====== 偏微分方程 ======

**偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDE)** 是数学中最重要的分支之一，它研究包含多元未知函数及其偏导数的方程。偏微分方程在物理学、工程学、经济学、生物学等众多领域都有广泛应用。

===== 课程简介 =====

本课程系统地介绍偏微分方程的基本理论、求解方法和应用。课程内容包括：

  * 偏微分方程的基本概念和分类
  * 经典方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）的理论与求解
  * 各种求解方法（分离变量法、积分变换法、格林函数法等）
  * Sobolev空间理论与弱解
  * 非线性偏微分方程简介

===== 课程目录 =====

==== 第一部分：基础理论 ====

  - [[偏微分方程:第一章_偏微分方程的基本概念|第一章 偏微分方程的基本概念]]
    * 偏微分方程的定义与例子
    * 阶、线性与非线性
    * 定解条件：初值条件与边值条件
    * 定解问题的适定性

  - [[偏微分方程:第二章_一阶偏微分方程|第二章 一阶偏微分方程]]
    * 线性一阶偏微分方程
    * 特征线法
    * Cauchy问题
    * 首次积分

  - [[偏微分方程:第三章_波动方程|第三章 波动方程]]
    * 一维波动方程的推导
    * 达朗贝尔公式
    * 能量不等式与唯一性
    * 高维波动方程

  - [[偏微分方程:第四章_热传导方程|第四章 热传导方程]]
    * 热传导方程的推导
    * 基本解与热核
    * 最大值原理
    * 唯一性与稳定性

  - [[偏微分方程:第五章_拉普拉斯方程|第五章 拉普拉斯方程]]
    * 调和函数
    * 平均值性质
    * 极值原理
    * Dirichlet问题

==== 第二部分：求解方法 ====

  - [[偏微分方程:第六章_分离变量法|第六章 分离变量法]]
    * Sturm-Liouville问题
    * 正交函数展开
    * 矩形区域与圆形区域问题
    * 非齐次问题的处理

  - [[偏微分方程:第七章_傅里叶变换法|第七章 傅里叶变换法]]
    * 傅里叶变换回顾
    * 广义函数初步
    * 基本解与卷积
    * 应用实例

  - [[偏微分方程:第八章_拉普拉斯变换法|第八章 拉普拉斯变换法]]
    * 拉普拉斯变换回顾
    * 半无限区域问题
    * 初边值问题
    * 延迟方程

  - [[偏微分方程:第九章_格林函数法|第九章 格林函数法]]
    * 格林函数的定义与性质
    * 位势理论
    * 各种边界条件下的格林函数
    * 镜像法

  - [[偏微分方程:第十章_特征线法与守恒律|第十章 特征线法与守恒律]]
    * 一阶守恒律
    * 特征线方法
    * 激波与弱解
    * 熵条件

==== 第三部分：Sobolev空间与弱解 ====

  - [[偏微分方程:第十一章_Sobolev空间|第十一章 Sobolev空间]]
    * 弱导数
    * Sobolev空间的定义与性质
    * 嵌入定理
    * 迹定理

  - [[偏微分方程:第十二章_变分原理与弱解|第十二章 变分原理与弱解]]
    * 弱解的定义
    * 变分原理
    * Lax-Milgram定理
    * 存在性与唯一性

  - [[偏微分方程:第十三章_正则性理论|第十三章 正则性理论]]
    * 内部正则性
    * 边界正则性
    * Schauder估计
    * L^p估计

==== 第四部分：特殊方程与高级主题 ====

  - [[偏微分方程:第十四章_高阶偏微分方程|第十四章 高阶偏微分方程]]
    * 双调和方程
    * Plate方程
    * 高阶椭圆方程
    * 高阶抛物方程

  - [[偏微分方程:第十五章_非线性偏微分方程|第十五章 非线性偏微分方程]]
    * 守恒律方程组
    * KdV方程
    * 孤立子
    * 非线性Schrodinger方程

===== 预备知识 =====

学习本课程需要以下数学基础：

  * **数学分析**：多元微积分、级数、一致收敛
  * **线性代数**：矩阵、特征值、内积空间
  * **常微分方程**：初值问题、边值问题、基本解
  * **复变函数**：解析函数、留数定理
  * **泛函分析**（可选）：Banach空间、Hilbert空间

===== 参考教材 =====

  * Lawrence C. Evans, "Partial Differential Equations", AMS, 2010.
  * Fritz John, "Partial Differential Equations", Springer, 1991.
  * Walter A. Strauss, "Partial Differential Equations: An Introduction", Wiley, 2007.
  * 谷超豪等，《数学物理方程》，高等教育出版社。
  * 陈恕行，《现代偏微分方程导论》，科学出版社。

===== 学习目标 =====

完成本课程后，学生应能够：

  * 理解偏微分方程的基本概念和分类
  * 掌握经典方程的性质和求解方法
  * 熟练运用各种解析方法求解定解问题
  * 理解弱解理论和Sobolev空间
  * 了解非线性偏微分方程的基本理论

===== 联系信息 =====

如有问题或建议，欢迎通过以下方式联系：

  * 邮箱：pde_course@example.edu
  * 答疑时间：每周三下午 2:00-4:00

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**最后更新时间**：2024年

**版本**：v1.0