====== 第十三章 土压力理论 ======

土压力是指挡土结构物背面与土接触面上，土对墙背的作用力。正确计算土压力是挡土墙设计的基础。

===== 13.1 土压力类型 =====

==== 13.1.1 静止土压力E₀ =====

当挡土墙静止不动时，墙后土体处于弹性平衡状态，作用在墙背上的土压力称为静止土压力。

**产生条件**：
- 墙体刚度大，位移为零
- 墙体位移极小，可忽略

**大小**：介于主动土压力和被动土压力之间

==== 13.1.2 主动土压力Ea =====

当挡土墙向离开土体方向偏移（平移或转动），墙后土体达到主动极限平衡状态时，作用在墙背上的土压力称为主动土压力。

**产生条件**：
- 墙体向前位移
- 土体达到主动极限平衡

**特点**：
- 墙后土体有下滑趋势
- 土压力值为三种状态中最小
- 所需的墙体位移较小

**位移量参考**：
- 砂土：约0.001H~0.005H
- 粘土：约0.01H~0.02H

式中H为挡土墙高度。

==== 13.1.3 被动土压力Ep =====

当挡土墙向土体方向偏移，墙后土体达到被动极限平衡状态时，作用在墙背上的土压力称为被动土压力。

**产生条件**：
- 墙体向后位移，推向土体
- 土体达到被动极限平衡

**特点**：
- 墙后土体有被挤压向上的趋势
- 土压力值为三种状态中最大
- 所需的墙体位移很大

**位移量参考**：
- 砂土：约0.01H~0.05H
- 粘土：约0.02H~0.05H

===== 13.2 静止土压力计算 =====

==== 13.2.1 计算公式 =====

$$\sigma_0 = K_0 \gamma z$$

式中：
- σ₀ — 静止土压力强度(kPa)
- K₀ — 静止土压力系数
- γ — 土的重度(kN/m³)
- z — 计算点深度(m)

**静止土压力系数K₀**：

**弹性理论解**（半无限弹性体）：
$$K_0 = \frac{\mu}{1-\mu}$$

式中μ为土的泊松比。

**经验公式**（Jaky, 1944）：
对于正常固结土：
$$K_0 = 1 - \sin\varphi'$$

对于超固结土：
$$K_0 = (1 - \sin\varphi') \cdot OCR^{\sin\varphi'}$$

==== 13.2.2 总静止土压力 =====

**墙后填土为均质土时**：
$$E_0 = \frac{1}{2} K_0 \gamma H^2$$

作用点位于距墙底H/3处，方向水平。

**墙后有地下水时**：
水下用浮重度γ'，并考虑静水压力。

===== 13.3 朗肯土压力理论 =====

==== 13.3.1 基本假设 =====

1. 墙背竖直
2. 墙背光滑（无摩擦力）
3. 填土表面水平
4. 土体为均质半无限体

==== 13.3.2 主动土压力 =====

**朗肯主动土压力系数**：
$$K_a = \tan^2\left(45° - \frac{\varphi}{2}\right)$$

**主动土压力强度**：
无粘性土：
$$\sigma_a = \gamma z K_a$$

粘性土：
$$\sigma_a = \gamma z K_a - 2c\sqrt{K_a}$$

**粘性土的临界深度**（拉应力区）：
$$z_0 = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}}$$

在此深度以上，土压力为负值（拉力），但实际上土不能承受拉力，因此认为此范围内土压力为零。

**总主动土压力**：

无粘性土：
$$E_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_a$$

粘性土（考虑临界深度）：
$$E_a = \frac{1}{2} \gamma (H-z_0)^2 K_a$$

==== 13.3.3 被动土压力 =====

**朗肯被动土压力系数**：
$$K_p = \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right)$$

**被动土压力强度**：
无粘性土：
$$\sigma_p = \gamma z K_p$$

粘性土：
$$\sigma_p = \gamma z K_p + 2c\sqrt{K_p}$$

**总被动土压力**：

无粘性土：
$$E_p = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_p$$

粘性土：
$$E_p = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_p + 2cH\sqrt{K_p}$$

===== 13.4 库仑土压力理论 ======

==== 13.4.1 基本假设 ======

1. 墙后土体为均质无粘性土
2. 破坏面为通过墙踵的平面
3. 滑动楔体为刚体
4. 考虑墙背摩擦力

==== 13.4.2 主动土压力 ======

**库仑主动土压力系数**：

$$K_a = \frac{\cos^2(\varphi-\alpha)}{\cos^2\alpha \cos(\alpha+\delta)\left[1+\sqrt{\frac{\sin(\varphi+\delta)\sin(\varphi-\beta)}{\cos(\alpha+\delta)\cos(\alpha-\beta)}}\right]^2}$$

式中：
- α — 墙背倾角（与竖直面的夹角，仰斜为负，俯斜为正）
- β — 填土表面倾角
- δ — 墙背摩擦角
- φ — 土的内摩擦角

**特殊情况**：
当α=0，β=0，δ=0时，库仑公式退化为朗肯公式。

==== 13.4.3 被动土压力 ======

**库仑被动土压力系数**：

$$K_p = \frac{\cos^2(\varphi+\alpha)}{\cos^2\alpha \cos(\alpha-\delta)\left[1-\sqrt{\frac{\sin(\varphi+\delta)\sin(\varphi+\beta)}{\cos(\alpha-\delta)\cos(\alpha-\beta)}}\right]^2}$$

