====== 第八章 地基沉降计算 ======

===== 8.1 地基沉降的组成 =====

地基沉降主要由三部分组成：

==== 8.1.1 瞬时沉降Sd =====

**定义**：加载后立即发生的沉降，由土的剪切变形引起。

**特点**：
- 不排水条件下发生
- 饱和土中体积不变，形状改变
- 与土的弹性模量和泊松比有关

**计算公式**（弹性理论）：
$$S_d = \frac{p_0 b (1-\mu^2)}{E} \omega_d$$

==== 8.1.2 固结沉降Sc =====

**定义**：土中孔隙水逐渐排出，有效应力增加，土体压缩产生的沉降。

**特点**：
- 占地基沉降的主要部分
- 需要时间逐步完成
- 与土的压缩性和排水条件有关

==== 8.1.3 次固结沉降Ss =====

**定义**：超静孔隙水压力消散至零后，由于土骨架蠕变而产生的沉降。

**特点**：
- 发展缓慢
- 持续时间很长
- 软粘土中较显著

**总沉降**：
$$S = S_d + S_c + S_s$$

对于饱和粘性土，瞬时沉降较小，主要是固结沉降；对于砂土，沉降很快完成，一般不考虑次固结沉降。

===== 8.2 地基附加应力计算 =====

==== 8.2.1 基底压力分布 =====

**中心荷载**：
$$p = \frac{F+G}{A}$$

式中：
- F — 上部结构传来的竖向力
- G — 基础自重和基础上土重
- A — 基底面积

**偏心荷载**：
$$p_{max/min} = \frac{F+G}{A} \pm \frac{M}{W}$$

式中：
- M — 作用于基底的力矩
- W — 基底抵抗矩

**基底附加压力**：
$$p_0 = p - \gamma_0 d$$

式中：
- γ₀ — 基底以上土的加权平均重度
- d — 基础埋深

==== 8.2.2 竖向集中力作用下 =====

**布辛奈斯克解**（Boussinesq, 1885）：

$$\sigma_z = \frac{3P}{2\pi} \frac{z^3}{R^5} = \frac{3P}{2\pi z^2} \frac{1}{[1+(r/z)^2]^{5/2}} = \frac{P}{z^2} K$$

式中：
- P — 集中力
- z — 计算点深度
- r — 计算点水平距离
- R — 计算点到力作用点的距离
- K — 集中力竖向附加应力系数

==== 8.2.3 矩形面积均布荷载作用下 =====

**角点下的附加应力**：

$$\sigma_z = p_0 \cdot K_c$$

式中Kc为矩形均布荷载角点下的附加应力系数，由l/b和z/b查表得到。

**任意点下的附加应力**（角点法）：

通过将荷载面积划分为多个矩形，利用角点系数计算后叠加。

==== 8.2.4 条形基础均布荷载作用下 =====

**中心线下**：
$$\sigma_z = p_0 \cdot K_s$$

式中Ks为条形均布荷载中心线下的附加应力系数。

===== 8.3 分层总和法 =====

==== 8.3.1 基本原理 =====

将地基压缩层范围内的土分为若干薄层，计算各层的压缩量后求和。

**基本假设**：
1. 地基土是均质、各向同性的半无限弹性体
2. 地基土压缩时不发生侧向变形（侧限条件）
3. 采用基础中心点下的附加应力计算

==== 8.3.2 计算步骤 =====

**第1步：确定分层厚度**

分层厚度hᵢ ≤ 0.4b（b为基础宽度），同时考虑土层界面和地下水位。

**第2步：计算各层自重应力**

$$\sigma_{czi} = \sum_{j=1}^{i} \gamma_j h_j$$

**第3步：计算各层附加应力**

$$\sigma_{zi} = p_0 \cdot K_i$$

**第4步：确定压缩层下限**

一般取附加应力与自重应力之比：
$$\frac{\sigma_z}{\sigma_{cz}} \leq 0.2 \text{（一般土）}$$
$$\frac{\sigma_z}{\sigma_{cz}} \leq 0.1 \text{（软土）}$$

**第5步：计算各层压缩量**

$$S_i = \frac{\Delta e_i}{1+e_{1i}} h_i = \frac{a_i}{1+e_{1i}} \sigma_{zi} h_i = \frac{\sigma_{zi}}{E_{si}} h_i$$

**第6步：求总沉降量**

$$S = \sum_{i=1}^{n} S_i = \psi_s S'$$

式中：
- S' — 计算沉降量
- ψ𝑠 — 沉降计算经验系数

===== 8.4 应力面积法（规范法）=====

==== 8.4.1 基本公式 =====

$$S = \psi_s \sum_{i=1}^{n} \frac{p_0}{E_{si}} (z_i \bar{\alpha}_i - z_{i-1} \bar{\alpha}_{i-1})$$

式中：
- p₀ — 基底附加压力
- E𝑠ᵢ — 第i层土的压缩模量
- zᵢ、zᵢ₋₁ — 第i层底面和顶面距基底的深度
- ᾱᵢ、ᾱᵢ₋₁ — 平均附加应力系数

