====== 第十六章 土坡稳定分析 ======

===== 16.1 引言 =====

土坡是指具有倾斜坡面的土体，包括天然土坡（山坡、河岸等）和人工土坡（路堤、基坑边坡等）。土坡在一定条件下会发生滑动破坏，造成滑坡灾害。土坡稳定分析是土力学的重要研究内容，对于工程建设安全和防灾减灾具有重要意义。

本章介绍土坡稳定分析的基本原理和方法，包括无粘性土坡稳定性分析、瑞典条分法和毕肖普(Bishop)法等。

===== 16.2 土坡滑动破坏的类型 =====

==== 16.2.1 按滑动面形状分类 ====

**1. 圆弧滑动**

滑动面呈圆柱面或近似圆弧状，是最常见的滑动形式，多发生在均质粘性土坡中。

**2. 平面滑动**

滑动面为平面，常见于无粘性土坡或沿软弱夹层滑动的土坡。

**3. 复合滑动**

滑动面由直线段和曲线段组成，或非圆弧形，多发生在成层土坡中。

==== 16.2.2 按滑动机制分类 ====

**1. 推移式滑坡**

上部土体先滑动，推动下部土体，形成连锁反应。

**2. 牵引式滑坡**

下部土体先失稳，上部土体因失去支撑而相继滑动。

==== 16.2.3 影响土坡稳定的因素 ====

**1. 内在因素**

- 土体性质：土的抗剪强度、重度、渗透性等
- 地质构造：软弱夹层、节理裂隙等
- 坡体形态：坡高、坡角

**2. 外在因素**

- 降水：增加土体重度，降低抗剪强度，产生渗流力
- 振动：地震、施工振动等
- 人为活动：开挖、堆载、水流冲刷等
- 地下水变化：水位升降影响孔隙水压力

===== 16.3 无粘性土坡稳定分析 =====

==== 16.3.1 均质无粘性土坡 ====

**1. 干坡或完全浸水坡**

设土坡坡角为$\beta$，土的内摩擦角为$\varphi$，取坡面上一微小土单元分析。

下滑力：$T = W \sin\beta$
抗滑力：$R = N \tan\varphi = W \cos\beta \tan\varphi$

稳定安全系数：

$$F_s = \frac{R}{T} = \frac{W \cos\beta \tan\varphi}{W \sin\beta} = \frac{\tan\varphi}{\tan\beta}$$

**结论：**
- 当$\beta = \varphi$时，$F_s = 1$，处于极限平衡状态
- 当$\beta < \varphi$时，$F_s > 1$，坡体稳定
- 无粘性土坡的稳定与坡高无关，仅取决于坡角$\beta$与内摩擦角$\varphi$的关系

**临界坡角**：$\beta_{cr} = \varphi$，称为自然休止角。

**2. 有渗流作用的无粘性土坡**

当坡内有顺坡渗流时，土单元受到渗流力作用。

设水力坡降为$i$，渗流力：$j = \gamma_w i$
顺坡渗流时，$i = \sin\beta$

有效重量：$W' = \gamma' V$

下滑力：$T = W' \sin\beta + jV = \gamma' V \sin\beta + \gamma_w V \sin\beta = \gamma_{sat} V \sin\beta$

抗滑力：$R = W' \cos\beta \tan\varphi = \gamma' V \cos\beta \tan\varphi$

安全系数：

$$F_s = \frac{\gamma' V \cos\beta \tan\varphi}{\gamma_{sat} V \sin\beta} = \frac{\gamma'}{\gamma_{sat}} \cdot \frac{\tan\varphi}{\tan\beta}$$

由于$\gamma'/\gamma_{sat} \approx 0.5$，有渗流时的安全系数约为干坡的一半。

**重要结论：**有顺坡渗流时，即使坡角$\beta = \varphi$，土坡也是不稳定的。

==== 16.3.2 有超载或支护的无粘性土坡 ====

坡顶有超载$q$时，安全系数公式需修正。

坡面有护坡措施时，可考虑护坡材料的约束作用。

===== 16.4 粘性土坡稳定分析——瑞典条分法 =====

==== 16.4.1 基本原理 ====

瑞典条分法（Fellenius法）是分析圆弧滑动粘性土坡的经典方法。基本假定：

1. 滑动面为圆弧面
2. 条间力（土条之间的作用力）忽略不计
3. 每个土条底部受力处于极限平衡状态

==== 16.4.2 计算公式推导 ====

设滑动圆弧半径为$R$，圆心为$O$，将滑动土体分为$n$个竖向土条。

对第$i$个土条：
- 土条重量：$W_i = \gamma h_i b_i$
- 下滑力矩：$W_i \sin\theta_i \cdot R$
- 抗剪强度：$\tau_{fi} = c + \sigma_i \tan\varphi$
- 法向应力：$\sigma_i = \frac{W_i \cos\theta_i}{l_i}$
- 抗滑力矩：$\tau_{fi} l_i R = (c l_i + W_i \cos\theta_i \tan\varphi)R$

