====== 第十章 土的抗剪强度 ======

===== 10.1 土的强度特性 =====

==== 10.1.1 土的强度本质 =====

土的强度是指土抵抗外力破坏的能力。与岩石、混凝土等材料不同，土的强度主要由颗粒间的摩擦力提供。

**土的强度特点**：
- 抗拉强度极低，可视为零
- 抗压强度与围压有关
- 抗剪强度由摩擦力和粘聚力组成

==== 10.1.2 剪切破坏 =====

土的破坏主要是剪切破坏。当土体中某面上的剪应力达到其抗剪强度时，土沿该面发生滑动破坏。

**典型剪切破坏形式**：
- 土坡滑动
- 地基失稳
- 挡土墙后土体滑动

===== 10.2 库仑强度定律 =====

==== 10.2.1 库仑公式 =====

1776年，库仑(C.A. Coulomb)根据砂土和粘土的剪切试验，提出了著名的库仑强度定律。

**总应力表达式**：
$$\tau_f = c + \sigma \tan\varphi$$

**有效应力表达式**：
$$\tau_f = c' + \sigma' \tan\varphi'$$

式中：
- τf — 抗剪强度(kPa)
- σ — 总正应力(kPa)
- σ' — 有效正应力(kPa)，σ' = σ - u
- c、c' — 粘聚力(kPa)（总应力和有效应力）
- φ、φ' — 内摩擦角(°)（总应力和有效应力）

==== 10.2.2 强度指标 =====

**砂土**：
- c ≈ 0
- φ一般为28°~40°
- 密实砂土φ较大

**粘性土**：
- c一般为10~100kPa
- φ一般为10°~30°
- 超固结土c较大，φ较小

**强度指标参考值**：

| 土类 | c(kPa) | φ(°) |
|-----|--------|------|
| 松散砂土 | 0 | 28~30 |
| 密实砂土 | 0 | 35~45 |
| 粉质粘土 | 10~30 | 15~25 |
| 正常固结粘土 | 10~30 | 15~25 |
| 超固结粘土 | 30~100 | 10~20 |

===== 10.3 莫尔-库仑强度理论 =====

==== 10.3.1 莫尔应力圆 =====

土体中某点的应力状态可用莫尔圆表示。

**已知σ₁、σ₃时的莫尔圆**：
- 圆心：$p = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$
- 半径：$r = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

**任一平面（与最大主应力面夹角α）上的应力**：
$$\sigma_\alpha = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \cos 2\alpha$$
$$\tau_\alpha = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \sin 2\alpha$$

==== 10.3.2 莫尔-库仑强度准则 =====

将库仑强度条件与莫尔圆结合，得到莫尔-库仑强度准则。

**强度条件**：
莫尔圆与强度包络线相切或相离时，土体处于平衡状态；相交时，土体已破坏。

**极限平衡条件**（莫尔圆与强度包络线相切）：
$$\sin\varphi = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{\sigma_1 + \sigma_3 + 2c \cot\varphi}$$

或表示为：
$$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right) + 2c \tan\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right)$$

$$\sigma_3 = \sigma_1 \tan^2\left(45° - \frac{\varphi}{2}\right) - 2c \tan\left(45° - \frac{\varphi}{2}\right)$$

==== 10.3.3 破裂面方向 =====

破裂面与最大主应力面的夹角：
$$\alpha_f = 45° + \frac{\varphi}{2}$$

破裂面与最小主应力面的夹角：
$$\alpha'_f = 45° - \frac{\varphi}{2}$$

**重要结论**：
- 破裂面发生在与最大主应力面成45°+φ/2的方向
- 两组破裂面，呈对称分布
- 砂土的破裂面夹角约为45°（φ≈0时的理论值）

===== 10.4 极限平衡条件 =====

==== 10.4.1 土体一点的应力状态 =====

判断土体是否达到极限平衡状态的方法：

**方法一：比较法**
- 计算实际莫尔圆半径r = (σ₁-σ₃)/2
- 计算临界莫尔圆半径r'
- 若r < r'，未破坏；r = r'，极限平衡；r > r'，已破坏

**方法二：主应力比较法**
- 已知σ₃，计算极限平衡时的σ₁f
- 若σ₁ < σ₁f，未破坏；σ₁ = σ₁f，极限平衡

**方法三：内摩擦角比较法**
- 计算实际内摩擦角（由莫尔圆和强度包络线）
- 与实际内摩擦角比较

==== 10.4.2 应力状态的判别 =====

**已知σ₁、σ₃、c、φ，判断是否破坏**：

计算：
$$\sigma_{1f} = \sigma_3 \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right) + 2c \tan\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right)$$

