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====== 第三章 线性方程组 ======

===== 3.1 线性方程组的基本概念 =====

==== 3.1.1 线性方程组的形式 ====

**一般形式：**
含有 $n$ 个未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的 $m$ 个线性方程组成的方程组：
$$\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}$$

**矩阵形式：**
$$Ax = b$$

其中 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是**系数矩阵**，$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 是未知数向量，$b = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T$ 是常数项向量。

**增广矩阵：**
$$\overline{A} = (A | b) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$

**分类：**
- 当 $b = 0$ 时，$Ax = 0$ 称为**齐次线性方程组**
- 当 $b \neq 0$ 时，$Ax = b$ 称为**非齐次线性方程组**

==== 3.1.2 解的概念 ====

**定义 3.1（解）**
若一组数 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 代入方程组使所有方程成立，则称 $x = (c_1, c_2, \ldots, c_n)^T$ 为方程组的**解**。

**解的分类：**
- **唯一解**：方程组只有一个解
- **无穷多解**：方程组有无限多个解
- **无解**：方程组没有解（不相容）

===== 3.2 高斯消元法 =====

==== 3.2.1 初等变换 ====

**线性方程组的初等变换：**
1. **互换**：交换两个方程的位置
2. **倍乘**：用非零常数乘某一方程
3. **倍加**：将某方程的倍数加到另一方程上

**定理 3.1**
初等变换把线性方程组变为同解方程组。

==== 3.2.2 高斯消元法的步骤 ====

**步骤：**
1. 写出增广矩阵 $\overline{A}$
2. 对增广矩阵进行初等行变换，化为**行阶梯形矩阵**
3. 从最后一行开始回代，求出解

**目标：** 将增广矩阵化为如下形式：
$$\begin{pmatrix} 1 & * & * & \cdots & * & d_1 \\ 0 & 1 & * & \cdots & * & d_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & * & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & d_{r+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

**例 3.1** 解方程组：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \end{cases}$$

**解：**
$$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

$r_2 - 2r_1, r_3 - r_1$：
$$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

互换 $r_2, r_3$：
$$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$

$r_3 + 3r_2$：
$$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -7 & -1 \end{pmatrix}$$

回代：$x_3 = \frac{1}{7}$，$x_2 = 1 + 2x_3 = \frac{9}{7}$，$x_1 = 3 - x_2 - x_3 = \frac{11}{7}$

**唯一解：** $x = \left(\frac{11}{7}, \frac{9}{7}, \frac{1}{7}\right)^T$

==== 3.2.3 线性方程组有解的判定 ====

**定理 3.2（有解判定定理）**
线性方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是
$$R(A) = R(\overline{A})$$

**解的个数判定：**
- $R(A) = R(\overline{A}) = n$（未知数个数）：唯一解
- $R(A) = R(\overline{A}) = r < n$：无穷多解（有 $n-r$ 个自由未知数）
- $R(A) < R(\overline{A})$：无解

**例 3.2** 讨论方程组解的情况：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + ax_3 = 2 \\ x_1 + 4x_2 + a^2x_3 = 3 \end{cases}$$

**解：**
$$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 2 \\ 1 & 4 & a^2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 3 & a^2-1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & (a-1)(a-2) & -1 \end{pmatrix}$$

- 当 $a = 1$：$R(A) = 2, R(\overline{A}) = 3$，无解
- 当 $a = 2$：$R(A) = R(\overline{A}) = 2 < 3$，无穷多解
- 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq 2$：$R(A) = R(\overline{A}) = 3$，唯一解

===== 3.3 齐次线性方程组 =====

==== 3.3.1 齐次线性方程组解的性质 ====

**性质 1：** 齐次线性方程组 $Ax = 0$ 总有解（至少有零解 $x = 0$）。

**性质 2：** 若 $x = \xi_1$ 和 $x = \xi_2$ 是解，则 $x = \xi_1 + \xi_2$ 也是解。

**性质 3：** 若 $x = \xi$ 是解，$k$ 是常数，则 $x = k\xi$ 也是解。

**推论：** 齐次线性方程组解的线性组合仍是解。

==== 3.3.2 基础解系 ====

**定义 3.2（基础解系）**
设 $Ax = 0$ 有非零解，若解向量组 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 满足：
1. $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 线性无关
2. $Ax = 0$ 的任一解都可由它们线性表示

则称 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 为 $Ax = 0$ 的一个**基础解系**。

**定理 3.3**
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$R(A) = r < n$，则 $Ax = 0$ 的基础解系含有 $n - r$ 个解向量。

**通解：**
$$x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$
其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 为任意常数。