**注意**：库仑被动土压力理论误差较大，工程中较少使用。

==== 13.4.4 墙背摩擦角 ======

**墙背摩擦角δ的取值**：

| 挡土墙情况 | 墙背摩擦角δ |
|-----------|------------|
| 墙背平滑、排水不良 | (0~1/3)φ |
| 墙背粗糙、排水良好 | (1/3~1/2)φ |
| 墙背很粗糙、排水良好 | (1/2~2/3)φ |
| 墙背与土不能滑动 | (2/3~1)φ |

===== 13.5 特殊情况下的土压力 =====

==== 13.5.1 墙后有地下水 =====

**水土分算**（粘性土、粉土）：
- 土压力用浮重度γ'计算
- 单独计算静水压力
- 总压力 = 土压力 + 水压力

**水土合算**（粘土）：
- 用饱和重度计算
- 不单独计算水压力

==== 13.5.2 填土表面有均布荷载 =====

**朗肯理论**：
将均布荷载q换算为等效土层厚度：
$$h = \frac{q}{\gamma}$$

主动土压力强度：
$$\sigma_a = (q + \gamma z) K_a$$

**库仑理论**：
将均布荷载考虑在滑动楔体的重量中。

==== 13.5.3 成层填土 ======

各层分别计算，注意：
- 不同土层采用各自的土压力系数
- 土层界面处土压力可能突变

===== 本章例题 =====

**例题13-1** 某挡土墙高H=6m，墙背竖直光滑，填土表面水平。填土为砂土，γ=18kN/m³，φ=30°。用朗肯理论计算主动土压力。

**解**：

$$K_a = \tan^2(45° - 15°) = \tan^2(30°) = 0.333$$

墙底土压力强度：
$$\sigma_a = \gamma H K_a = 18 \times 6 \times 0.333 = 36 \text{ kPa}$$

总主动土压力：
$$E_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_a = \frac{1}{2} \times 18 \times 36 \times 0.333 = 108 \text{ kN/m}$$

或
$$E_a = \frac{1}{2} \times 36 \times 6 = 108 \text{ kN/m}$$

作用点距墙底：H/3 = 2m

**例题13-2** 某挡土墙高H=5m，墙背竖直光滑，填土水平。填土为粘性土，γ=19kN/m³，φ=20°，c=15kPa。计算主动土压力。

**解**：

$$K_a = \tan^2(45° - 10°) = \tan^2(35°) = 0.490$$

临界深度：
$$z_0 = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}} = \frac{2 \times 15}{19 \times \sqrt{0.490}} = \frac{30}{19 \times 0.70} = 2.26 \text{ m}$$

墙底土压力强度：
$$\sigma_a = 19 \times 5 \times 0.490 - 2 \times 15 \times \sqrt{0.490} = 46.55 - 21 = 25.55 \text{ kPa}$$

总主动土压力：
$$E_a = \frac{1}{2} \gamma (H-z_0)^2 K_a = \frac{1}{2} \times 19 \times (5-2.26)^2 \times 0.490$$

$$E_a = \frac{1}{2} \times 19 \times 7.51 \times 0.490 = 35.0 \text{ kN/m}$$

作用点距墙底：
$$\frac{H-z_0}{3} = \frac{2.74}{3} = 0.91 \text{ m}$$

**例题13-3** 某挡土墙高H=4m，墙背俯斜α=10°，填土表面水平，墙背摩擦角δ=20°。填土为砂土，γ=17.5kN/m³，φ=32°。用库仑理论计算主动土压力。

**解**：

使用库仑主动土压力公式（β=0）：

$$K_a = \frac{\cos^2(32°-10°)}{\cos^210°\cos(10°+20°)\left[1+\sqrt{\frac{\sin(32°+20°)\sin32°}{\cos(10°+20°)\cos10°}}\right]^2}$$

计算：
- cos²(22°) = 0.861
- cos²(10°) = 0.970
- cos(30°) = 0.866
- sin(52°) = 0.788
- sin(32°) = 0.530

$$K_a = \frac{0.861}{0.970 \times 0.866 \times [1+\sqrt{\frac{0.788 \times 0.530}{0.866 \times 0.985}}]^2}$$

$$K_a = \frac{0.861}{0.840 \times [1+\sqrt{0.490}]^2} = \frac{0.861}{0.840 \times 2.98} = 0.344$$

$$E_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_a = \frac{1}{2} \times 17.5 \times 16 \times 0.344 = 48.2 \text{ kN/m}$$

===== 本章习题 =====

1. 土压力有哪三种类型？各在什么条件下产生？

2. 朗肯土压力理论的基本假设是什么？

3. 某挡土墙高5m，墙背竖直光滑，填土水平。砂土γ=18kN/m³，φ=28°。用朗肯理论计算主动土压力。

4. 粘性土的主动土压力计算为什么要考虑临界深度？

5. 库仑理论与朗肯理论的主要区别是什么？

6. 某挡土墙高6m，墙背竖直光滑，填土水平。填土为粘性土，γ=19kN/m³，φ=18°，c=12kPa。计算主动土压力。

7. 墙后有地下水时如何计算土压力？

8. 某挡土墙高4m，墙背俯斜15°，墙背粗糙δ=φ/2，填土表面水平。砂土γ=18kN/m³，φ=30°。用库仑理论计算主动土压力。

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*本章完*