====== 第八章 拉普拉斯变换法 ======

===== 8.1 拉普拉斯变换的定义 =====

**定义8.1.1（拉普拉斯变换）**

设 $f(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 上分段连续，且 $|f(t)| \leq Me^{ct}$。其**拉普拉斯变换**定义为：
$$F(s) = \mathcal{L}[f](s) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt, \quad \text{Re}(s) > c$$

**逆拉普拉斯变换**：
$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}ds$$

其中 $\gamma > c$。

===== 8.2 基本性质 =====

**定理8.2.1（基本性质）**

设 $F = \mathcal{L}[f]$，$G = \mathcal{L}[g]$：

| 性质 | 时域 | 复频域 |
|------|------|--------|
| 线性 | $af + bg$ | $aF + bG$ |
| 时移 | $f(t-a)H(t-a)$ | $e^{-as}F(s)$ |
| 频移 | $e^{at}f(t)$ | $F(s-a)$ |
| 尺度 | $f(at)$ | $\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$ |
| 微分 | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0)$ |
| 高阶导 | $f^{(n)}(t)$ | $s^nF - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$ |
| 积分 | $\int_0^t f(\tau)d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ |
| 卷积 | $(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ | $F(s)G(s)$ |

**乘以t**：$\mathcal{L}[tf(t)] = -F'(s)$

**除以t**：$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_s^{+\infty} F(\sigma)d\sigma$

===== 8.3 常用拉普拉斯变换 =====

| $f(t)$ | $F(s)$ | 收敛域 |
|--------|--------|--------|
| $1$ | $\frac{1}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $e^{at}$ | $\frac{1}{s-a}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ |
| $\sin(at)$ | $\frac{a}{s^2+a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\cos(at)$ | $\frac{s}{s^2+a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\sinh(at)$ | $\frac{a}{s^2-a^2}$ | $\text{Re}(s) > |a|$ |
| $\cosh(at)$ | $\frac{s}{s^2-a^2}$ | $\text{Re}(s) > |a|$ |
| $\delta(t-a)$ | $e^{-as}$ | 全平面 |
| $H(t-a)$ | $\frac{e^{-as}}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$ | $\frac{1}{\sqrt{s}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $e^{at}t^n$ | $\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ |

===== 8.4 热方程的Laplace变换解法 =====

**问题**：$u_t = a^2 u_{xx}$，$x > 0$，$t > 0$

初始条件：$u(x,0) = 0$

边界条件：$u(0,t) = f(t)$，$u(\infty,t) = 0$

**求解**：对 $t$ 作Laplace变换：$\tilde{u}(x,s) = \int_0^\infty u(x,t)e^{-st}dt$

方程变为：$s\tilde{u} = a^2\tilde{u}_{xx}$

解（有界）：$\tilde{u}(x,s) = A(s)e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$

由边界条件 $\tilde{u}(0,s) = F(s)$，得 $A(s) = F(s)$

$$\tilde{u}(x,s) = F(s)e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$$

**逆变换**：利用卷积定理和 $\mathcal{L}^{-1}[e^{-\sqrt{s}x/a}] = \frac{x}{2a\sqrt{\pi}t^{3/2}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}$

$$u(x,t) = \int_0^t f(\tau)\frac{x}{2a\sqrt{\pi}(t-\tau)^{3/2}}\exp\left(-\frac{x^2}{4a^2(t-\tau)}\right)d\tau$$

===== 8.5 波动方程的Laplace变换解法 =====

**问题**：$u_{tt} = a^2 u_{xx}$，$x > 0$，$t > 0$

初始条件：$u(x,0) = u_t(x,0) = 0$

边界条件：$u(0,t) = f(t)$

**Laplace变换后**：$s^2\tilde{u} = a^2\tilde{u}_{xx}$

通解：$\tilde{u} = A(s)e^{-\frac{s}{a}x} + B(s)e^{\frac{s}{a}x}$

有界性要求 $B = 0$，由边界条件：$\tilde{u}(x,s) = F(s)e^{-\frac{s}{a}x}$

**逆变换**：利用时移性质 $\mathcal{L}^{-1}[e^{-cs}F(s)] = f(t-c)H(t-c)$

$$u(x,t) = f\left(t-\frac{x}{a}\right)H\left(t-\frac{x}{a}\right)$$

物理意义：扰动以速度 $a$ 向右传播，$x$ 处在 $t = x/a$ 时才感受到扰动。

===== 8.6 分数阶微积分应用 =====

**定义8.6.1（分数阶积分）**

$$I^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t (t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)d\tau, \quad \alpha > 0$$

**Laplace变换**：$\mathcal{L}[I^\alpha f] = \frac{F(s)}{s^\alpha}$

**分数阶导数**：$D^\alpha f = I^{n-\alpha}f^{(n)}$，$n = [\alpha]+1$

**应用**：反常扩散方程 $\frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha} = a^2 u_{xx}$（$0 < \alpha < 1$）

===== 8.7 习题 =====

**习题8.1**：计算 $\mathcal{L}[t\sin(at)]$ 和 $\mathcal{L}[e^{-at}\cos(bt)]$。

**习题8.2**：用Laplace变换求解 $y'' + 4y = \sin(2t)$，$y(0) = y'(0) = 0$。

**习题8.3**：用Laplace变换求解热方程半无限问题：$u_t = u_{xx}$，$u(x,0) = 0$，$u(0,t) = 1$。

**习题8.4**：设 $F(s) = \frac{s}{(s^2+1)^2}$，求 $f(t)$。

**习题8.5**：用Laplace变换求解波动方程 $u_{tt} = u_{xx}$，$u(x,0) = \sin x$，$u_t(x,0) = 0$，$u(0,t) = 0$。

**习题8.6**：证明Duhamel原理：若 $v(x,t;\tau)$ 满足齐次热方程 $v_t = a^2v_{xx}$（$t > \tau$），$v(x,\tau;\tau) = f(x,\tau)$，则 $u = \int_0^t v(x,t;\tau)d\tau$ 满足非齐次问题 $u_t = a^2u_{xx} + f$。