====== 第一章 复数与复变函数 ======

本章介绍复数的基本概念、运算规则，以及复变函数的基础理论，为后续学习解析函数、复积分等内容奠定基础。

===== 1.1 复数的概念与表示 =====

==== 1.1.1 复数的定义 ====

**定义 1.1**（复数）
形如 $z = x + iy$ 的数称为**复数**，其中：
  * $x, y \in \mathbb{R}$ 为实数
  * $i$ 为**虚数单位**，满足 $i^2 = -1$

其中 $x$ 称为复数 $z$ 的**实部**，记作 $\Re(z)$ 或 $\text{Re}(z)$；$y$ 称为复数 $z$ 的**虚部**，记作 $\Im(z)$ 或 $\text{Im}(z)$。

当 $y = 0$ 时，$z = x$ 为实数；当 $x = 0$ 且 $y \neq 0$ 时，$z = iy$ 称为**纯虚数**。

全体复数构成的集合记作 $\mathbb{C}$，即：
$$\mathbb{C} = \{z = x + iy \mid x, y \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$$

==== 1.1.2 复数的几何表示 ====

**复平面（Argand平面）**

复数 $z = x + iy$ 可以用平面直角坐标系中的点 $(x, y)$ 来表示，也可以用从原点指向该点的**向量**来表示。这样的平面称为**复平面**或**Argand平面**：
  * 横轴称为**实轴**（对应实部 $x$）
  * 纵轴称为**虚轴**（对应虚部 $y$）

**复数的极坐标表示**

复数 $z = x + iy$ 还可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示：
$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

于是：
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$

其中：
  * $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 称为复数 $z$ 的**模**或**绝对值**
  * $\theta = \arg(z)$ 称为复数 $z$ 的**辐角**

**辐角的多值性**

辐角 $\theta$ 是多值的，满足：
$$\tan\theta = \frac{y}{x}$$

若 $\theta_0$ 是 $z$ 的一个辐角，则 $\theta = \theta_0 + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）都是 $z$ 的辐角。

满足 $-\pi < \theta_0 \leq \pi$ 的辐角称为**主值**，记作 $\text{Arg}(z)$。

==== 1.1.3 复球面与无穷远点 ====

**Riemann球面**

将复平面上的点与单位球面上的点建立一一对应关系：
  * 球面的南极对应复平面的原点
  * 球面的赤道对应复平面的单位圆
  * 球面的北极对应**无穷远点**，记作 $\infty$

**扩充复平面**
$$\mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$$

无穷远点的运算规则：
  * $z \pm \infty = \infty$（$z \neq \infty$）
  * $z \cdot \infty = \infty$（$z \neq 0$）
  * $\frac{z}{\infty} = 0$（$z \neq \infty$）
  * $\frac{z}{0} = \infty$（$z \neq 0$）

===== 1.2 复数的运算 =====

==== 1.2.1 代数运算 ====

设 $z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$，则：

**加法**：
$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$$

**减法**：
$$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$$

**乘法**：
$$z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$$

或用极坐标形式（设 $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$，$z_2 = r_2e^{i\theta_2}$）：
$$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

**除法**（$z_2 \neq 0$）：
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$

极坐标形式：
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$

==== 1.2.2 共轭复数 ====

**定义 1.2**（共轭复数）
复数 $z = x + iy$ 的**共轭复数**定义为：
$$\bar{z} = x - iy$$

**共轭复数的性质**：
  * $\overline{\bar{z}} = z$
  * $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$
  * $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
  * $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$
  * $z + \bar{z} = 2\Re(z)$，$z - \bar{z} = 2i\Im(z)$
  * $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$

==== 1.2.3 复数的乘幂与方根 ====

**De Moivre公式**

由 $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$，得：
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

**复数的n次方根**

设 $z = re^{i\theta}$，求 $w$ 使得 $w^n = z$。

设 $w = \rho e^{i\phi}$，则：
$$\rho^n e^{in\phi} = re^{i\theta}$$

解得：
$$\rho = r^{1/n}, \quad \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1$$

因此，$z$ 的 $n$ 次方根有 $n$ 个不同的值：
$$w_k = r^{1/n}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1$$

