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====== 第二章 向量空间 ======

===== 2.1 向量及其线性运算 =====

==== 2.1.1 n维向量的概念 ====

**定义 2.1（n维向量）**
$n$ 个有次序的数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 所组成的数组称为 **$n$ 维向量**，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个**分量**。分量全为实数的向量称为**实向量**。

$n$ 维向量可以写成一行（行向量）：$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$

或写成一列（列向量）：$\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$

**向量相等：** 两个向量相等当且仅当它们的维数相同且对应分量相等。

==== 2.1.2 向量的线性运算 ====

**1. 向量的加法**
设 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$，则
$$\alpha + \beta = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)$$

**2. 数与向量的乘法（数乘）**
设 $\lambda$ 是数，$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，则
$$\lambda\alpha = (\lambda a_1, \lambda a_2, \ldots, \lambda a_n)$$

**向量的线性运算性质：**
- 交换律：$\alpha + \beta = \beta + \alpha$
- 结合律：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
- 零向量：$\alpha + 0 = \alpha$（其中 $0 = (0, 0, \ldots, 0)$）
- 负向量：$\alpha + (-\alpha) = 0$
- 分配律：$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$，$(\lambda + \mu)\alpha = \lambda\alpha + \mu\alpha$

**例 2.1** 设 $\alpha = (1, 2, 3)$，$\beta = (4, 5, 6)$，求 $2\alpha - 3\beta$。

**解：** $2\alpha - 3\beta = (2, 4, 6) - (12, 15, 18) = (-10, -11, -12)$

===== 2.2 向量组的线性相关性 =====

==== 2.2.1 线性组合与线性表示 ====

**定义 2.2（线性组合）**
给定向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 和向量 $\beta$，若存在一组数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 使得
$$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m$$
则称 $\beta$ 是向量组 $A$ 的**线性组合**，或称 $\beta$ 可由向量组 $A$ **线性表示**。

**例 2.2** 设 $\alpha_1 = (1, 0)$，$\alpha_2 = (0, 1)$，$\beta = (3, 4)$，则
$$\beta = 3\alpha_1 + 4\alpha_2$$
故 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。

**例 2.3** 设 $\alpha_1 = (1, 2, 3)$，$\alpha_2 = (2, 4, 6)$，$\beta = (3, 6, 9)$，则
$$\beta = 3\alpha_1 = \frac{3}{2}\alpha_2$$
故 $\beta$ 可由 $\alpha_1$（或 $\alpha_2$）线性表示。

==== 2.2.2 线性相关与线性无关 ====

**定义 2.3（线性相关）**
给定向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$（$m \geq 2$），若存在**不全为零**的数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 使得
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$$
则称向量组 $A$ **线性相关**。

**定义 2.4（线性无关）**
若只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时上式才成立，则称向量组 $A$ **线性无关**。

**定理 2.1**
向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$（$m \geq 2$）线性相关的充分必要条件是其中**至少有一个**向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

**例 2.4** 判断 $\alpha_1 = (1, 2, 3)$，$\alpha_2 = (2, 4, 6)$，$\alpha_3 = (1, 1, 1)$ 的线性相关性。

**解：** 观察知 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，故存在不全为零的数 $2, -1, 0$ 使
$$2\alpha_1 - \alpha_2 + 0\alpha_3 = 0$$
因此向量组线性相关。

**例 2.5** 判断 $\varepsilon_1 = (1, 0, 0)$，$\varepsilon_2 = (0, 1, 0)$，$\varepsilon_3 = (0, 0, 1)$ 的线性相关性。

**解：** 设 $k_1\varepsilon_1 + k_2\varepsilon_2 + k_3\varepsilon_3 = 0$，即
$$(k_1, k_2, k_3) = (0, 0, 0)$$
故 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$，向量组线性无关。

==== 2.2.3 线性相关性的判定 ====

**定理 2.2**
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
$$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_m\alpha_m = 0$$
有非零解。

等价地，设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$，则：
- 向量组线性相关 $\Leftrightarrow Ax = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow R(A) < m$
- 向量组线性无关 $\Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow R(A) = m$

**推论：**
- 任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关
- 若向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关
- 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关

**例 2.6** 判断 $\alpha_1 = (1, 2, -1)$，$\alpha_2 = (2, -3, 1)$，$\alpha_3 = (4, 1, -1)$ 的线性相关性。

**解：** 设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

计算行列式：
$$|A| = 1(3-1) - 2(-2+1) + 4(2-3) = 2 + 2 - 4 = 0$$

故 $R(A) < 3$，向量组线性相关。

===== 2.3 向量组的秩 =====

==== 2.3.1 极大线性无关组 ====

**定义 2.5（极大线性无关组）**
设向量组 $A$ 的一个部分组 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 满足：
1. 该部分组线性无关
2. 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果存在）都线性相关

则称该部分组为向量组 $A$ 的一个**极大线性无关组**。

**性质：**
- 极大线性无关组一般不唯一
- 但任意两个极大线性无关组所含向量个数相同

==== 2.3.2 向量组的秩 ====

**定义 2.6（向量组的秩）**
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的**秩**，记为 $R(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$。

