====== 第十二章 变分原理与弱解 ======

===== 12.1 变分问题的提出 =====

**Dirichlet原理**：求 $u$ 使泛函
$$J(v) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla v|^2 dx - \int_\Omega fv dx$$

在 $v|_{\partial\Omega} = g$ 条件下极小，则 $u$ 满足 $-\Delta u = f$。

**Euler-Lagrange方程**：泛函极值的必要条件。

===== 12.2 变分法基础 =====

**泛函**：$J: X \to \mathbb{R}$，$X$ 为函数空间。

**Gâteaux导数**：
$$\langle J'(u), v \rangle = \lim_{t \to 0}\frac{J(u+tv) - J(u)}{t}$$

**临界点是弱解**：若 $u$ 是 $J$ 的临界点，则满足Euler-Lagrange方程的弱形式。

===== 12.3 弱解的定义 =====

**定义12.3.1（椭圆方程弱解）**

考虑边值问题：
$$\begin{cases}-\nabla \cdot (a(x)\nabla u) + c(x)u = f, & \Omega \\ u = 0, & \partial\Omega\end{cases}$$

其中 $a(x) \geq a_0 > 0$，$c(x) \geq 0$。

**弱解**：$u \in H_0^1(\Omega)$，使得对任意 $v \in H_0^1(\Omega)$：
$$\int_\Omega (a\nabla u \cdot \nabla v + cuv)dx = \int_\Omega fv dx$$

===== 12.4 Lax-Milgram定理 =====

**定理12.4.1（Lax-Milgram）**

设 $H$ 是Hilbert空间，$a: H \times H \to \mathbb{R}$ 是双线性形式，满足：
1. **有界性**：$|a(u,v)| \leq C\|u\|\|v\|$
2. **强制性（椭圆性）**：$a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2$，$\alpha > 0$

则对任意 $f \in H^*$，存在唯一 $u \in H$ 使得 $a(u,v) = \langle f, v \rangle$ 对所有 $v \in H$ 成立，且 $\|u\| \leq \frac{1}{\alpha}\|f\|$。

**应用**：取 $H = H_0^1(\Omega)$，$a(u,v) = \int(a\nabla u \cdot \nabla v + cuv)dx$，则椭圆边值问题有唯一弱解。

===== 12.5 能量方法 =====

**能量泛函**：
$$E(u) = \frac{1}{2}a(u,u) - \langle f, u \rangle$$

**定理12.5.1**

$u$ 是变分问题的解当且仅当 $u$ 是能量泛函的极小点。

===== 12.6 Galerkin方法 =====

**近似求解**：取有限维子空间 $V_N \subset H$，求 $u_N \in V_N$ 使得
$$a(u_N, v) = \langle f, v \rangle, \quad \forall v \in V_N$$

**基函数展开**：$u_N = \sum_{i=1}^N c_i \varphi_i$，得到线性方程组 $Ac = F$。

**收敛性**：若 $V_N$ 在 $H$ 中稠密，则 $u_N \to u$。

===== 12.7 非线性变分问题 =====

**例**：$-\Delta u = f(u)$ 的弱解。

**方法**：
1. 不动点方法
2. 拓扑度理论
3. 临界点理论（Morse理论、Minimax方法）

**Mountain Pass定理**：设 $J \in C^1(X,\mathbb{R})$，$J(0) = 0$，存在 $\rho, \alpha > 0$ 使得 $J|_{\partial B_\rho} \geq \alpha$，且存在 $e \notin B_\rho$ 使 $J(e) \leq 0$。则 $J$ 有临界点。

===== 12.8 混合与Neumann边界条件 =====

**Neumann问题**：$-\Delta u = f$，$\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial\Omega} = 0$

**相容性条件**：$\int_\Omega f dx = 0$

**弱形式空间**：$H^1(\Omega)$（而非 $H_0^1$）

===== 12.9 习题 =====

**习题12.1**：推导 $-\Delta u + u = f$ 的弱形式，并用Lax-Milgram定理证明解的存在唯一性。

**习题12.2**：设 $\Omega = (0,1)$，$a(u,v) = \int_0^1 u'v' dx$，验证其有界性和强制性。

**习题12.3**：用Galerkin方法近似求解 $-u'' = 1$，$u(0) = u(1) = 0$，取基函数 $\varphi_n = \sin(n\pi x)$。

**习题12.4**：证明变分问题的解唯一。

**习题12.5**：对于双调和方程 $\Delta^2 u = f$，给出适当的弱形式和能量空间。

**习题12.6**：设 $J(u) = \frac{1}{2}\int|\nabla u|^2 - \frac{1}{p}\int|u|^p$，$p > 2$，分析其临界点的存在性。