- σ₁ < σ₁f：未破坏
- σ₁ = σ₁f：极限平衡
- σ₁ > σ₁f：已破坏

===== 10.5 影响抗剪强度的因素 =====

==== 10.5.1 矿物成分 =====

- 石英：内摩擦角大
- 粘土矿物：粘聚力大
- 蒙脱石：粘聚力大，但遇水易软化
- 高岭石：粘聚力较小

==== 10.5.2 密度 =====

- 密度越大，内摩擦角越大
- 粘聚力也随密度增大而增大

**经验关系**：
$$\varphi = a + b \cdot D_r$$

式中Dr为相对密实度。

==== 10.5.3 含水量 =====

- 含水量增大，粘聚力减小
- 饱和砂土可能液化
- 粘性土软化

==== 10.5.4 应力历史 =====

- 超固结土：粘聚力大，内摩擦角小
- 正常固结土：粘聚力小，内摩擦角较大

==== 10.5.5 各向异性 =====

- 沉积面平行方向与垂直方向强度不同
- 一般垂直沉积面方向强度较低

===== 本章例题 =====

**例题10-1** 某砂土c=0，φ=30°。在σ₃=100kPa的围压下进行三轴剪切试验。求：(1)土样达到极限平衡时的σ₁；(2)破裂面方向。

**解**：

(1) 极限平衡时：
$$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right)$$

$$\sigma_1 = 100 \times \tan^2(45° + 15°) = 100 \times \tan^2(60°)$$

$$\sigma_1 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300 \text{ kPa}$$

(2) 破裂面方向：
$$\alpha_f = 45° + \frac{\varphi}{2} = 45° + 15° = 60°$$

破裂面与最大主应力面（水平面）成60°角。

**例题10-2** 某粘性土c=20kPa，φ=20°。土中某点应力状态为：σz=200kPa（竖向），σx=120kPa（水平），τzx=40kPa。判断该点是否发生剪切破坏。

**解**：

(1) 求主应力：
$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_z + \sigma_x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_z - \sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{zx}^2}$$

$$\sigma_{1,3} = \frac{200+120}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{80}{2}\right)^2 + 40^2}$$

$$\sigma_{1,3} = 160 \pm \sqrt{1600 + 1600} = 160 \pm 56.6$$

$$\sigma_1 = 216.6 \text{ kPa}, \quad \sigma_3 = 103.4 \text{ kPa}$$

(2) 判断破坏：

计算极限平衡时的σ₁f：
$$\sigma_{1f} = \sigma_3 \tan^2(45°+10°) + 2c \tan(45°+10°)$$

$$\sigma_{1f} = 103.4 \times \tan^2(55°) + 40 \times \tan(55°)$$

$$\sigma_{1f} = 103.4 \times 2.04 + 40 \times 1.43 = 210.9 + 57.2 = 268.1 \text{ kPa}$$

由于σ₁ = 216.6 kPa < σ₁f = 268.1 kPa，该点未发生破坏。

**例题10-3** 某饱和粘土有效强度指标c'=10kPa，φ'=28°。某点总应力σ₁=280kPa，σ₃=120kPa，孔隙水压力u=50kPa。判断该点是否破坏。

**解**：

有效应力：
$$\sigma'_1 = \sigma_1 - u = 280 - 50 = 230 \text{ kPa}$$
$$\sigma'_3 = \sigma_3 - u = 120 - 50 = 70 \text{ kPa}$$

计算极限平衡时的σ'₁f：
$$\sigma'_{1f} = 70 \times \tan^2(45°+14°) + 2 \times 10 \times \tan(45°+14°)$$

$$\sigma'_{1f} = 70 \times \tan^2(59°) + 20 \times \tan(59°)$$

$$\sigma'_{1f} = 70 \times 2.80 + 20 \times 1.66 = 196 + 33.2 = 229.2 \text{ kPa}$$

由于σ'₁ = 230 kPa ≈ σ'₁f = 229.2 kPa，该点接近极限平衡状态。

===== 本章习题 =====

1. 土的抗剪强度由哪两部分组成？写出库仑公式。

2. 什么是莫尔-库仑强度准则？写出极限平衡条件的表达式。

3. 破裂面发生在什么方向？与最大主应力面成什么角度？

4. 某砂土φ=35°，c=0。σ₃=150kPa，求极限平衡时的σ₁。

5. 某粘性土c=25kPa，φ=18°。某点σ₁=300kPa，σ₃=150kPa，判断是否破坏。

6. 影响土抗剪强度的主要因素有哪些？

7. 为什么超固结土的粘聚力大、内摩擦角小？

8. 某饱和粘土c'=15kPa，φ'=25°。某点总应力σ₁=350kPa，σ₃=150kPa，u=80kPa。用有效应力法判断是否破坏。

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*本章完*