====== 第十三章 正则性理论 ======

===== 13.1 弱解的正则性 =====

**问题**：弱解是否有更高的光滑性？

**例**：若 $f \in C^k$，是否 $u \in C^{k+2}$？

===== 13.2 内部正则性 =====

**定理13.2.1（椭圆方程内部正则性）**

设 $u \in H^1(\Omega)$ 是 $-\Delta u = f$ 的弱解。

  - 若 $f \in H^k(\Omega)$，则 $u \in H^{k+2}_{loc}(\Omega)$
  - 若 $f \in C^{k,\alpha}(\Omega)$，则 $u \in C^{k+2,\alpha}_{loc}(\Omega)$

**提升性质**：解的光滑性比右端项高两阶。

===== 13.3 边界正则性 =====

**定理13.3.1（全局正则性）**

设 $\partial\Omega \in C^{k+2}$，$u \in H_0^1(\Omega)$ 满足 $-\Delta u = f \in H^k(\Omega)$，则 $u \in H^{k+2}(\Omega)$ 且
$$\|u\|_{H^{k+2}} \leq C(\|f\|_{H^k} + \|u\|_{L^2})$$

**条件**：
1. 区域边界光滑
2. 边界条件相容
3. 系数光滑

===== 13.4 Schauder估计 =====

**定理13.4.1（Schauder内估计）**

设 $u \in C^{2,\alpha}(\Omega)$ 满足 $Lu = f$，其中 $L$ 为一致椭圆算子，系数 $a^{ij}, b^i, c \in C^\alpha(\Omega)$。则对 $\Omega' \subset\subset \Omega$：
$$\|u\|_{C^{2,\alpha}(\Omega')} \leq C(\|f\|_{C^\alpha(\Omega)} + \|u\|_{C^0(\Omega)})$$

**定理13.4.2（Schauder全局估计）**

在边界光滑的条件下：
$$\|u\|_{C^{2,\alpha}(\bar{\Omega})} \leq C(\|f\|_{C^\alpha(\bar{\Omega})} + \|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\partial\Omega)})$$

===== 13.5 $L^p$理论 =====

**Calderón-Zygmund估计**：

设 $u \in W_0^{2,p}(\Omega)$，$-\Delta u = f \in L^p(\Omega)$（$1 < p < \infty$），则
$$\|D^2 u\|_{L^p} \leq C_p\|f\|_{L^p}$$

===== 13.6 De Giorgi-Nash定理 =====

**定理13.6.1**

设 $u \in H^1(\Omega)$ 是散度型椭圆方程
$$-\partial_i(a^{ij}\partial_j u) = 0$$

的弱解，系数 $a^{ij}$ 满足一致椭圆条件（可测、有界、不一定光滑）。

则 $u \in C^{0,\alpha}_{loc}(\Omega)$（对某个 $\alpha > 0$）。

**意义**：解自动Hölder连续，无需系数光滑！

===== 13.7 解析性 =====

**定理13.7.1（椭圆方程解的解析性）**

若 $Lu = f$ 的系数和 $f$ 都是实解析的，则解 $u$ 也是实解析的。

===== 13.8 习题 =====

**习题13.1**：证明调和函数的 $C^\infty$ 正则性。

**习题13.2**：设 $u$ 满足 $-\Delta u = f \in L^2$，证明 $u \in H^2_{loc}$。

**习题13.3**：验证角点处解的正则性可能降低。

**习题13.4**：证明二维Poisson方程当 $f \in C^0$ 时，解 $u \in C^{1,\alpha}$（对任意 $\alpha < 1$）但不一定 $C^2$。

**习题13.5**：设 $Lu = -\partial_i(a^{ij}\partial_j u)$，证明一致椭圆条件保证强制性。

**习题13.6**：研究调和函数在边界的正则性与边界数据的关系。