====== 第一章 微分方程的基本概念 ======

===== 1.1 引言 =====

微分方程是现代数学中最重要的分支之一，它起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分时期。从物理学中的运动定律到生物学中的种群动力学，从经济学中的增长模型到工程学中的控制系统，微分方程为描述自然现象和社会现象提供了强大的数学工具。

**定义 1.1** 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为**微分方程**(Differential Equation)。

具体来说，设 <math>x</math> 为自变量，<math>y = y(x)</math> 为未知函数，则形如
<math>F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0</math>
的方程称为微分方程，其中 <math>F</math> 是已知函数，<math>y', y'', \ldots, y^{(n)}</math> 分别是 <math>y</math> 对 <math>x</math> 的一阶、二阶、...、<math>n</math> 阶导数。

===== 1.2 微分方程的分类 =====

==== 1.2.1 常微分方程与偏微分方程 ====

**定义 1.2** 如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，则称为**常微分方程**(Ordinary Differential Equation, ODE)。

**定义 1.3** 如果微分方程中的未知函数依赖于两个或更多个自变量，则称为**偏微分方程**(Partial Differential Equation, PDE)。

本课程主要研究常微分方程。

**例 1.1** (常微分方程)
  * <math>\frac{dy}{dx} = 2x</math>
  * <math>y'' + y = 0</math>
  * <math>(y')^2 + xy = \sin x</math>

**例 1.2** (偏微分方程)
  * <math>\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (热传导方程)
  * <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> (Laplace方程)

==== 1.2.2 微分方程的阶 ====

**定义 1.4** 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的**阶**。

**例 1.3**
  * <math>\frac{dy}{dx} = x^2</math> 是一阶微分方程
  * <math>y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)</math> 是二阶微分方程
  * <math>y^{(4)} + (y'')^3 = x</math> 是四阶微分方程

==== 1.2.3 线性与非线性微分方程 ====

**定义 1.5** 如果微分方程关于未知函数及其各阶导数都是一次的（线性的），则称为**线性微分方程**。否则称为**非线性微分方程**。

<math>n</math> 阶线性微分方程的一般形式为：
<math>a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)</math>

其中 <math>a_n(x) \not\equiv 0</math>，<math>a_i(x)</math> (<math>i = 0, 1, \ldots, n</math>) 和 <math>f(x)</math> 都是已知函数。

**例 1.4** (线性方程)
  * <math>y' + xy = x^2</math>
  * <math>y'' + 3y' + 2y = \sin x</math>

**例 1.5** (非线性方程)
  * <math>y' + y^2 = x</math> (因 <math>y</math> 为二次)
  * <math>y'' + \sin y = 0</math> (因含有 <math>\sin y</math>)
  * <math>(y')^2 + y = x</math> (因 <math>y'</math> 为二次)

===== 1.3 微分方程的解 =====

==== 1.3.1 解的定义 ====

**定义 1.6** 设函数 <math>y = \varphi(x)</math> 在区间 <math>I</math> 上具有 <math>n</math> 阶连续导数，如果将 <math>y = \varphi(x)</math> 代入 <math>n</math> 阶微分方程
<math>F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0</math>
后，使之成为恒等式，即
<math>F(x, \varphi(x), \varphi'(x), \ldots, \varphi^{(n)}(x)) \equiv 0</math>
则称 <math>y = \varphi(x)</math> 为该微分方程在区间 <math>I</math> 上的**解**。

==== 1.3.2 通解与特解 ====

**定义 1.7** <math>n</math> 阶微分方程的含有 <math>n</math> 个独立的任意常数 <math>C_1, C_2, \ldots, C_n</math> 的解
<math>y = \varphi(x, C_1, C_2, \ldots, C_n)</math>
称为该方程的**通解**。

**定义 1.8** 通过给定通解中任意常数的特定值而得到的解称为**特解**。

**例 1.6** 验证 <math>y = Ce^x</math> 是方程 <math>y' = y</math> 的通解，并求满足 <math>y(0) = 2</math> 的特解。

**解：** 对 <math>y = Ce^x</math> 求导得 <math>y' = Ce^x = y</math>，故是解。该解含一个任意常数 <math>C</math>，而方程为一阶，所以是通解。

由 <math>y(0) = 2</math> 得 <math>C \cdot e^0 = 2</math>，即 <math>C = 2</math>。

特解为 <math>y = 2e^x</math>。

==== 1.3.3 隐式解与显式解 ====

**定义 1.9** 如果微分方程的解以 <math>y = \varphi(x)</math> 的形式给出，则称为**显式解**。

**定义 1.10** 如果微分方程的解以 <math>\Phi(x, y) = 0</math> 的形式给出，则称为**隐式解**。

**例 1.7** 方程 <math>y' = -\frac{x}{y}</math> 的通解可表示为：
  * 显式解：<math>y = \pm\sqrt{C - x^2}</math>
  * 隐式解：<math>x^2 + y^2 = C</math>

==== 1.3.4 奇解 ====

**定义 1.11** 如果微分方程存在一个解，它不能由通解通过给任意常数以特定值而得到，则称此解为**奇解**。

**例 1.8** 方程 <math>(y')^2 = 4y</math> 的通解为 <math>y = (x + C)^2</math>，但它还有一个解 <math>y = 0</math> 不包含在通解中，因此 <math>y = 0</math> 是奇解。

