====== 第六章 保角映射 ======

本章介绍解析函数的几何性质——保角性，研究各类保角映射，特别是分式线性映射及其应用。

===== 6.1 保角映射的概念 =====

==== 6.1.1 解析函数的导数的几何意义 ====

设 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，$f'(z_0) \neq 0$。考察 $z_0$ 附近曲线的映射。

**伸缩率**：
对于过 $z_0$ 的曲线 $C$，设其在 $z_0$ 的切线与实轴夹角为 $\theta$。

$$\frac{dw}{dz}\bigg|_{z_0} = f'(z_0) = |f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}$$

导数的模 $|f'(z_0)|$ 表示映射在 $z_0$ 处的**伸缩率**（长度放大倍数）。

**旋转角**：
导数的辐角 $\arg f'(z_0)$ 表示映射在 $z_0$ 处切线方向的**旋转角**。

==== 6.1.2 保角性 ====

**定理 6.1**（保角性）
设 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，$f'(z_0) \neq 0$，则：

  * 过 $z_0$ 的任意两条曲线的夹角，经映射后保持不变（包括大小和方向）
  * 这种保持角度不变的映射称为**保角映射**（或**共形映射**）

**证明**：设两条曲线 $C_1, C_2$ 在 $z_0$ 的切线方向分别为 $\theta_1, \theta_2$。

映射后，方向变为 $\theta_1 + \arg f'(z_0)$ 和 $\theta_2 + \arg f'(z_0)$。

夹角：$(\theta_2 + \arg f') - (\theta_1 + \arg f') = \theta_2 - \theta_1$，保持不变。

**定义 6.1**（保角映射）
若映射 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都保持角度和伸缩率，则称 $f(z)$ 为 $D$ 内的**保角映射**。

**定理 6.2**
$f(z)$ 在 $D$ 内保角 $\iff$ $f(z)$ 在 $D$ 内解析且 $f'(z) \neq 0$。

===== 6.2 分式线性映射 =====

==== 6.2.1 定义与性质 ====

**定义 6.2**（分式线性映射）
形如：
$$w = \frac{az + b}{cz + d}$$

的映射称为**分式线性映射**（或**Möbius变换**），其中 $a, b, c, d$ 为复常数，且满足 $ad - bc \neq 0$（否则退化为常数）。

**规定**：当 $c \neq 0$ 时，$z = -\frac{d}{c}$ 映射为 $w = \infty$，$z = \infty$ 映射为 $w = \frac{a}{c}$。

==== 6.2.2 基本性质 ====

**定理 6.3**
分式线性映射具有以下性质：

  * **保角性**：在扩充复平面上保角（导数不为零）
  * **保圆性**：将圆周或直线映射为圆周或直线（直线视为过无穷远点的圆）
  * **保对称性**：关于圆周对称的点，映射后仍关于像圆周对称
  * **双射性**：扩充复平面上的双射，存在逆映射

**保圆性的理解**：
圆周的一般方程：$A(x^2+y^2) + Bx + Cy + D = 0$

用 $z = x + iy$，$\bar{z} = x - iy$，可写成：$\alpha z\bar{z} + \beta z + \bar{\beta}\bar{z} + \gamma = 0$

分式线性变换将此形式保持，故圆变为圆或直线。

==== 6.2.3 确定分式线性映射的条件 ====

**定理 6.4**
给定扩充复平面上三个不同点 $z_1, z_2, z_3$ 和三个不同点 $w_1, w_2, w_3$，存在唯一的分式线性映射将 $z_k$ 映射为 $w_k$（$k = 1, 2, 3$）。

该映射由**交比**确定：
$$\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_3)(w_2-w_1)} = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$$