整体安全系数：

$$F_s = \frac{\sum_{i=1}^{n}(c l_i + W_i \cos\theta_i \tan\varphi)}{\sum_{i=1}^{n} W_i \sin\theta_i}$$

或写成：

$$F_s = \frac{c L + \tan\varphi \sum W_i \cos\theta_i}{\sum W_i \sin\theta_i}$$

其中：$L = \sum l_i$为滑动圆弧总长度。

==== 16.4.3 计算步骤 ====

1. **确定可能的滑动面**：通过试算确定最危险滑动圆心位置
2. **划分土条**：一般取8~10条，土条宽度$b = R/10$
3. **计算各土条参数**：$W_i$、$\theta_i$、$l_i$
4. **计算安全系数**：代入公式计算$F_s$
5. **寻找最危险滑动面**：改变圆心位置和半径，求得最小安全系数

==== 16.4.4 最危险滑动圆心的确定 ====

**1. 经验法**

对于均质简单土坡，最危险滑动圆心位置可用经验图表确定。

费伦纽斯法：$\beta_1$、$\beta_2$角与坡角有关，两线交点为最危险圆心近似位置。

**2. 系统搜索法**

在坡面附近布置网格点，每个网格点为圆心，按一定步长改变半径，计算安全系数，找出最小值。

==== 16.4.5 成层土和坡顶有超载的情况 ====

**成层土：**

当土条跨越不同土层时，采用各土层的强度参数分别计算：

$$F_s = \frac{\sum(c_i l_i + W_i \cos\theta_i \tan\varphi_i)}{\sum W_i \sin\theta_i}$$

**坡顶有超载$q$：**

将超载换算为等效土层厚度$h = q/\gamma$，或直接将超载产生的力计入$W_i$。

===== 16.5 毕肖普(Bishop)法 =====

==== 16.5.1 基本原理 ====

毕肖普法考虑了土条间的作用力，是更精确的分析方法。

基本假定：
1. 滑动面为圆弧面
2. 土条间切向力$X_i$的差值可忽略不计，即$X_{i+1} - X_i = 0$
3. 各土条底部切向力$T_i$与抗剪强度发挥程度相同

==== 16.5.2 简化毕肖普公式 ====

根据竖向力平衡和整体力矩平衡，推导得：

$$F_s = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{m_{\theta i}}\left[c b_i + (W_i - u_i b_i)\tan\varphi\right]}{\sum_{i=1}^{n} W_i \sin\theta_i}$$

其中：

$$m_{\theta i} = \cos\theta_i + \frac{\sin\theta_i \tan\varphi}{F_s}$$

由于$m_{\theta i}$中含有$F_s$，需要用迭代法求解。

==== 16.5.3 计算步骤 ====

1. 假设初始安全系数$F_{s0}$（可用瑞典条分法结果）
2. 计算各土条的$m_{\theta i}$
3. 计算新的安全系数$F_{s1}$
4. 比较$|F_{s1} - F_{s0}|$，若大于允许误差，令$F_{s0} = F_{s1}$，返回步骤2
5. 重复直至收敛

==== 16.5.4 有效应力分析法 ====

当考虑孔隙水压力时，采用有效应力指标$c'$、$\varphi'$：

$$F_s = \frac{\sum \frac{1}{m_{\theta i}}\left[c' b_i + (W_i \cos\theta_i - u_i l_i)\tan\varphi'\right]}{\sum W_i \sin\theta_i}$$

==== 16.5.5 毕肖普法与瑞典条分法比较 ====

| 比较项 | 瑞典条分法 | 毕肖普法 |
|-------|----------|---------|
| 考虑条间力 | 否 | 部分考虑 |
| 计算精度 | 较低（误差10~20%） | 较高（误差2~5%） |
| 计算复杂度 | 简单，直接计算 | 需迭代求解 |
| 适用条件 | 一般圆弧滑动 | 圆弧滑动，各种复杂情况 |
| 安全系数 | 一般偏小 | 较为合理 |

===== 16.6 其他分析方法 =====

==== 16.6.1 简布(Janbu)法 ====

简布法适用于任意形状滑动面，不仅限于圆弧滑动面。

安全系数定义：

$$F_s = \frac{\sum(c l_i \cos\theta_i + N_i \tan\varphi \cos\theta_i)}{\sum W_i \tan\theta_i}$$

==== 16.6.2 摩根斯坦-普赖斯(Morgenstern-Price)法 ====

严格满足力和力矩平衡的极限平衡法，适用于任意滑动面。

==== 16.6.3 有限元法 ====

有限元法可以考虑土的应力-应变关系，模拟土坡的渐进破坏过程，是目前最精确的分析方法。

===== 16.7 例题 =====

**例题16.1：无粘性土坡稳定分析**

某砂土坡，坡角$\beta = 30°$，土的内摩擦角$\varphi = 35°$，饱和重度$\gamma_{sat} = 20$kN/m³，有效重度$\gamma' = 10$kN/m³。