==== 8.4.2 平均附加应力系数 =====

$$
\bar{\alpha} = \frac{\int_0^z \sigma_z dz}{p_0 z} = \frac{A}{p_0 z}$$

式中A为应力分布图的面积。

平均附加应力系数可直接查规范表格。

==== 8.4.3 沉降计算经验系数 =====

| $\bar{E}_s$(MPa) | 2.5 | 4.0 | 7.0 | 15.0 | 20.0 |
|-----------------|-----|-----|-----|------|------|
| $p_0 \geq f_{ak}$ | 1.4 | 1.3 | 1.0 | 0.4 | 0.2 |
| $p_0 \leq 0.75f_{ak}$ | 1.1 | 1.0 | 0.7 | 0.4 | 0.2 |

其中：
$$\bar{E}_s = \frac{\sum A_i}{\sum \frac{A_i}{E_{si}}}$$

===== 8.5 沉降差与倾斜 =====

==== 8.5.1 沉降差 =====

相邻基础或同一基础不同点的沉降之差：
$$\Delta S = S_1 - S_2$$

**容许沉降差**：
对于框架结构，相邻柱基的沉降差一般不应超过0.002L（L为柱距）。

==== 8.5.2 倾斜 =====

基础倾斜方向两端点的沉降差与其距离之比：
$$\theta = \frac{S_1 - S_2}{b}$$

式中b为基础宽度。

**容许倾斜**：
- 高层建筑：≤0.002~0.003
- 高耸结构：≤0.005
- 一般建筑物：≤0.003

===== 8.6 减小沉降危害的措施 =====

==== 8.6.1 建筑措施 =====

- 简化建筑平面，避免复杂形状
- 设置沉降缝
- 调整基础埋深
- 控制长高比

==== 8.6.2 结构措施 =====

- 设置圈梁
- 采用轻型结构
- 增强上部结构刚度

==== 8.6.3 施工措施 =====

- 先建重、高部分，后建轻、低部分
- 注意基坑保护
- 控制加载速率（对软土地基）

===== 本章例题 =====

**例题8-1** 某矩形基础底面尺寸4m×6m，基底附加压力p₀=150kPa。地基为均质粉质粘土，Es=6MPa。试用应力面积法计算基础中心点下深度z=0、2m、4m、6m处的沉降（只需计算应力面积系数部分）。

**解**：

对于矩形基础中心点，需将基础分为4个2m×3m的小矩形。

对于每个小矩形：l=3m，b=2m，l/b=1.5

查平均附加应力系数表：

| z(m) | z/b | ᾱ | 4zᾱ |
|------|-----|---|-----|
| 0 | 0 | 0.2500 | 0 |
| 2 | 1.0 | 0.2326 | 1.86 |
| 4 | 2.0 | 0.1746 | 2.79 |
| 6 | 3.0 | 0.1348 | 3.24 |

沉降计算（设压缩层厚6m）：
$$S' = \frac{p_0}{E_s} \times 4z\bar{\alpha} = \frac{150}{6} \times 3.24 = 81 \text{ mm}$$

**例题8-2** 某方形基础边长b=2m，埋深d=1.5m，上部荷载F=800kN。地基土分为两层：第一层为粉质粘土，厚3m，γ=18kN/m³，Es₁=5MPa；第二层为粘土，厚4m，γ=19kN/m³，Es₂=3MPa。地下水位在地面下2m。用分层总和法计算沉降（只计算第一层）。

**解**：

(1) 基底压力：
$$p = \frac{F}{A} + \gamma_G d = \frac{800}{4} + 20 \times 1.5 = 200 + 30 = 230 \text{ kPa}$$

(2) 基底附加压力：
$$p_0 = p - \gamma d = 230 - 18 \times 1.5 = 230 - 27 = 203 \text{ kPa}$$

(3) 第一层分两层计算，每层1.5m：

第一薄层（0~1.5m）：
- 中点深度z=0.75m，z/b=0.375
- 查表得应力系数K≈0.88
- σz = 203×0.88 = 179 kPa
- σcz = 18×(1.5+0.75) = 40.5 kPa（用中点自重）
- 实际：σcz₁ = 18×2.25 = 40.5 kPa
- 用分层中点：z₁=0.75m，σcz = 18×(1.5+0.75) = 40.5 kPa

第一薄层顶面在基底以下0m，底面在1.5m，中点0.75m
中点自重应力：σcz = 18×(1.5+0.75) = 40.5 kPa（不对）

正确计算：
- 第一层顶面（基底处）：σcz₀ = 18×1.5 = 27 kPa
- 第一层中点：σcz = 27 + 18×0.75 = 40.5 kPa
- 附加应力：σz = p₀×K，z=0.75m，z/b=0.375，查得K≈0.88
- σz = 203×0.88 = 179 kPa

压缩量：
$$S_1 = \frac{\sigma_z}{E_{s1}} h_1 = \frac{179}{5000} \times 1500 = 53.7 \text{ mm}$$

===== 本章习题 =====

1. 地基沉降由哪几部分组成？各占什么比例？

2. 什么是基底附加压力？如何计算？

3. 分层总和法的基本假设是什么？计算步骤有哪些？

4. 应力面积法与分层总和法有什么区别？

5. 某基础底面尺寸3m×4m，p₀=120kPa，Es=8MPa。用应力面积法计算沉降（取计算深度z=6m，查得4zᾱ=2.8）。

6. 什么是沉降差和倾斜？工程中如何控制？

7. 减小地基沉降危害的工程措施有哪些？

8. 某条形基础宽b=2m，p₀=180kPa，地基Es=5MPa。计算深度z=4m处的沉降。

---
*本章完*