**例 3.3** 求方程组的基础解系和通解：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$$

**解：**
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 2 < 4$，基础解系含 2 个向量。

自由未知数：$x_3, x_4$

$\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$：$\xi_1 = (-4, 3, 1, 0)^T$

$\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$：$\xi_2 = (-2, 1, 0, 1)^T$

**基础解系：** $\xi_1, \xi_2$

**通解：** $x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2$（$k_1, k_2 \in \mathbb{R}$）

===== 3.4 非齐次线性方程组 =====

==== 3.4.1 非齐次线性方程组解的性质 ====

**性质 1：** 若 $x = \eta_1$ 和 $x = \eta_2$ 是 $Ax = b$ 的解，则 $x = \eta_1 - \eta_2$ 是 $Ax = 0$ 的解。

**性质 2：** 若 $x = \eta$ 是 $Ax = b$ 的解，$x = \xi$ 是 $Ax = 0$ 的解，则 $x = \eta + \xi$ 是 $Ax = b$ 的解。

==== 3.4.2 非齐次线性方程组的通解结构 ====

**定理 3.4**
设 $x = \eta^*$ 是 $Ax = b$ 的一个特解，$\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ 是 $Ax = 0$ 的基础解系，则 $Ax = b$ 的通解为
$$x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$

**求解步骤：**
1. 求 $Ax = b$ 的一个特解 $\eta^*$
2. 求 $Ax = 0$ 的基础解系 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$
3. 写出通解

**例 3.4** 求方程组的通解：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\ x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 3 \end{cases}$$

**解：**
$$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 2 < R(\overline{A}) = 3$，**无解**。

**例 3.5** 求方程组的通解：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 3 \end{cases}$$

**解：**
$$\overline{A} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

**特解：** 令 $x_3 = x_4 = 0$，得 $\eta^* = (1, 0, 0, 0)^T$

**对应齐次方程的基础解系：**
$\xi_1 = (-4, 3, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (-2, 1, 0, 1)^T$

**通解：** $x = (1, 0, 0, 0)^T + k_1(-4, 3, 1, 0)^T + k_2(-2, 1, 0, 1)^T$

===== 3.5 克拉默法则 =====

**定理 3.5（克拉默法则）**
若 $n$ 元线性方程组 $Ax = b$ 的系数行列式 $D = |A| \neq 0$，则方程组有唯一解：
$$x_j = \frac{D_j}{D} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$

其中 $D_j$ 是将 $D$ 的第 $j$ 列换成常数项 $b$ 所得的行列式。

**例 3.6** 用克拉默法则解方程组：
$$\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 4 \end{cases}$$

**解：**
$$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-1) + 1(1-2) = 6 - 1 - 1 = 4$$

$$D_1 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4(4-1) - 1(8-4) + 1(4-8) = 12 - 4 - 4 = 4$$

$$D_2 = 4, \quad D_3 = 4$$

$$x_1 = x_2 = x_3 = \frac{4}{4} = 1$$

===== 3.6 典型例题 =====

**例题 3.1** 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$Ax = 0$ 是 $Ax = b$ 对应的齐次方程组。判断下列命题：

(1) 若 $Ax = 0$ 只有零解，则 $Ax = b$ 有唯一解。（✗，可能无解）

(2) 若 $Ax = b$ 有无穷多解，则 $Ax = 0$ 有非零解。（✓）

**例题 3.2** 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$R(A) = n-1$，$A$ 的每行元素之和为 0，求 $Ax = 0$ 的通解。

**解：** 基础解系含 $n - (n-1) = 1$ 个向量。

由条件：$A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = 0$，故 $\xi = (1, 1, \ldots, 1)^T$ 是基础解系。

**通解：** $x = k(1, 1, \ldots, 1)^T$（$k \in \mathbb{R}$）

===== 3.7 习题 =====

**基础题**
1. 用高斯消元法解方程组：
   $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases}$$

2. 求齐次方程组的基础解系：
   $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$$

**提高题**
3. 讨论 $a$ 取何值时，方程组有解：
   $$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}$$

4. 设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 2$，已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 $Ax = b$ 的三个解，且
   $$\eta_1 + \eta_2 = (2, 0, 1, 2)^T, \quad \eta_2 + \eta_3 = (1, 2, 0, 3)^T$$
   求 $Ax = b$ 的通解。

**挑战题**
5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* \neq O$，$\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax = b$ 的两个不同解。证明：
   (1) $R(A) = n-1$
   (2) $Ax = 0$ 的通解为 $x = k(\xi_1 - \xi_2)$

6. 证明：方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $A^Ty = 0$ 的解都是 $b^Ty = 0$ 的解。

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