试计算：（1）干坡时的安全系数；（2）有顺坡渗流时的安全系数。

**解：**

（1）干坡安全系数

$$F_s = \frac{\tan\varphi}{\tan\beta} = \frac{\tan 35°}{\tan 30°} = \frac{0.700}{0.577} = 1.21$$

（2）有顺坡渗流时

$$F_s = \frac{\gamma'}{\gamma_{sat}} \cdot \frac{\tan\varphi}{\tan\beta} = \frac{10}{20} \times 1.21 = 0.61 < 1$$

土坡不稳定，需要进行支护或降低坡角。

**例题16.2：瑞典条分法计算**

某均质粘土坡，坡高$H = 10m$，坡角$\beta = 30°$，土的性质：$\gamma = 18.5$kN/m³，$c = 25$kPa，$\varphi = 10°$。

假设滑动圆弧通过坡脚，圆心位置使半径$R = 20m$，圆心角$\theta = 60°$。将滑动土体分为6个等宽土条，试计算安全系数。

**解：**

土条宽度：$b = \frac{R\theta}{n} = \frac{20 \times (60° \times \pi/180°)}{6} = 3.49m$

列表计算各土条参数：

| 土条 | $h_i$ (m) | $W_i$ (kN) | $\theta_i$ (°) | $\sin\theta_i$ | $\cos\theta_i$ | $l_i$ (m) |
|-----|----------|-----------|--------------|--------------|--------------|----------|
| 1 | 1.2 | 77.4 | -25 | -0.423 | 0.906 | 3.85 |
| 2 | 3.5 | 225.9 | -15 | -0.259 | 0.966 | 3.61 |
| 3 | 5.0 | 322.8 | -5 | -0.087 | 0.996 | 3.50 |
| 4 | 5.8 | 374.4 | 5 | 0.087 | 0.996 | 3.50 |
| 5 | 5.5 | 355.1 | 15 | 0.259 | 0.966 | 3.61 |
| 6 | 3.8 | 245.3 | 25 | 0.423 | 0.906 | 3.85 |

计算：
$\sum W_i \sin\theta_i = 77.4 \times (-0.423) + 225.9 \times (-0.259) + ... + 245.3 \times 0.423 = 86.5$kN

$\sum W_i \cos\theta_i = 77.4 \times 0.906 + 225.9 \times 0.966 + ... + 245.3 \times 0.906 = 1542.3$kN

$L = \sum l_i = 21.92$m

安全系数：
$$F_s = \frac{25 \times 21.92 + \tan 10° \times 1542.3}{86.5} = \frac{548 + 271.9}{86.5} = \frac{819.9}{86.5} = 9.48$$

计算结果偏大，说明假设的滑动面不是最危险滑动面。实际工程中需要搜索最危险滑动面。

===== 16.8 习题 =====

**习题16.1**
某砂土坡，坡角$\beta = 28°$，砂土$\varphi = 32°$。若要求安全系数不小于1.3，是否满足要求？若不满足，最大允许坡角是多少？

**习题16.2**
证明：有顺坡渗流时，无粘性土坡的安全系数约为干坡时的一半。

**习题16.3**
某粘性土坡，$\gamma = 18$kN/m³，$c = 20$kPa，$\varphi = 15°$，坡高8m，坡角$35°$。用瑞典条分法计算某一假设滑动面的安全系数（设定圆心位置和半径，分8个土条计算）。

**习题16.4**
简述瑞典条分法和毕肖普法的区别，说明为什么毕肖普法的计算结果更精确。

**习题16.5**
某土坡在雨后发生滑坡，分析可能的原因，并提出预防措施。

===== 16.9 小结 =====

本章系统介绍了土坡稳定分析的基本理论和方法：

1. **无粘性土坡**：稳定与坡高无关，仅取决于坡角$\beta$与内摩擦角$\varphi$的关系。有渗流时安全系数显著降低。

2. **瑞典条分法**：经典的圆弧滑动分析方法，忽略条间力，计算简单，但结果偏保守。

3. **毕肖普法**：考虑条间力的影响，采用迭代计算，结果更精确，是工程中最常用的方法。

4. **安全系数**：一般工程要求$F_s \geq 1.3$（基本组合）或$F_s \geq 1.2$（偶然组合），重要工程要求更高。

5. **工程应用**：实际工程中应结合地质勘察、监测数据和工程经验，综合判断土坡稳定性。

**参考文献**

[1] 陈祖煜. 土坡稳定分析——原理·方法·程序. 北京: 中国水利水电出版社, 2003.
[2] 中华人民共和国住房和城乡建设部. 建筑边坡工程技术规范(GB 50330-2013). 北京: 中国建筑工业出版社, 2013.
[3] 中华人民共和国交通运输部. 公路路基设计规范(JTG D30-2015). 北京: 人民交通出版社, 2015.