====== 第七章 线性微分方程组 ======

===== 7.1 引言 =====

在实际问题中，常常需要同时考虑多个相互关联的未知函数，这就导致了微分方程组的研究。线性微分方程组是微分方程理论中最重要的部分之一，它不仅在数学理论上完善，在控制理论、电路分析、生态系统等领域也有广泛应用。

===== 7.2 线性微分方程组的一般理论 =====

==== 7.2.1 方程组的标准形式 ====

一阶线性微分方程组的标准形式为：
<math>\begin{cases} x_1' = a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + \cdots + a_{1n}(t)x_n + f_1(t) \\ x_2' = a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + \cdots + a_{2n}(t)x_n + f_2(t) \\ \vdots \\ x_n' = a_{n1}(t)x_1 + a_{n2}(t)x_2 + \cdots + a_{nn}(t)x_n + f_n(t) \end{cases}</math>

其中 <math>x_i = x_i(t)</math> 是未知函数，<math>a_{ij}(t)</math> 和 <math>f_i(t)</math> 是已知连续函数。

==== 7.2.2 矩阵表示 ====

引入向量记号：
<math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}</math>

方程组可简写为：
<math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)</math>

当 <math>\mathbf{f}(t) \equiv \mathbf{0}</math> 时，称为**齐次线性方程组**；否则称为**非齐次线性方程组**。

初值条件为 <math>\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0</math>。

**例 7.1** 将方程组写成矩阵形式：
<math>\begin{cases} x_1' = 2x_1 + 3x_2 + e^t \\ x_2' = -x_1 + 4x_2 \end{cases}</math>

**解：**
<math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^t \\ 0 \end{pmatrix}</math>

==== 7.2.3 高阶方程与方程组的等价性 ====

任何高阶线性微分方程都可以化为一阶线性方程组。

**例 7.2** 将 <math>y'' + p(t)y' + q(t)y = f(t)</math> 化为方程组。

**解：** 令 <math>x_1 = y, x_2 = y'</math>，则：
<math>\begin{cases} x_1' = x_2 \\ x_2' = -q(t)x_1 - p(t)x_2 + f(t) \end{cases}</math>

即
<math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & -p(t) \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}</math>

===== 7.3 齐次线性方程组的通解结构 =====

==== 7.3.1 叠加原理 ====

**定理 7.1** 若 <math>\mathbf{\varphi}_1(t), \ldots, \mathbf{\varphi}_k(t)</math> 是齐次方程组 <math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}</math> 的解，则它们的线性组合 <math>c_1\mathbf{\varphi}_1 + \cdots + c_k\mathbf{\varphi}_k</math> 也是解。

==== 7.3.2 基本解组与基本解矩阵 ====

**定义 7.1** 齐次方程组的 <math>n</math> 个线性无关的解称为**基本解组**。

**定义 7.2** 以基本解组为列向量构成的矩阵
<math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} \mathbf{\varphi}_1(t) & \mathbf{\varphi}_2(t) & \cdots & \mathbf{\varphi}_n(t) \end{pmatrix}</math>
称为**基本解矩阵**。

**定理 7.2** 齐次方程组的通解为：
<math>\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} = c_1\mathbf{\varphi}_1 + c_2\mathbf{\varphi}_2 + \cdots + c_n\mathbf{\varphi}_n</math>
其中 <math>\mathbf{c} = (c_1, \ldots, c_n)^T</math> 是任意常向量。

**例 7.3** 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} e^{2t} \\ 2e^{2t} \end{pmatrix}</math> 是方程组 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math> 的基本解组。

**解：** 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1' = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix}</math> ✓

类似验证 <math>\mathbf{\varphi}_2</math>。

计算Wronski行列式：
<math>\det\begin{pmatrix} e^t & e^{2t} \\ e^t & 2e^{2t} \end{pmatrix} = 2e^{3t} - e^{3t} = e^{3t} \neq 0</math>

