====== 第二章 一阶微分方程 ======

===== 2.1 引言 =====

一阶微分方程是常微分方程中最基础也是最重要的部分，许多实际问题都可以归结为一阶微分方程。本章将系统介绍几类可解析求解的一阶微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程和恰当方程。

一阶微分方程的一般形式为：
<math>F(x, y, y') = 0</math>

或解出 <math>y'</math> 的形式：
<math>y' = f(x, y)</math>

===== 2.2 可分离变量方程 =====

==== 2.2.1 定义 ====

**定义 2.1** 形如
<math>\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)</math>
的一阶微分方程称为**可分离变量方程**，其中 <math>f(x)</math> 和 <math>g(y)</math> 分别是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的连续函数。

==== 2.2.2 解法 ====

当 <math>g(y) \neq 0</math> 时，可将方程改写为：
<math>\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx</math>

两边积分得：
<math>\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C</math>

如果存在 <math>y_0</math> 使 <math>g(y_0) = 0</math>，则 <math>y = y_0</math> 也是方程的解（可能是奇解）。

**例 2.1** 求解方程 <math>\frac{dy}{dx} = xy</math>。

**解：** 当 <math>y \neq 0</math> 时，分离变量得：
<math>\frac{dy}{y} = xdx</math>

两边积分：
<math>\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1</math>

即 <math>|y| = e^{C_1}e^{x^2/2}</math>，令 <math>C = \pm e^{C_1}</math>，得：
<math>y = Ce^{x^2/2}</math>

当 <math>y = 0</math> 时，代入原方程验证也是解。实际上它包含在上述通解中（<math>C = 0</math>）。

==== 2.2.3 应用：衰变与增长模型 ====

**例 2.2** (放射性衰变) 放射性物质的衰变速率与现存量成正比，设比例常数为 <math>k > 0</math>。若初始时刻有 <math>N_0</math> 克物质，求 <math>t</math> 时刻的物质量 <math>N(t)</math>。

**解：** 建立方程：
<math>\frac{dN}{dt} = -kN</math>

分离变量并积分：
<math>\int \frac{dN}{N} = -k\int dt</math>
<math>\ln N = -kt + C</math>

由 <math>N(0) = N_0</math> 得 <math>C = \ln N_0</math>，故：
<math>N(t) = N_0 e^{-kt}</math>

半衰期 <math>T</math> 满足 <math>N(T) = \frac{N_0}{2}</math>，即：
<math>e^{-kT} = \frac{1}{2}, \quad T = \frac{\ln 2}{k}</math>

**例 2.3** (种群增长) 假设某种群的增长率与种群数量成正比（Malthus模型），初始种群为 <math>P_0</math>，求种群数量随时间的变化规律。

**解：** 设 <math>P(t)</math> 为 <math>t</math> 时刻的种群数量，则：
<math>\frac{dP}{dt} = rP, \quad P(0) = P_0</math>

解得：
<math>P(t) = P_0 e^{rt}</math>

其中 <math>r</math> 为内禀增长率。

===== 2.3 齐次方程 =====

==== 2.3.1 定义 ====

**定义 2.2** 形如
<math>\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)</math>
的一阶微分方程称为**齐次方程**。

更一般地，若 <math>M(x, y)</math> 和 <math>N(x, y)</math> 是同次齐次函数，则方程 <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> 也是齐次方程。

==== 2.3.2 解法 ====

令 <math>u = \frac{y}{x}</math>，即 <math>y = ux</math>，则：
<math>\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}</math>

代入原方程：
<math>u + x\frac{du}{dx} = f(u)</math>

分离变量：
<math>\frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}</math>

积分后回代 <math>u = \frac{y}{x}</math> 即得通解。

**例 2.4** 求解 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}</math>。

**解：** 令 <math>u = \frac{y}{x}</math>，则 <math>y = ux</math>，<math>\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}</math>。

代入得：
<math>u + x\frac{du}{dx} = u + \frac{1}{u}</math>

即 <math>x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}</math>，分离变量：
<math>u\, du = \frac{dx}{x}</math>

积分：
<math>\frac{u^2}{2} = \ln|x| + C_1</math>

即 <math>u^2 = 2\ln|x| + C</math>。

回代得通解：
<math>\frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x| + C</math>
或 <math>y^2 = x^2(2\ln|x| + C)</math>

==== 2.3.3 可化为齐次方程的方程 ====

形如 <math>\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\right)</math> 的方程。

**情况一：** 若 <math>c_1 = c_2 = 0</math>，已是齐次方程。

**情况二：** 若 <math>\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}</math>，作平移变换 <math>x = \xi + h, y = \eta + k</math>，取 <math>h, k</math> 满足 <math>a_1h + b_1k + c_1 = 0, a_2h + b_2k + c_2 = 0</math>，化为齐次方程。

