====== 第七章 傅里叶变换 ====== 本章介绍傅里叶变换的基本理论，包括傅里叶积分、傅里叶变换的定义与性质、卷积定理及其应用，这是信号处理和数学物理中的重要工具。 ===== 7.1 傅里叶级数回顾 ===== ==== 7.1.1 周期函数的傅里叶展开 ==== 设 $f(t)$ 是以 $T$ 为周期的函数，满足Dirichlet条件，则可展开为： $$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{2\pi nt}{T} + b_n\sin\frac{2\pi nt}{T}\right)$$ 或复数形式： $$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$ 其中： $$c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt$$ ==== 7.1.2 频谱概念 ==== $|c_n|$ 表示频率为 $\frac{n}{T}$ 的分量的幅度，称为**频谱**。 当 $T \to \infty$ 时，离散频谱变为连续频谱，引出傅里叶积分。 ===== 7.2 傅里叶积分 ===== ==== 7.2.1 傅里叶积分定理 ==== **定理 7.1**（傅里叶积分定理） 设 $f(t)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上满足： * 绝对可积：$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty$ * 在任何有限区间上满足Dirichlet条件 则： $$\frac{1}{2}[f(t+0) + f(t-0)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega$$ 在连续点： $$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega$$ ==== 7.2.2 傅里叶变换的定义 ==== **定义 7.1**（傅里叶变换） 设 $f(t)$ 满足傅里叶积分条件，定义： $$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$ 为 $f(t)$ 的**傅里叶变换**（或**像函数**）。 其逆变换为： $$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$ **注**：不同文献中傅里叶变换的定义可能略有不同（如系数 $1/\sqrt{2\pi}$ 的分配）。 ===== 7.3 傅里叶变换的性质 ===== ==== 7.3.1 线性性质 ==== $$\mathcal{F}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha\mathcal{F}[f(t)] + \beta\mathcal{F}[g(t)]$$ ==== 7.3.2 位移性质 ==== **时移**： $$\mathcal{F}[f(t - t_0)] = e^{-i\omega t_0}F(\omega)$$ **频移**： $$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}f(t)] = F(\omega - \omega_0)$$ ==== 7.3.3 尺度变换 ==== 设 $a \neq 0$： $$\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$$ **物理意义**：信号在时域压缩（$a > 1$），则在频域扩展，幅度减小。 ==== 7.3.4 微分性质 ==== **时域微分**： $$\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega)$$ 一般地： $$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (i\omega)^n F(\omega)$$ 要求 $f^{(k)}(t) \to 0$（当 $t \to \pm\infty$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$）。 **频域微分**： $$\mathcal{F}[tf(t)] = i\frac{d}{d\omega}F(\omega)$$ ==== 7.3.5 积分性质 ==== $$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\right] = \frac{1}{i\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega)$$ ==== 7.3.6 对称性质 ==== 若 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$，则： $$\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)$$ ===== 7.4 常用函数的傅里叶变换 ===== ==== 7.4.1 矩形脉冲（门函数） ==== $$g_\tau(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \tau/2 \\ 0, & |t| > \tau/2 \end{cases}$$ $$\mathcal{F}[g_\tau(t)] = \int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-i\omega t}dt = \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} = \tau\text{sinc}\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)$$ 其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。 ==== 7.4.2 指数衰减函数 ==== $f(t) = e^{-\alpha t}u(t)$（$\alpha > 0$），其中 $u(t)$ 为单位阶跃函数。 $$\mathcal{F}[e^{-\alpha t}u(t)] = \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt = \frac{1}{\alpha + i\omega}$$ ==== 7.4.3 高斯函数 ==== $f(t) = e^{-t^2}$ $$\mathcal{F}[e^{-t^2}] = \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$$ 高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。 ==== 7.4.4 冲激函数（Dirac delta） ==== **定义**： $$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$$ **性质**： $$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt = f(t_0)$$ **傅里叶变换**： $$\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$$ $$\mathcal{F}[\delta(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}$$ $$\mathcal{F}[1] = 2\pi\delta(\omega)$$ $$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}] = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$$ ===== 7.5 卷积与卷积定理 ===== ==== 7.5.1 卷积的定义 ==== **定义 7.2**（卷积） 两个函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的**卷积**定义为： $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$ **性质**： * 交换律：$f * g = g * f$ * 结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$ * 分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$ ==== 7.5.2 卷积定理 ==== **定理 7.2**（时域卷积定理） $$\mathcal{F}[f * g] = F(\omega) \cdot G(\omega)$$ **证明**： $$\mathcal{F}[f * g] = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\right]e^{-i\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{-i\omega t}dt\right]d\tau$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}G(\omega)d\tau = F(\omega)G(\omega)$$ **定理 7.3**（频域卷积定理） $$\mathcal{F}[f \cdot g] = \frac{1}{2\pi}(F * G)(\omega)$$ ===== 7.6 傅里叶变换的应用 ===== ==== 7.6.1 求解微分方程 ==== **例7.1** 求解微分方程：$y'' + y = f(t)$。 **解**：两边取傅里叶变换： $$(i\omega)^2Y(\omega) + Y(\omega) = F(\omega)$$ $$(1 - \omega^2)Y(\omega) = F(\omega)$$ $$Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{1 - \omega^2}$$ $$y(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{F(\omega)}{1 - \omega^2}\right]$$ ==== 7.6.2 信号处理 ==== **Parseval等式**： $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega$$ 表示信号在时域和频域的能量相等。 ===== 7.7 典型例题 ===== **例7.2** 求 $f(t) = e^{-|t|}$ 的傅里叶变换。 **解**： $$F(\omega) = \int_{-\infty}^{0}e^{t}e^{-i\omega t}dt + \int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{1-i\omega} + \frac{1}{1+i\omega} = \frac{2}{1+\omega^2}$$ --- **例7.3** 利用卷积定理求 $\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\right]$。 **解**：由例7.2，$\mathcal{F}[e^{-|t|}] = \frac{2}{1+\omega^2}$，所以： $$\frac{1}{(1+\omega^2)^2} = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{1+\omega^2}\right)^2$$ 由卷积定理： $$\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\right] = \frac{1}{4}(e^{-|t|} * e^{-|t|})$$ $$= \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|\tau|}e^{-|t-\tau|}d\tau$$ 分段计算得： $$= \frac{1}{4}(1+|t|)e^{-|t|}$$ ===== 7.8 习题 ===== **一、基础练习** 1. 求下列函数的傅里叶变换： (a) $f(t) = \begin{cases} e^{-\alpha t}, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$（$\alpha > 0$） (b) $f(t) = \cos(\omega_0 t)$ (c) $f(t) = \frac{\sin t}{t}$ 2. 利用傅里叶变换的性质，求： (a) $\mathcal{F}[te^{-\alpha t}u(t)]$ (b) $\mathcal{F}[f(t)\cos\omega_0 t]$（已知 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$） (c) $\mathcal{F}\left[\frac{1}{t^2+1}\right]$ 3. 计算下列卷积： (a) $e^{-\alpha t}u(t) * e^{-\beta t}u(t)$（$\alpha, \beta > 0$） (b) $g_\tau(t) * g_\tau(t)$（门函数自卷积） **二、思考题** 4. 证明：若 $f(t)$ 是实偶函数，则 $F(\omega)$ 是实偶函数；若 $f(t)$ 是实奇函数，则 $F(\omega)$ 是纯虚奇函数。 5. 利用Parseval等式，计算 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt$。 6. 证明采样定理：若 $f(t)$ 的傅里叶变换在 $|\omega| > \omega_c$ 时为零，则 $f(t)$ 可由采样值 $f(nT)$（$T = \frac{\pi}{\omega_c}$）完全重构。 **三、应用题** 7. 用傅里叶变换求解边值问题： $$\begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, & -\infty < x < \infty, t > 0 \\ u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$ 8. 计算积分：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$（利用傅里叶变换）。 ===== 本章小结 ===== * 傅里叶变换将时域信号转换为频域表示 * 重要性质：线性、位移、尺度变换、微分、积分、卷积 * 卷积定理：时域卷积对应频域乘积，大大简化计算 * 冲激函数的引入扩展了傅里叶变换的适用范围 * 在信号处理、微分方程求解中有广泛应用 **下章预告**：第八章将介绍拉普拉斯变换，适用于更广泛的函数类。