==== 6.2.4 典型分式线性映射 ====

**平移**：$w = z + b$

**旋转**：$w = e^{i\theta}z$

**伸缩**：$w = rz$（$r > 0$）

**反演**：$w = \frac{1}{z}$

**上半平面到单位圆**：
$$w = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{z - \bar{z}_0}$$

其中 $\text{Im } z_0 > 0$（$z_0$ 映射为圆心）。

**单位圆到单位圆**：
$$w = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1 - \bar{z}_0 z}$$

其中 $|z_0| < 1$（$z_0$ 映射为圆心）。

**例6.1** 求将上半平面 $\text{Im } z > 0$ 映射到单位圆 $|w| < 1$，且 $z = i$ 映射为 $w = 0$ 的分式线性映射。

**解**：由公式：
$$w = e^{i\theta}\frac{z - i}{z + i}$$

当 $z$ 在实轴上时，$|w| = \left|\frac{x-i}{x+i}\right| = 1$，满足边界对应。

可取 $\theta = 0$，得：
$$w = \frac{z - i}{z + i}$$

===== 6.3 初等函数的映射 =====

==== 6.3.1 幂函数 ====

**映射**：$w = z^n$（$n \geq 2$ 为正整数）

**性质**：
  * 将角形区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{n}$ 映射为上半平面 $0 < \arg w < \pi$
  * 将扇形区域 $0 < \arg z < \alpha$ 映射为 $0 < \arg w < n\alpha$
  * 在 $z = 0$ 处不保角（导数为0）

==== 6.3.2 指数函数 ====

**映射**：$w = e^z$

**性质**：
  * 将带形区域 $0 < \text{Im } z < 2\pi$ 映射为全平面除去正实轴
  * 将带形区域 $0 < \text{Im } z < \pi$ 映射为上半平面
  * 周期性：$z$ 和 $z + 2\pi i$ 映射到同一点

==== 6.3.3 对数函数 ====

**映射**：$w = \ln z$（主值分支）

这是对数函数的逆映射：
  * 将上半平面映射为带形 $0 < \text{Im } w < \pi$
  * 将角形区域映射为半带形

===== 6.4 Joukowsky映射 =====

==== 6.4.1 定义 ====

**定义 6.3**（Joukowsky映射）
$$w = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$$

这是空气动力学中的重要映射。

==== 6.4.2 性质 ====

  * 将单位圆 $|z| = 1$ 映射为实轴上的线段 $[-1, 1]$
  * 将圆 $|z| = r$（$r \neq 1$）映射为椭圆
  * 将过 $\pm 1$ 的圆映射为翼型曲线（Joukowsky翼型）

===== 6.5 Schwarz-Christoffel映射 =====

==== 6.5.1 问题背景 ====

如何将上半平面保角映射为多边形内部？

==== 6.5.2 Schwarz-Christoffel公式 ====

**定理 6.5**（Schwarz-Christoffel变换）
将上半平面 $\text{Im } z > 0$ 映射为具有内角 $\alpha_1\pi, \alpha_2\pi, \ldots, \alpha_n\pi$ 的多边形的保角映射为：
$$w = A\int^z (\zeta - x_1)^{\alpha_1-1}(\zeta - x_2)^{\alpha_2-1}\cdots(\zeta - x_n)^{\alpha_n-1}d\zeta + B$$

其中：
  * $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ 为实轴上的点，对应多边形的顶点
  * $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = n - 2$（多边形内角和条件）
  * $A, B$ 为复常数，确定多边形的位置和大小