这 $n$ 个根在复平面上均匀分布在以原点为中心、半径为 $r^{1/n}$ 的圆周上。

**例1.1** 求 $\sqrt[3]{-8}$ 的所有值。

**解**：$-8 = 8e^{i\pi}$，所以：
$$w_k = 2e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$

计算得：
  * $w_0 = 2e^{i\pi/3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$
  * $w_1 = 2e^{i\pi} = -2$
  * $w_2 = 2e^{i5\pi/3} = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$

===== 1.3 复平面上的点集 =====

==== 1.3.1 基本概念 ====

**定义 1.3**
设 $z_0 \in \mathbb{C}$，$r > 0$：

  * **开圆盘**：$D(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < r\}$
  * **闭圆盘**：$\bar{D}(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| \leq r\}$
  * **圆周**：$C(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| = r\}$

**定义 1.4**（点与集合的关系）
设 $E \subset \mathbb{C}$，$z_0 \in \mathbb{C}$：

  * **内点**：存在 $r > 0$，使得 $D(z_0, r) \subset E$
  * **外点**：存在 $r > 0$，使得 $D(z_0, r) \cap E = \emptyset$
  * **边界点**：对任意 $r > 0$，$D(z_0, r)$ 中既有 $E$ 的点，也有 $E$ 外的点
  * **边界**：$\partial E = \{z : z \text{ 是 } E \text{ 的边界点}\}$

**定义 1.5**（开集与闭集）
  * **开集**：所有点都是内点的集合
  * **闭集**：补集为开集的集合，或包含所有边界点的集合
  * **连通集**：不能分解为两个非空不相交开集之并的集合
  * **区域**：连通的开集
  * **闭区域**：区域连同其边界

==== 1.3.2 曲线的复数表示 ====

**定义 1.6**（曲线）
设 $z(t) = x(t) + iy(t)$，$t \in [a, b]$，若 $x(t), y(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则称 $z(t)$ 定义了复平面上的一条**连续曲线**。

  * **简单曲线（Jordan曲线）**：$t_1 \neq t_2$ 时，$z(t_1) \neq z(t_2)$（端点可以重合）
  * **光滑曲线**：$x'(t), y'(t)$ 连续且不同时为零
  * **分段光滑曲线**：由有限条光滑曲线连接而成
  * **闭曲线**：$z(a) = z(b)$

**Jordan曲线定理**：任何简单闭曲线将复平面分成两个区域，一个有界（内部），一个无界（外部）。

===== 1.4 复变函数 =====

==== 1.4.1 复变函数的定义 ====

**定义 1.7**（复变函数）
设 $D \subset \mathbb{C}$ 为非空点集，若对 $D$ 中每个复数 $z$，按照某种对应法则 $f$，有唯一确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的**复变函数**，记作：
$$w = f(z), \quad z \in D$$

其中：
  * $D$ 称为函数的定义域
  * $\{f(z) : z \in D\}$ 称为函数的值域

**复变函数的实部与虚部**

设 $w = f(z)$，$z = x + iy$，则 $w$ 可以表示为：
$$w = u(x, y) + iv(x, y)$$

其中 $u(x, y) = \Re(f(z))$，$v(x, y) = \Im(f(z))$ 是二元实函数。

**例1.2** 设 $f(z) = z^2$，求其实部和虚部。

**解**：设 $z = x + iy$，则：
$$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$

所以：
$$u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy$$

==== 1.4.2 复变函数的极限 ====

**定义 1.8**（极限）
设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某去心邻域内有定义，$A \in \mathbb{C}$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时，有：
$$|f(z) - A| < \varepsilon$$

则称当 $z \to z_0$ 时，$f(z)$ 的**极限**为 $A$，记作：
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$$

**定理 1.1**（极限的充要条件）
设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，$z_0 = x_0 + iy_0$，$A = a + ib$，则：
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \iff \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x, y) = a \text{ 且 } \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x, y) = b$$

**极限运算法则**：
设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，$\lim_{z \to z_0} g(z) = B$，则：
  * $\lim_{z \to z_0}[f(z) \pm g(z)] = A \pm B$
  * $\lim_{z \to z_0}[f(z) \cdot g(z)] = A \cdot B$
  * $\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

==== 1.4.3 复变函数的连续性 ====

**定义 1.9**（连续性）
设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义，若：
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$

