = 1$,即 $1 \times n$ 矩阵 - **列矩阵(列向量)**:$n = 1$,即 $m \times 1$ 矩阵 - **零矩阵**:所有元素为零的矩阵,记为 $O$ - **单位矩阵**:主对角线元素为 1,其余为 0 的方阵,记为 $E$ 或 $I$ $$E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ ==== 1.1.2 矩阵的线性运算 ==== **1. 矩阵的加法** 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$,$B = (b_{ij})_{m \times n}$,则 $$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$$ **性质:** - 交换律:$A + B = B + A$ - 结合律:$(A + B) + C = A + (B + C)$ - 零矩阵:$A + O = A$ - 负矩阵:$A + (-A) = O$ **2. 数与矩阵的乘法** 设 $k$ 是数,$A = (a_{ij})_{m \times n}$,则 $$kA = (ka_{ij})_{m \times n}$$ **性质:** - $(kl)A = k(lA)$ - $(k + l)A = kA + lA$ - $k(A + B) = kA + kB$ ==== 1.1.3 矩阵的乘法 ==== **定义 1.2(矩阵乘法)** 设 $A = (a_{ij})_{m \times s}$,$B = (b_{ij})_{s \times n}$,则 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C = AB$ 是一个 $m \times n$ 矩阵,其中 $$c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} \quad (i = 1, 2, \ldots, m; j = 1, 2, \ldots, n)$$ **注:** 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时,才能相乘。 **例 1.1** $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}_{2 \times 3}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}_{3 \times 2}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 & 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}$$ **矩阵乘法的性质:** - **结合律**:$(AB)C = A(BC)$ - **分配律**:$A(B + C) = AB + AC$,$(A + B)C = AC + BC$ - **数乘结合**:$k(AB) = (kA)B = A(kB)$ - **单位矩阵**:$AE = EA = A$ **注意:** 矩阵乘法**不满足交换律**!一般 $AB \neq BA$。 **例 1.2** 设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$,$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 显然 $AB \neq BA$。 **例 1.3** $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$,$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$ 这说明:**$A \neq O, B \neq O$,但 $AB = O$**(非零矩阵的乘积可以为零)。 ==== 1.1.4 矩阵的转置 ==== **定义 1.3(转置)** 将矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵,称为 $A$ 的**转置矩阵**,记为 $A^T$ 或 $A'$。 若 $A = (a_{ij})_{m \times n}$,则 $A^T = (a_{ji})_{n \times m}$。 **性质:** - $(A^T)^T = A$ - $(A + B)^T = A^T + B^T$ - $(kA)^T = kA^T$ - $(AB)^T = B^T A^T$ - 对称矩阵:$A^T = A$ - 反对称矩阵:$A^T = -A$ ===== 1.2 行列式 ===== ==== 1.2.1 行列式的定义 ==== **定义 1.4($n$ 阶行列式)** $n$ 阶行列式是由 $n^2$ 个数排成的 $n$ 行 $n$ 列的数表所确定的一个数: $$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$$ 其中求和遍历 $1, 2, \ldots, n$ 的所有排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$,$\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)$ 是该排列的逆序数。 **低阶行列式:** **二阶行列式:** $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$ **三阶行列式(对角线法则):** $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$ ==== 1.2.2 行列式的性质 ==== **性质 1:** 行列式与它的转置行列式相等,即 $D = D^T$。 **性质 2:** 互换行列式的两行(列),行列式变号。 **推论:** 若行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零。 **性质 3:** 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数 $k$,等于用 $k$ 乘此行列式。 $$\begin{vmatrix} ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{vmatrix}$$ **推论:** 若行列式有两行(列)元素成比例,则行列式为零。 **性质 4:** 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则可拆成两个行列式之和。 $$\begin{vmatrix} \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots \end{vmatrix}$$ **性质 5:** 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。 ==== 1.2.3 行列式按行(列)展开 ==== **定义 1.5(余子式与代数余子式)** 在 $n$ 阶行列式中,把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后,留下来的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的**余子式**,记为 $M_{ij}$。称 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的**代数余子式**。 **定理 1.1(行列式展开定理)** 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和: $$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$ 或 $$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$ **推论:** 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零: $$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0 \quad (i \neq j)$$ **例 1.4** 计算行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ **解:** 按第二行展开: $$\begin{aligned} D &= 4 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -4(1 - 6) + 0 - 2(4 - 1) \\ &= -4(-5) - 2(3) \\ &= 20 - 6 = 14 \end{aligned}$$ ===== 1.3 逆矩阵 ===== ==== 1.3.1 逆矩阵的定义 ==== **定义 1.6(逆矩阵)** 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,若存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $$AB = BA = E$$ 则称 $A$ 是**可逆的**,$B$ 称为 $A$ 的**逆矩阵**,记为 $A^{-1}$。 **定理 1.2(逆矩阵的唯一性)** 若 $A$ 可逆,则其逆矩阵唯一。 **证明:** 设 $B, C$ 都是 $A$ 的逆矩阵,则: $$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$$ ==== 1.3.2 伴随矩阵 ==== **定义 1.7(伴随矩阵)** 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵,$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式,则矩阵 $$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$ 称为 $A$ 的**伴随矩阵**(注意:$A_{ij}$ 位于第 $j$ 行第 $i$ 列)。 **重要性质:** $$AA^* = A^*A = |A|E$$ **证明:** 由行列式展开定理,$AA^*$ 的 $(i, j)$ 元为: $$(AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} |A|, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} = |A|\delta_{ij}$$ ==== 1.3.3 逆矩阵的求法 ==== **定理 1.3** $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$,且 $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$ **证明:** - **必要性:** 若 $A$ 可逆,则 $AA^{-1} = E$,取行列式得 $|A||A^{-1}| = 1$,故 $|A| \neq 0$。 - **充分性:** 若 $|A| \neq 0$,由 $AA^* = |A|E$,得 $A \cdot \frac{A^*}{|A|} = E$,故 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。 **例 1.5** 求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。 **解:** $|A| = 4 - 6 = -2 \neq 0$,$A$ 可逆。 $A_{11} = 4, A_{12} = -3, A_{21} = -2, A_{22} = 1$ $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ **验证:** $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ ✓ **逆矩阵的性质:** - $(A^{-1})^{-1} = A$ - $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$($k \neq 0$) - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ - $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ - $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ===== 1.4 矩阵的秩 ===== ==== 1.4.1 矩阵的初等变换 ==== **定义 1.8(初等变换)** 矩阵的以下三种变换称为**初等行(列)变换**: 1. 互换两行(列)的位置 2. 用非零数乘某一行(列) 3. 把某一行(列)的倍数加到另一行(列)上 **定义 1.9(初等矩阵)** 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为**初等矩阵**。 ==== 1.4.2 矩阵的秩 ==== **定义 1.10(矩阵的秩)** 矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为 $A$ 的**秩**,记为 $R(A)$ 或 $rank(A)$。 **性质:** - $0 \leq R(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$ - $R(A) = R(A^T)$ - 初等变换不改变矩阵的秩 - 若 $A$ 可逆,则 $R(AB) = R(B)$,$R(CA) = R(C)$ **例 1.6** 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 6 & 8 \end{pmatrix}$ 的秩。 **解:** 用初等行变换: $$A \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 非零行有 2 行,故 $R(A) = 2$。 ===== 1.5 典型例题 ===== **例题 1.1** 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$,求 $A^n$。 **解:** $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2\lambda & 1 \end{pmatrix}$$ 猜测 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n\lambda & 1 \end{pmatrix}$,用数学归纳法证明。 **例题 1.2** 计算 $n$ 阶行列式 $D_n = \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$ **解:** 各列加到第一列: $$D_n = [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 1 & x & a & \cdots & a \\ 1 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$$ 各行减去第一行: $$= [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{vmatrix} = [x + (n-1)a](x-a)^{n-1}$$ ===== 1.6 习题 ===== **基础题** 1. 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$,$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$,计算 $AB$ 和 $BA$。 2. 计算下列行列式: (a) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix}$ **提高题** 3. 证明:若 $A$ 是对称矩阵,则 $A^2$ 也是对称矩阵。 4. 设 $A^2 = A$,证明 $E + A$ 可逆,并求 $(E + A)^{-1}$。 **挑战题** 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$A^* = A^T$,$|A| \neq 0$。证明 $|A| = \pm 1$。 6. 证明 Vandermonde 行列式: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)$$ <html> <script type="text/javascript" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"> </script> </html>
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