==== 6.5.3 特殊情况 ====

**三角形**：
$$w = A\int^z (\zeta - x_1)^{\alpha_1-1}(\zeta - x_2)^{\alpha_2-1}(\zeta - x_3)^{\alpha_3-1}d\zeta + B$$

**矩形**（利用椭圆积分）：
$$w = A\int^z \frac{d\zeta}{\sqrt{(1-\zeta^2)(1-k^2\zeta^2)}} + B$$

这是第一类椭圆积分。

===== 6.6 保角映射的应用 =====

==== 6.6.1 Laplace方程的边值问题 ====

**原理**：
若 $w = f(z)$ 是保角映射，$\varphi(u, v)$ 在 $w$ 平面调和，则 $\varphi(u(x,y), v(x,y))$ 在 $z$ 平面调和。

**应用步骤**：
  * 将复杂区域通过保角映射变为简单区域（如圆、半平面）
  * 在新区域求解Laplace方程
  * 映射回原区域

==== 6.6.2 流体力学中的应用 ====

**无旋无源平面流动**：
复势 $w = f(z) = \varphi + i\psi$，其中：
  * $\varphi$ 为速度势（等值线为等势线）
  * $\psi$ 为流函数（等值线为流线）

**Joukowsky翼型**：通过Joukowsky映射将圆柱绕流问题转化为翼型绕流问题。

==== 6.6.3 电场中的应用 ====

导体边界问题可通过保角映射化为简单边界求解。

===== 6.7 典型例题 =====

**例6.2** 求将单位圆 $|z| < 1$ 映射为单位圆 $|w| < 1$，且 $z = \frac{1}{2}$ 映射为 $w = 0$，$\arg w'(\frac{1}{2}) = 0$ 的分式线性映射。

**解**：由单位圆到单位圆的映射公式：
$$w = e^{i\theta}\frac{z - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}z} = e^{i\theta}\frac{2z - 1}{2 - z}$$

计算导数：
$$w'(z) = e^{i\theta}\frac{4 - 1}{(2-z)^2} = e^{i\theta}\frac{3}{(2-z)^2}$$

$$w'\left(\frac{1}{2}\right) = e^{i\theta}\frac{3}{(\frac{3}{2})^2} = e^{i\theta}\frac{4}{3}$$

由条件 $\arg w'(\frac{1}{2}) = 0$，取 $\theta = 0$。

因此：
$$w = \frac{2z - 1}{2 - z}$$

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**例6.3** 求将角形区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{4}$ 映射为单位圆 $|w| < 1$ 的保角映射。

**解**：分步进行：

(1) $z_1 = z^4$：将角形 $0 < \arg z < \frac{\pi}{4}$ 映射为上半平面 $\text{Im } z_1 > 0$

(2) $w = \frac{z_1 - i}{z_1 + i}$：将上半平面映射为单位圆

复合得：
$$w = \frac{z^4 - i}{z^4 + i}$$

===== 6.8 习题 =====

**一、基础练习**

1. 求将上半平面映射为单位圆 $|w| < 1$，且满足以下条件的分式线性映射：
   (a) $f(i) = 0$，$f(\infty) = 1$
   (b) $f(2i) = 0$，$f'(2i) > 0$

2. 求将单位圆 $|z| < 1$ 映射为单位圆 $|w| < 1$，且满足以下条件的分式线性映射：
   (a) $f(\frac{1}{2}) = 0$，$f(-1) = 1$
   (b) $f(0) = \frac{1}{2}$，$f'(0) > 0$

3. 求将下列区域映射为上半平面的保角映射：
   (a) 扇形 $0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$
   (b) 带形 $0 < \text{Im } z < \pi$
   (c) 区域 $|z| > 1$，$\text{Im } z > 0$

**二、思考题**

4. 证明：分式线性映射将关于圆周对称的点映射为关于像圆周对称的点。

5. 求所有将实轴映射为实轴的分式线性映射。

6. 设 $w = f(z)$ 将 $|z| < 1$ 保角映射为 $|w| < 1$，证明：
$$\frac{|dz|}{1-|z|^2} = \frac{|dw|}{1-|w|^2}$$

（Poincaré度量不变性）

**三、应用题**

7. 求将上半单位圆 $|z| < 1$，$\text{Im } z > 0$ 映射为上半平面的保角映射。

8. 利用Schwarz-Christoffel变换，求上半平面到矩形 $-K < \text{Re } w < K$，$0 < \text{Im } w < K'$ 的映射。

===== 本章小结 =====

  * 保角映射保持角度和局部形状，在工程和物理中有广泛应用
  * 解析函数且导数不为零是保角的充要条件
  * 分式线性映射是基本的保角映射，具有保圆性和保对称性
  * 初等函数（幂函数、指数函数等）可构造各类保角映射
  * Joukowsky映射和Schwarz-Christoffel映射有重要的工程应用

**下章预告**：第七章开始介绍积分变换，首先是傅里叶变换。