===== 1.4 初值问题 =====

==== 1.4.1 初值条件的引入 ====

在实际问题中，我们通常需要求满足特定条件的解。对于 <math>n</math> 阶微分方程，通常需要 <math>n</math> 个条件来确定唯一的解。最常见的条件形式是初值条件。

**定义 1.12** 对于 <math>n</math> 阶微分方程，条件
<math>y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math>
称为**初值条件**或**初始条件**，其中 <math>x_0, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}</math> 是给定的常数。

**定义 1.13** 求微分方程满足初值条件的解的问题称为**初值问题**(Initial Value Problem, IVP)或**Cauchy问题**。

==== 1.4.2 初值问题的几何意义 ====

对于一阶微分方程 <math>y' = f(x, y)</math>，初值问题 <math>y(x_0) = y_0</math> 的几何意义是：求通过点 <math>(x_0, y_0)</math> 的积分曲线。

<math>y' = f(x_0, y_0)</math> 给出了积分曲线在点 <math>(x_0, y_0)</math> 处的切线斜率。

**例 1.9** 求解初值问题：
<math>y' = 2x, \quad y(1) = 3</math>

**解：** 对方程积分得 <math>y = x^2 + C</math>。

由 <math>y(1) = 3</math> 得 <math>1 + C = 3</math>，故 <math>C = 2</math>。

特解为 <math>y = x^2 + 2</math>。

==== 1.4.3 解的存在唯一性 ====

并非所有的初值问题都有解，即使有解也可能不唯一。

**例 1.10** 初值问题 <math>y' = y^{2/3}, y(0) = 0</math> 有无穷多个解：
<math>y = \begin{cases} 0, & x \leq C \\ \frac{(x-C)^3}{27}, & x > C \end{cases}</math>
其中 <math>C \geq 0</math> 为任意常数。

这引出了重要的理论问题：在什么条件下初值问题有唯一解？这个问题将在第三章详细讨论。

===== 1.5 积分曲线与方向场 =====

==== 1.5.1 积分曲线 ====

**定义 1.14** 微分方程的解 <math>y = \varphi(x)</math> 在 <math>xy</math> 平面上的图形称为该方程的**积分曲线**。

==== 1.5.2 方向场 ====

对于一阶微分方程 <math>y' = f(x, y)</math>，在定义域内每一点 <math>(x, y)</math> 处，方程给出了积分曲线在该点的切线斜率 <math>f(x, y)</math>。

**定义 1.15** 在 <math>xy</math> 平面的区域 <math>D</math> 内，每一点 <math>(x, y)</math> 处画一个以 <math>f(x, y)</math> 为斜率的短线段，这样得到的图形称为微分方程 <math>y' = f(x, y)</math> 的**方向场**或**线素场**。

通过方向场，我们可以直观地了解微分方程解的大致形态。

**例 1.11** 方程 <math>y' = x</math> 的方向场由斜率为 <math>x</math> 的线段组成。可以看到积分曲线应该是向上凸的抛物线族 <math>y = \frac{x^2}{2} + C</math>。

===== 1.6 习题 =====

**习题 1.1** 判断下列方程的阶数，并指出是线性还是非线性的：
  a) <math>y'' + xy' + y = 0</math>
  b) <math>(y')^3 + xy = 0</math>
  c) <math>\frac{d^4y}{dx^4} + y = \sin x</math>
  d) <math>\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2</math>

**习题 1.2** 验证下列函数是否为相应方程的解：
  a) <math>y = Ce^{-x}</math> 与 <math>y' + y = 0</math>
  b) <math>y = x\sin x</math> 与 <math>xy' - y = x^2\cos x</math>

**习题 1.3** 求下列方程的通解，并求满足给定初值条件的特解：
  a) <math>y' = 3x^2, y(0) = 1</math>
  b) <math>y'' = 6x, y(0) = 0, y'(0) = 1</math>

**习题 1.4** 一曲线通过点 <math>(1, 2)</math>，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程。

**习题 1.5** 设放射性物质的衰变速率与该物质的量成正比，半衰期为 <math>T</math> 年。若初始时刻有 <math>N_0</math> 克该物质，建立并求解描述这一过程的微分方程。

===== 1.7 参考答案 =====

**习题 1.1**
  a) 二阶，线性
  b) 一阶，非线性
  c) 四阶，线性
  d) 一阶，非线性

**习题 1.2**
  a) 是解
  b) 是解

**习题 1.3**
  a) 通解 <math>y = x^3 + C</math>，特解 <math>y = x^3 + 1</math>
  b) 通解 <math>y = x^3 + C_1x + C_2</math>，特解 <math>y = x^3 + x</math>

**习题 1.4** <math>y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}</math>

**习题 1.5** 方程 <math>\frac{dN}{dt} = -kN</math>，解 <math>N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}</math>

===== 1.8 本章小结 =====

本章介绍了常微分方程的基本概念：

  * 微分方程的定义与分类（阶、线性/非线性）
  * 解的概念（通解、特解、隐式解）
  * 初值问题的概念
  * 积分曲线与方向场的几何意义

掌握这些基本概念是学习后续各章内容的基础。特别要注意线性与非线性的区别，以及初值条件在确定特解中的作用。