====== 第十七章 积分变换法 ====== ===== 17.1 傅里叶变换解偏微分方程 ===== **基本思想：** 对空间变量作傅里叶变换，将PDE化为ODE求解。 **例 17.1** 无限长弦的自由振动 $$\begin{cases} u_{tt} = a^2u_{xx}, & -\infty < x < +\infty, t > 0 \\ u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$ **解：** 对 $x$ 作傅里叶变换，记 $\tilde{u}(\omega, t) = \mathcal{F}[u(x,t)]$ $$\frac{d^2\tilde{u}}{dt^2} = -a^2\omega^2\tilde{u}$$ 解得：$\tilde{u}(\omega, t) = A(\omega)\cos(a\omega t) + B(\omega)\sin(a\omega t)$ 由初始条件确定系数后，作逆变换得 $$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi$$ 这就是**达朗贝尔公式**。 ===== 17.2 拉普拉斯变换解偏微分方程 ===== **基本思想：** 对时间变量作拉普拉斯变换，将PDE化为ODE。 **例 17.2** 半无限长杆的热传导 $$\begin{cases} u_t = a^2u_{xx}, & x > 0, t > 0 \\ u(x,0) = 0 \\ u(0,t) = u_0 \end{cases}$$ **解：** 对 $t$ 作拉普拉斯变换 $$s\tilde{u} = a^2\frac{d^2\tilde{u}}{dx^2}$$ 解得：$\tilde{u}(x,s) = \frac{u_0}{s}e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$ 查表或留数计算逆变换得 $$u(x,t) = u_0\text{erfc}\left(\frac{x}{2a\sqrt{t}}\right)$$ ===== 17.3 汉克尔变换 ===== **定义 17.1（汉克尔变换）** $$F_n(\rho) = \int_0^{\infty} rf(r)J_n(\rho r)dr$$ 逆变换： $$f(r) = \int_0^{\infty} \rho F_n(\rho)J_n(\rho r)d\rho$$ **应用：** 柱坐标下的拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。