====== 实变函数 (Real Analysis) ====== ===== 课程简介 ===== 实变函数是数学分析课程的深入与延续，主要研究欧氏空间上的测度与积分理论。本课程以Lebesgue测度和Lebesgue积分为核心，建立比Riemann积分更加完善和强大的积分理论体系。 ===== 课程目标 ===== 通过本课程的学习，学生将掌握： - 集合论与点集拓扑的基础知识 - Lebesgue测度论的严格构造 - 可测函数的性质与收敛理论 - Lebesgue积分的定义、性质与极限定理 - 微分与不定积分的关系 - $L^p$空间的理论与应用 - Fourier分析的基础知识 ===== 课程特色 ===== - **理论严谨**: 从公理化出发，构建完整的测度论体系 - **内容丰富**: 涵盖测度论、积分论、泛函分析基础等多个领域 - **应用广泛**: 为概率论、泛函分析、偏微分方程等后续课程奠定基础 - **历史传承**: 继承黎曼、勒贝格、波莱尔等数学大师的智慧结晶 ===== 总目录 ===== ==== 第一部分：集合与点集 ==== - [[第一章_集合与基数|第一章 集合与基数]] — 集合运算、映射、可数集、不可数集、基数理论 - [[第二章_R^n中的点集|第二章 $\mathbb{R}^n$中的点集]] — 开集、闭集、完备集、Cantor集、Borel集 ==== 第二部分：测度论 ==== - [[第三章_测度论|第三章 测度论]] — 外测度、可测集、Lebesgue测度、不可测集 - [[第四章_可测函数|第四章 可测函数]] — 可测函数的定义与性质、Egorov定理、Lusin定理 - [[第五章_可测函数列的收敛|第五章 可测函数列的收敛]] — 几乎处处收敛、依测度收敛、Riesz定理 ==== 第三部分：Lebesgue积分 ==== - [[第六章_Lebesgue积分的定义|第六章 Lebesgue积分的定义]] — 非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数 - [[第七章_Lebesgue积分的性质|第七章 Lebesgue积分的性质]] — 单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理 - [[第八章_Lebesgue积分与Riemann积分的关系|第八章 Lebesgue积分与Riemann积分的关系]] — 可积性条件、反常积分 ==== 第四部分：微分与不定积分 ==== - [[第九章_单调函数的可微性|第九章 单调函数的可微性]] — Vitali覆盖定理、Lebesgue定理 - [[第十章_有界变差函数|第十章 有界变差函数]] — 有界变差、Jordan分解、导数 - [[第十一章_绝对连续函数|第十一章 绝对连续函数]] — 绝对连续、微积分基本定理 - [[第十二章_Lebesgue-Stieltjes积分|第十二章 Lebesgue-Stieltjes积分]] — Stieltjes积分、概率测度 ==== 第五部分：$L^p$空间 ==== - [[第十三章_L^p空间|第十三章 $L^p$空间]] — $L^p$范数、Holder不等式、Minkowski不等式 - [[第十四章_L^p空间的完备性|第十四章 $L^p$空间的完备性]] — Riesz-Fischer定理、稠密性 - [[第十五章_L^p空间的收敛性|第十五章 $L^p$空间的收敛性]] — 强收敛、弱收敛、一致可积性 ==== 第六部分：Fourier分析基础 ==== - [[第十六章_Fourier级数|第十六章 Fourier级数]] — $L^2$意义下的Fourier级数、Parseval等式 - [[第十七章_Fourier变换|第十七章 Fourier变换]] — $L^1$和$L^2$上的Fourier变换、反演公式 - [[第十八章_广义函数简介|第十八章 广义函数简介]] — 试验函数空间、分布、Dirac delta ===== 参考教材 ===== - 周民强. 《实变函数论》. 北京大学出版社 - 程其襄等. 《实变函数论与泛函分析基础》. 高等教育出版社 - W. Rudin. 《Real and Complex Analysis》. McGraw-Hill - H. L. Royden. 《Real Analysis》. Pearson - P. R. Halmos. 《Measure Theory》. Springer ===== 预备知识 ===== 学习本课程需要具备以下基础： - 数学分析（一元和多元微积分） - 线性代数 - 基本的集合论知识 - 点集拓扑的初步概念 ===== 学习建议 ===== 1. **循序渐进**: 测度论的构造较为抽象，建议仔细理解每一步的逻辑 2. **多做练习**: 通过例题和习题加深对概念的理解 3. **画图辅助**: 对于点集、函数图像等，画图有助于直观理解 4. **联系对比**: 注意与Riemann积分的对比，理解Lebesgue积分的优势 5. **阅读经典**: 适当阅读原始文献，了解理论发展的历史脉络 ===== 历史背景 ===== 实变函数理论的发展与数学分析的严格化进程密切相关： - **1902年**: Henri Lebesgue发表博士论文，创立Lebesgue积分理论 - **1905-1915年**: Borel、Fréchet等发展了抽象测度论 - **1913年**: Radon和Nikodym建立了Radon-Nikodym定理 - **1930年代**: Kolmogorov将测度论应用于概率论的公理化 - **1940年代**: Bourbaki学派推动了测度论的现代化表述 这些理论的建立不仅解决了Riemann积分的诸多局限，更为现代分析数学奠定了坚实基础。 ===== 应用前景 ===== 实变函数的理论和方法在以下领域有重要应用： - **概率论与随机过程**: 概率测度、随机变量的期望 - **泛函分析**: Banach空间、Hilbert空间的理论 - **偏微分方程**: 弱解理论、Sobolev空间 - **调和分析**: Fourier分析、奇异积分 - **数值分析**: 函数逼近、数值积分 掌握实变函数，将为深入学习和研究现代数学打下坚实基础。