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====== 第五章 特征值与特征向量 ======

===== 5.1 特征值与特征向量的概念 =====

==== 5.1.1 定义 ====

**定义 5.1（特征值与特征向量）**
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$，使得
$$A\xi = \lambda\xi$$
则称 $\lambda$ 为 $A$ 的**特征值**，$\xi$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的**特征向量**。

**几何意义：** 特征向量 $\xi$ 在变换 $A$ 作用下只发生伸缩（方向不变或反向），伸缩倍数即为特征值 $\lambda$。

**例 5.1** 设 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，验证 $\xi_1 = (1, 1)^T$ 和 $\xi_2 = (1, -1)^T$ 是否为特征向量。

**解：**
$$A\xi_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4\xi_1$$

$$A\xi_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2\xi_2$$

故 $\xi_1$ 是特征值 $\lambda_1 = 4$ 的特征向量，$\xi_2$ 是特征值 $\lambda_2 = 2$ 的特征向量。

==== 5.1.2 特征值与特征向量的求法 ====

由 $A\xi = \lambda\xi$，$\xi \neq 0$，得
$$(A - \lambda E)\xi = 0$$

这是齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是
$$|A - \lambda E| = 0$$

**定义 5.2（特征多项式与特征方程）**
- **特征多项式：** $f(\lambda) = |A - \lambda E|$
- **特征方程：** $|A - \lambda E| = 0$

**求特征值与特征向量的步骤：**
1. 计算特征多项式 $|A - \lambda E|$
2. 解特征方程 $|A - \lambda E| = 0$，得特征值
3. 对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(A - \lambda_i E)\xi = 0$，得特征向量

**例 5.2** 求 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

**解：**
$$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5) = 0$$

特征值：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 5$

对 $\lambda_1 = 2$：
$$(A - 2E) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
特征向量：$\xi_1 = k(1, -1)^T$（$k \neq 0$）

对 $\lambda_2 = 5$：
$$(A - 5E) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
特征向量：$\xi_2 = k(2, 1)^T$（$k \neq 0$）

===== 5.2 特征值与特征向量的性质 =====

**性质 1：** $n$ 阶方阵在复数域内恰有 $n$ 个特征值（重根按重数计）。

**性质 2：** 设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$，则
- $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$
- $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$

**性质 3：** 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\xi$ 是对应特征向量，则
- $\lambda^k$ 是 $A^k$ 的特征值
- $k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值
- $\lambda + k$ 是 $A + kE$ 的特征值
- 若 $A$ 可逆，$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值

且在这些情况下，特征向量仍是 $\xi$。

**性质 4：** 不同特征值对应的特征向量线性无关。

**定理 5.1**
设 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ 是 $A$ 的互不相同的特征值，$\xi_{i1}, \xi_{i2}, \ldots, \xi_{ir_i}$ 是属于 $\lambda_i$ 的线性无关特征向量，则所有这些特征向量组成的向量组线性无关。

===== 5.3 相似对角化 =====

==== 5.3.1 相似对角化的条件 ====

**定义 5.3（相似对角化）**
若 $n$ 阶方阵 $A$ 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 $P$ 使
$$P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$$
则称 $A$ 可**相似对角化**。

**定理 5.2**
$n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

**推论：** 若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 可相似对角化。

**对角化的步骤：**
1. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$
2. 对每个特征值求特征向量
3. 以这些特征向量为列构成矩阵 $P$
4. 则 $P^{-1}AP = \Lambda$

**例 5.3** 将 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 对角化。

**解：** $|A - \lambda E| = -\lambda(\lambda-2)^2 = 0$

$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 2$

$\lambda_1 = 0$：$\xi_1 = (1, -1, -2)^T$

$\lambda_2 = 2$：$\xi_2 = (1, -1, 0)^T$，$\xi_3 = (1, 0, -2)^T$

三个线性无关特征向量，可对角化。

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & & \\ & 2 & \\ & & 2 \end{pmatrix}$$

==== 5.3.2 实对称矩阵的对角化 ====

**性质：**
1. 实对称矩阵的特征值都是实数
2. 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
3. 实对称矩阵必可正交对角化：存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{-1}AQ = Q^TAQ = \Lambda$

**正交对角化的步骤：**
1. 求特征值
2. 对每个特征值，求特征向量并正交单位化
3. 以正交单位化后的特征向量为列构成正交矩阵 $Q$
4. 则 $Q^TAQ = \Lambda$

**例 5.4** 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。

**解：** $|A - \lambda E| = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0$

$\lambda_1 = 1$：$\xi_1 = (1, 1)^T$，单位化 $q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$

$\lambda_2 = 3$：$\xi_2 = (1, -1)^T$，单位化 $q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)^T$

$$Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad Q^TAQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

===== 5.4 若尔当标准形简介 =====

**若尔当块：**
$$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}_{k \times k}$$

**若尔当标准形：**
任何复方阵 $A$ 都相似于若尔当形矩阵
$$J = \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1) & & \\ & J_{k_2}(\lambda_2) & \\ & & \ddots \end{pmatrix}$$

**意义：** 若尔当标准形是相似等价类的最简代表。

===== 5.5 典型例题 =====

**例题 5.1** 设 $A$ 是 3 阶矩阵，$|A-E| = |A+2E| = |2A+3E| = 0$，求 $|2A^* - 3E|$。

**解：** 由条件知 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -2$，$\lambda_3 = -\frac{3}{2}$

$|A| = 1 \times (-2) \times (-\frac{3}{2}) = 3$

$A^*$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda_i}$：$3$，$-\frac{3}{2}$，$-2$

$2A^* - 3E$ 的特征值为：$2 \times 3 - 3 = 3$，$2 \times (-\frac{3}{2}) - 3 = -6$，$2 \times (-2) - 3 = -7$

$|2A^* - 3E| = 3 \times (-6) \times (-7) = 126$

**例题 5.2** 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2 = A$，$R(A) = r$，求 $|2E - A|$。

**解：** $A$ 的特征值满足 $\lambda^2 = \lambda$，故 $\lambda = 0$ 或 $1$

$A$ 可对角化，$R(A) = r$ 说明有 $r$ 个特征值为 1，$n-r$ 个为 0

$2E - A$ 的特征值为：$2-1=1$（$r$ 个），$2-0=2$（$n-r$ 个）

$|2E - A| = 1^r \cdot 2^{n-r} = 2^{n-r}$

===== 5.6 习题 =====

**基础题**
1. 求矩阵的特征值和特征向量：
   (a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
   (b) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

2. 判断下列矩阵是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 $P$：
   (a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
   (b) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

**提高题**
3. 设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且
   $$A\alpha_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_2 = 2\alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_3 = 2\alpha_2 + 3\alpha_3$$
   求矩阵 $B$ 使 $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)B$，并求 $A$ 的特征值。

4. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2 = E$，$R(A+E) = k$，求 $A$ 的相似标准形。

**挑战题**
5. 证明：$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是对于 $A$ 的每个特征值 $\lambda_i$，$R(A - \lambda_i E) = n - k_i$，其中 $k_i$ 是 $\lambda_i$ 的代数重数。

6. 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，证明：存在正定矩阵 $B$ 使 $A = B^2$。

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