故线性无关，是基本解组。

==== 7.3.3 Wronski行列式与Liouville公式 ====

**定义 7.3** 设 <math>\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n</math> 是 <math>n</math> 个解，称
<math>W(t) = \det(\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n)</math>
为它们的**Wronski行列式**。

**定理 7.3** <math>n</math> 个解线性无关 <math>\Leftrightarrow W(t) \neq 0</math> 对某点成立。

**定理 7.4 (Liouville公式)**
<math>W(t) = W(t_0)e^{\int_{t_0}^{t} \text{tr}A(s)ds}</math>

其中 <math>\text{tr}A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}</math> 是矩阵 <math>A</math> 的迹。

===== 7.4 非齐次线性方程组的通解 =====

==== 7.4.1 通解结构 ====

**定理 7.5** 设 <math>\Phi(t)</math> 是齐次方程组的基本解矩阵，<math>\mathbf{\psi}(t)</math> 是非齐次方程组的特解，则非齐次方程组的通解为：
<math>\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)</math>

==== 7.4.2 常数变易法 ====

设特解形式：
<math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t)</math>

代入非齐次方程：
<math>\Phi'\mathbf{c} + \Phi\mathbf{c}' = A\Phi\mathbf{c} + \mathbf{f}</math>

由于 <math>\Phi' = A\Phi</math>，得：
<math>\Phi\mathbf{c}' = \mathbf{f}</math>

故：
<math>\mathbf{c}(t) = \int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt</math>

特解：
<math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt</math>

**例 7.4** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ \sin t \end{pmatrix}</math>。

**解：** 齐次方程的基本解矩阵：
<math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math>

<math>\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}</math>

<math>\Phi^{-1}\mathbf{f} = \begin{pmatrix} -\sin^2 t \\ \sin t \cos t \end{pmatrix}</math>

积分得：
<math>\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \\ -\frac{\cos 2t}{4} \end{pmatrix}</math>

特解：
<math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t\cos t}{2} - \frac{\sin t}{4} \\ -\frac{t\sin t}{2} \end{pmatrix}</math>

通解：<math>\mathbf{x} = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)</math>。

===== 7.5 习题 =====

**习题 7.1** 将下列高阶方程化为方程组：
  a) <math>y''' - 2y'' + y' - 2y = 0</math>
  b) <math>y'' + \omega^2 y = f(t)</math>

**习题 7.2** 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}</math> 是方程组 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math> 的基本解组。

**习题 7.3** 设 <math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}</math>，验证它是某齐次方程组的基本解矩阵，并求对应的 <math>A(t)</math>。

**习题 7.4** 利用常数变易法求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^{2t} \\ 0 \end{pmatrix}</math>。

**习题 7.5** 证明Liouville公式：若 <math>\Phi(t)</math> 是 <math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}</math> 的基本解矩阵，则 <math>\det\Phi(t) = \det\Phi(t_0)e^{\int_{t_0}^t \text{tr}A(s)ds}</math>。

===== 7.6 参考答案 =====

**习题 7.1**
  a) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>
  b) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}</math>

**习题 7.2** 验证代入方程和Wronski行列式非零。

**习题 7.3** <math>A(t) = \Phi'(t)\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}</math>

**习题 7.4** 通解 <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} (C_1 + C_2t + \frac{t^2}{2})e^{2t} \\ C_2e^{2t} \end{pmatrix}</math>

===== 7.7 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **矩阵表示**：线性方程组可用矩阵形式 <math>\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}</math> 简洁表示
  * **基本解组与基本解矩阵**：齐次方程组的 <math>n</math> 个线性无关解构成基本解组
  * **Wronski行列式**：判断解的线性无关性
  * **通解结构**：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
  * **常数变易法**：求非齐次特解的一般方法
  * **Liouville公式**：Wronski行列式的演化规律

这些理论是下一章研究常系数线性方程组的基础。