====== 常微分方程 ====== 常微分方程是研究含有一个自变量的微分方程的学科，是数学各专业的重要基础课程，在物理、工程、生物、经济等领域有广泛应用。 ===== 课程概述 ===== 常微分方程的主要研究内容包括： - **初等积分法**：可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程 - **解的存在唯一性**：Picard迭代法、逐次逼近、Lipschitz条件 - **高阶线性方程**：常系数、变系数、幂级数解法 - **线性微分方程组**：矩阵方法、基本解矩阵、指数矩阵 - **定性理论与稳定性**：平衡点、稳定性、极限环、分支 - **边值问题**：Sturm-Liouville理论、特征值问题 ===== 课程目录 ===== ==== 基础理论 ==== * [[常微分方程:第一章_微分方程的基本概念|第一章 微分方程的基本概念]] - 定义、阶、解、初值问题 * [[常微分方程:第二章_一阶微分方程|第二章 一阶微分方程]] - 可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程 * [[常微分方程:第三章_一阶微分方程的解的存在唯一性|第三章 一阶微分方程的解的存在唯一性]] - Picard迭代、Lipschitz条件 ==== 高阶方程 ==== * [[常微分方程:第四章_高阶微分方程|第四章 高阶微分方程]] - 降阶法、高阶线性方程 * [[常微分方程:第五章_常系数线性微分方程|第五章 常系数线性微分方程]] - 特征方程、特解求法、常数变易法 * [[常微分方程:第六章_变系数线性微分方程|第六章 变系数线性微分方程]] - Euler方程、幂级数解法 ==== 线性方程组 ==== * [[常微分方程:第七章_线性微分方程组|第七章 线性微分方程组]] - 矩阵表示、基本解矩阵 * [[常微分方程:第八章_常系数线性微分方程组|第八章 常系数线性微分方程组]] - 特征值方法、指数矩阵 ==== 定性理论与稳定性 ==== * [[常微分方程:第九章_自治系统与相平面分析|第九章 自治系统与相平面分析]] - 平衡点、稳定性、相图 * [[常微分方程:第十章_Lyapunov稳定性理论|第十章 Lyapunov稳定性理论]] - Lyapunov函数、稳定性判据 * [[常微分方程:第十一章_极限环与分支|第十一章 极限环与分支]] - Poincaré-Bendixson定理、Hopf分支 ==== 边值问题与特殊函数 ==== * [[常微分方程:第十二章_Sturm-Liouville边值问题|第十二章 Sturm-Liouville边值问题]] - 特征值、正交性、展开定理 * [[常微分方程:第十三章_特殊函数|第十三章 特殊函数]] - Gamma函数、Bessel函数、Legendre函数 ==== 应用与数值方法 ==== * [[常微分方程:第十四章_微分方程的应用|第十四章 微分方程的应用]] - 物理、生物、经济模型 * [[常微分方程:第十五章_数值解法|第十五章 数值解法]] - Euler法、Runge-Kutta法、稳定性 ===== 参考教材 ===== - 王高雄等.《常微分方程》(第3版). 高等教育出版社 - 丁同仁、李承治.《常微分方程教程》. 高等教育出版社 - Coddington, E.A. & Levinson, N.《Theory of Ordinary Differential Equations》