**定理 2.3**
矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩（**三秩相等**）。

**例 2.7** 求向量组 $\alpha_1 = (1, 2, -1, 4)$，$\alpha_2 = (2, -3, 1, -2)$，$\alpha_3 = (4, 1, -1, 6)$，$\alpha_4 = (-2, 5, -1, 2)$ 的秩和一个极大线性无关组。

**解：** 构造矩阵并初等行变换：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ 4 & -2 & 6 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & -7 & -7 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 0 & -10 & -10 & 10 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 3$，向量组的秩为 3。

极大线性无关组可取 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$（或其他组合）。

===== 2.4 向量空间 =====

==== 2.4.1 向量空间的概念 ====

**定义 2.7（向量空间）**
设 $V$ 是 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算**封闭**，即：
1. 若 $\alpha \in V$，$\beta \in V$，则 $\alpha + \beta \in V$
2. 若 $\alpha \in V$，$\lambda \in \mathbb{R}$，则 $\lambda\alpha \in V$

则称 $V$ 是一个**向量空间**。

**例 2.8**
- $\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 是向量空间
- $V = \{(0, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 是向量空间
- $V = \{(1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 不是向量空间（对加法不封闭）

==== 2.4.2 基与维数 ====

**定义 2.8（基）**
设 $V$ 是向量空间，若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r \in V$ 满足：
1. $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关
2. $V$ 中任一向量都可由它们线性表示

则称 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 为 $V$ 的一个**基**。

**定义 2.9（维数）**
基中所含向量的个数称为向量空间 $V$ 的**维数**，记为 $\dim V$。

**标准基：**
$\mathbb{R}^n$ 的标准基为 $\varepsilon_1 = (1, 0, \ldots, 0)$，$\varepsilon_2 = (0, 1, \ldots, 0)$，$\ldots$，$\varepsilon_n = (0, 0, \ldots, 1)$，$\dim \mathbb{R}^n = n$。

==== 2.4.3 坐标 ====

**定义 2.10（坐标）**
设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是向量空间 $V$ 的一个基，对任意 $\alpha \in V$，若
$$\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n$$
则称 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 为 $\alpha$ 在该基下的**坐标**。

**例 2.9** 在 $\mathbb{R}^3$ 中，求 $\beta = (3, 4, 5)$ 在基 $\alpha_1 = (1, 1, 1)$，$\alpha_2 = (1, 1, 0)$，$\alpha_3 = (1, 0, 0)$ 下的坐标。

**解：** 设 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，即
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 = 5 \end{cases}$$

解得 $x_1 = 5$，$x_2 = -1$，$x_3 = -1$。

坐标为 $(5, -1, -1)^T$。

===== 2.5 子空间 =====

==== 2.5.1 子空间的概念 ====

**定义 2.11（子空间）**
设 $W$ 是向量空间 $V$ 的非空子集，若 $W$ 对 $V$ 的加法和数乘运算也构成向量空间，则称 $W$ 是 $V$ 的**子空间**。

**判定定理：** $W$ 是 $V$ 的子空间当且仅当 $W$ 对加法和数乘封闭。

**例 2.10**
- $\{0\}$ 和 $V$ 本身都是 $V$ 的子空间（平凡子空间）
- 过原点的直线、平面是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间
- 不过原点的直线、平面不是子空间

==== 2.5.2 生成子空间 ====

**定义 2.12（生成子空间）**
设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 是向量空间 $V$ 中的向量，则
$$L(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m) = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m : k_i \in \mathbb{R}\}$$
是由 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ **生成**的子空间。

**定理 2.4**
$\dim L(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m) = R(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$

===== 2.6 典型例题 =====

**例题 2.1** 设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，证明 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ 也线性无关。

**证明：** 设 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$，即
$$(k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$$

因 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，故
$$\begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases}$$

系数行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$，只有零解 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。

故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。

**例题 2.2** 证明：任意 $n$ 维向量都可由 $n$ 维单位坐标向量组唯一线性表示。

**证明：** $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ 线性无关且是 $\mathbb{R}^n$ 的基。
对任意 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n$，有
$$\alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \cdots + a_n\varepsilon_n$$

因基唯一确定坐标，故表示唯一。

===== 2.7 习题 =====

**基础题**
1. 判断下列向量组的线性相关性：
   (a) $\alpha_1 = (1, 2)$，$\alpha_2 = (2, 4)$
   (b) $\alpha_1 = (1, 0, 0)$，$\alpha_2 = (0, 1, 1)$，$\alpha_3 = (1, 1, 1)$

2. 求向量组 $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)$，$\alpha_2 = (2, 3, 4, 5)$，$\alpha_3 = (3, 4, 5, 6)$，$\alpha_4 = (4, 5, 6, 7)$ 的秩和一个极大线性无关组。

**提高题**
3. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性无关，$\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_m$。证明 $\beta - \alpha_1, \beta - \alpha_2, \ldots, \beta - \alpha_m$ 线性无关。

4. 设 $V$ 是向量空间，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基。证明：对任意 $\beta \in V$，存在唯一的 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 使 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n$。

**挑战题**
5. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，$A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵。证明 $A\alpha_1, A\alpha_2, \ldots, A\alpha_n$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。

6. 证明：若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 线性表示，且 $r > s$，则 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性相关。

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