则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**连续**。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内**连续**。

**定理 1.2**（连续性的充要条件）
$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 处连续，当且仅当 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都在 $(x_0, y_0)$ 处连续。

**定理 1.3**（连续函数的性质）
  * 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
  * 连续函数的复合函数仍连续
  * 有界闭区域上的连续函数必有界，且能达到最大值和最小值
  * 有界闭区域上的连续函数必一致连续

===== 1.5 典型例题 =====

**例1.3** 将下列复数表示为 $x + iy$ 的形式：
(1) $\frac{1+i}{1-i}$；(2) $(1+i)^{10}$；(3) $\sqrt{3+4i}$

**解**：

(1) 分子分母同乘以 $(1+i)$：
$$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$$

(2) 先将 $1+i$ 化为极坐标形式：
$$1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$$

所以：
$$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}e^{i\cdot 10\pi/4} = 32e^{i\cdot 5\pi/2} = 32e^{i\cdot \pi/2} = 32i$$

(3) 设 $\sqrt{3+4i} = x + iy$，则：
$$(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 3 + 4i$$

得方程组：
$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = 4 \end{cases}$$

由第二式得 $y = \frac{2}{x}$，代入第一式：
$$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \Rightarrow x^4 - 3x^2 - 4 = 0$$

解得 $x^2 = 4$（舍去负根），所以 $x = \pm 2$，$y = \pm 1$（同号）。

因此：$\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$

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**例1.4** 证明：若 $|z| = 1$，则 $\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right| = 1$（其中 $|a| < 1$）。

**证明**：由 $|z| = 1$，有 $\bar{z} = \frac{1}{z}$。

$$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(z-a)(\bar{z}-\bar{a})}{(1-\bar{a}z)(1-a\bar{z})}$$

$$= \frac{z\bar{z} - a\bar{z} - \bar{a}z + a\bar{a}}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + a\bar{a}z\bar{z}}$$

$$= \frac{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2} = 1$$

因此原式成立。

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**例1.5** 证明 $\lim_{z \to i}\frac{z^2+1}{z-i} = 2i$。

**证明**：当 $z \neq i$ 时：
$$\frac{z^2+1}{z-i} = \frac{(z-i)(z+i)}{z-i} = z+i$$

所以：
$$\left|\frac{z^2+1}{z-i} - 2i\right| = |z+i-2i| = |z-i|$$

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < |z-i| < \delta$ 时：
$$\left|\frac{z^2+1}{z-i} - 2i\right| = |z-i| < \varepsilon$$

因此极限为 $2i$。

===== 1.6 习题 =====

**一、基础练习**

1. 将下列复数化为 $x + iy$ 形式：
   (a) $\frac{3+2i}{2-3i}$
   (b) $\frac{1}{i} - \frac{3i}{1-i}$
   (c) $(2-i)^4$

2. 求下列复数的模和辐角：
   (a) $\sqrt{3} - i$
   (b) $-1 + i$
   (c) $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$

3. 求 $\sqrt[4]{-16}$ 的所有值。

4. 证明：$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$（平行四边形法则）。

**二、思考题**

5. 讨论函数 $f(z) = \frac{\bar{z}}{z}$ 在 $z \to 0$ 时的极限是否存在。

6. 设 $f(z) = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}$，研究其在 $z \neq 0$ 处的连续性。

7. 证明：复数 $z_1, z_2, z_3$ 构成等边三角形的充要条件是：
   $$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$$

**三、应用题**

8. 设复平面上的映射 $w = z^2$，求：
   (a) 直线 $x = 1$ 在此映射下的像
   (b) 圆 $|z| = 2$ 在此映射下的像

9. 证明：方程 $|z-z_1| = k|z-z_2|$（$k > 0$，$k \neq 1$）表示圆（Apollonius圆）。

===== 本章小结 =====

  * 复数 $z = x+iy = re^{i\theta}$ 有多种表示形式
  * 复数运算遵循特定规则，De Moivre公式在乘幂和开方中非常有用
  * 复平面上的点集理论是研究复变函数的基础
  * 复变函数可分解为两个二元实函数，其极限和连续性可转化为实函数的相应概念

**下章预告**：第二章将介绍复变函数的导数概念，研究解析函数的性质。