====== 第十四章 数学物理方程 ======

===== 14.1 引言 =====

数学物理方程（Mathematical Physics Equations）是描述物理现象中各种场和振动过程的偏微分方程。本章介绍三类典型的二阶线性偏微分方程：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程，它们是数学物理方法的核心内容。

===== 14.2 数学物理方程的导出 =====

==== 14.2.1 波动方程 ====

**弦振动问题**

考虑一根均匀柔软的细弦，长度为 $L$，线密度为 $\rho$，张力为 $T$。设弦的横向位移为 $u(x, t)$。

取微元 $[x, x+dx]$，分析受力：
- 垂直方向合力：$T\sin\theta_2 - T\sin\theta_1 \approx T(u_x|_{x+dx} - u_x|_x) = T u_{xx} dx$
- 根据牛顿第二定律：$\rho dx \cdot u_{tt} = T u_{xx} dx$

得到**一维波动方程**：
$$u_{tt} = a^2 u_{xx} \quad (14.1)$$

其中 $a = \sqrt{T/\rho}$ 为波速。

**高维波动方程**

三维情况：
$$u_{tt} = a^2 \nabla^2 u = a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) \quad (14.2)$$

==== 14.2.2 热传导方程 ====

考虑三维空间中的热传导问题。设温度场为 $u(\vec{r}, t)$，热流密度 $\vec{q}$ 满足傅里叶定律：
$$\vec{q} = -k \nabla u \quad (14.3)$$

其中 $k$ 为热导率。

取体积元 $dV$，根据能量守恒：
$$\rho c \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla u) + F(\vec{r}, t) \quad (14.4)$$

其中 $F$ 为热源项。若 $k$ 为常数，得到**热传导方程**：
$$u_t = a^2 \nabla^2 u + f \quad (14.5)$$

其中 $a^2 = \frac{k}{\rho c}$ 为热扩散系数。

无热源情况：
$$u_t = a^2 \nabla^2 u \quad (14.6)$$

==== 14.2.3 拉普拉斯方程和泊松方程 ====

**稳态热传导**

当温度场不随时间变化时，$u_t = 0$，得到**拉普拉斯方程**：
$$\nabla^2 u = 0 \quad (14.7)$$

有热源时得到**泊松方程**：
$$\nabla^2 u = -f \quad (14.8)$$

**静电学**

电势 $\phi$ 满足泊松方程：
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (14.9)$$

无电荷区域满足拉普拉斯方程：
$$\nabla^2 \phi = 0 \quad (14.10)$$

===== 14.3 方程的分类 =====

==== 14.3.1 一般二阶线性PDE ====

二元二阶线性偏微分方程的一般形式：
$$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G \quad (14.11)$$

**判别式**：$\Delta = B^2 - AC$

==== 14.3.2 分类标准 ====

| 判别式 | 类型 | 标准形式 | 典型例子 |
|--------|------|----------|----------|
|$\Delta < 0$ | 椭圆型 | $u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + \cdots = 0$ | 拉普拉斯方程 |
|$\Delta = 0$ | 抛物型 | $u_{\xi\xi} + \cdots = 0$ | 热传导方程 |
|$\Delta > 0$ | 双曲型 | $u_{\xi\eta} + \cdots = 0$ | 波动方程 |

**例 14.1** 判断方程 $u_{xx} + 4u_{xy} + 3u_{yy} = 0$ 的类型。

**解**：$A = 1$，$B = 2$，$C = 3$

$\Delta = 4 - 3 = 1 > 0$，故为**双曲型**。

===== 14.4 定解条件 =====

==== 14.4.1 初始条件 ====

**波动方程**（二阶时间导数）：
$$u|_{t=0} = \varphi(x), \quad u_t|_{t=0} = \psi(x) \quad (14.12)$$

**热传导方程**（一阶时间导数）：
$$u|_{t=0} = \varphi(x) \quad (14.13)$$

==== 14.4.2 边界条件 ====

**第一类边界条件**（Dirichlet条件）：
$$u|_{\partial\Omega} = f \quad (14.14)$$

**第二类边界条件**（Neumann条件）：
$$\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial\Omega} = f \quad (14.15)$$

**第三类边界条件**（Robin条件）：
$$\left(\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right)|_{\partial\Omega} = f \quad (14.16)$$

===== 14.5 叠加原理 =====

**定理 14.1**（叠加原理）如果 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是线性齐次方程 $Lu = 0$ 的解，则它们的线性组合 $u = \sum_{i=1}^n c_i u_i$ 也是解。

**定理 14.2** 如果 $u_0$ 是非齐次方程 $Lu = f$ 的特解，$u_h$ 是对应齐次方程的解，则 $u = u_0 + u_h$ 是非齐次方程的通解。

===== 14.6 方程的基本性质 =====

==== 14.6.1 波动方程的性质 ====

**有限传播速度**：扰动以速度 $a$ 传播。

**惠更斯原理**：三维波动方程中，点源的波前是球面。

**例 14.2** 一维波动方程的达朗贝尔解
$$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi \quad (14.17)$$

==== 14.6.2 热传导方程的性质 ====

**无穷传播速度**：扰动瞬时传播到整个空间。

**光滑化效应**：即使初始条件不光滑，解在 $t > 0$ 时也是光滑的。

**极值原理**：解的最大值和最小值在边界或初始时刻达到。

==== 14.6.3 拉普拉斯方程的性质 ====

**极值原理**：调和函数在区域内部不能取得最大（小）值，除非为常数。

**平均值性质**：调和函数在球心的值等于球面上的平均值。

**唯一性**：Dirichlet问题的解是唯一的。

===== 14.7 习题 =====

**习题 14.1** 推导均匀薄膜的横向振动方程（二维波动方程）。

**习题 14.2** 判断下列方程的类型：
(a) $u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} = 0$
(b) $u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$
(c) $4u_{xx} + 12u_{xy} + 9u_{yy} = 0$

**习题 14.3** 证明拉普拉斯方程的平均值性质。

**习题 14.4** 推导极坐标下拉普拉斯方程的形式：
$$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$

**习题 14.5** 验证达朗贝尔公式 $(14.17)$ 满足波动方程和初始条件。

**习题 14.6** 写出圆柱坐标系和球坐标系下拉普拉斯方程的形式。

**习题 14.7** 证明热传导方程的极值原理。

===== 14.8 本章小结 =====

1. **波动方程**：$u_{tt} = a^2 \nabla^2 u$，描述振动和波的传播，双曲型

2. **热传导方程**：$u_t = a^2 \nabla^2 u$，描述热扩散，抛物型

3. **拉普拉斯方程**：$\nabla^2 u = 0$，描述稳态场，椭圆型

4. **定解条件**：初始条件 + 边界条件构成适定问题

5. **分类**：通过判别式 $B^2 - AC$ 判断方程类型

===== 参考文献 =====

1. Courant, R. & Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics.
2. Evans, L.C. Partial Differential Equations.
3. 姜礼尚, 陈亚浙. 数学物理方程讲义.

====== 章节信息 ======
编辑次数：1
创建日期：2025-01-15
最后修改：2025-01-15