**情况三：** 若 <math>\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \lambda</math>，令 <math>v = a_2x + b_2y</math>，化为可分离变量方程。

===== 2.4 一阶线性微分方程 =====

==== 2.4.1 定义 ====

**定义 2.3** 形如
<math>\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)</math>
的方程称为**一阶线性微分方程**，其中 <math>p(x)</math> 和 <math>q(x)</math> 是已知连续函数。

当 <math>q(x) \equiv 0</math> 时，称为**齐次线性方程**；当 <math>q(x) \not\equiv 0</math> 时，称为**非齐次线性方程**。

==== 2.4.2 齐次线性方程的解法 ====

<math>\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0</math> 是可分离变量方程。

分离变量并积分：
<math>\frac{dy}{y} = -p(x)dx</math>
<math>\ln|y| = -\int p(x)dx + C_1</math>

通解为：
<math>y = Ce^{-\int p(x)dx}</math>
其中 <math>C</math> 为任意常数。

==== 2.4.3 非齐次线性方程的解法——常数变易法 ====

**步骤：**

1. 先求对应齐次方程的通解 <math>y = Ce^{-\int p(x)dx}</math>
2. 将常数 <math>C</math> 换成待定函数 <math>C(x)</math>，设非齐次方程的解为：
   <math>y = C(x)e^{-\int p(x)dx}</math>
3. 代入非齐次方程确定 <math>C(x)</math>

计算：<math>\frac{dy}{dx} = C'(x)e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}</math>

代入原方程：
<math>C'(x)e^{-\int p(x)dx} = q(x)</math>

故：
<math>C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C</math>

**通解公式：**
<math>y = e^{-\int p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C\right]</math>

**例 2.5** 求解 <math>\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^2</math>。

**解：** <math>p(x) = -\frac{2}{x}, q(x) = x^2</math>

<math>\int p(x)dx = -2\ln|x| = \ln x^{-2}</math>

<math>e^{\int p(x)dx} = x^{-2}, e^{-\int p(x)dx} = x^2</math>

<math>\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx = \int x^2 \cdot x^{-2}dx = \int dx = x</math>

通解：
<math>y = x^2(x + C) = x^3 + Cx^2</math>

==== 2.4.4 应用：RL电路 ====

**例 2.6** 串联RL电路中，电阻为 <math>R</math>，电感为 <math>L</math>，电源电动势为 <math>E</math>。求电流 <math>i(t)</math> 的变化规律，设 <math>i(0) = 0</math>。

**解：** 由Kirchhoff定律：
<math>L\frac{di}{dt} + Ri = E</math>

即 <math>\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = \frac{E}{L}</math>

通解：
<math>i(t) = e^{-\frac{R}{L}t}\left[\int \frac{E}{L}e^{\frac{R}{L}t}dt + C\right] = \frac{E}{R} + Ce^{-\frac{R}{L}t}</math>

由 <math>i(0) = 0</math> 得 <math>C = -\frac{E}{R}</math>，故：
<math>i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})</math>

===== 2.5 Bernoulli方程 =====

==== 2.5.1 定义 ====

**定义 2.4** 形如
<math>\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n</math>
的方程称为**Bernoulli方程**，其中 <math>n \neq 0, 1</math>。

==== 2.5.2 解法 ====

当 <math>y \neq 0</math> 时，两边除以 <math>y^n</math>：
<math>y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = q(x)</math>

令 <math>z = y^{1-n}</math>，则 <math>\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}</math>。

代入得线性方程：
<math>\frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)</math>

**例 2.7** 求解 <math>\frac{dy}{dx} + y = xy^3</math>。

**解：** <math>n = 3</math>，令 <math>z = y^{-2}</math>，则 <math>\frac{dz}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}</math>。

原方程变为：
<math>-\frac{1}{2}\frac{dz}{dx} + z = x</math>
即 <math>\frac{dz}{dx} - 2z = -2x</math>

解得：<math>z = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}</math>

回代得：<math>\frac{1}{y^2} = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}</math>

===== 2.6 恰当方程 =====

==== 2.6.1 定义 ====

**定义 2.5** 形如
<math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math>
的方程，若存在二元函数 <math>u(x, y)</math> 使得
<math>du = Mdx + Ndy</math>
即 <math>\frac{\partial u}{\partial x} = M, \frac{\partial u}{\partial y} = N</math>，
则称该方程为**恰当方程**或**全微分方程**。

此时方程可写为 <math>du = 0</math>，通解为 <math>u(x, y) = C</math>。

==== 2.6.2 恰当条件 ====

**定理 2.1** 设 <math>M(x, y)</math> 和 <math>N(x, y)</math> 在矩形区域 <math>D</math> 内有连续的一阶偏导数，则方程 <math>Mdx + Ndy = 0</math> 为恰当方程的充分必要条件是：
<math>\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}</math>

**证明：** (必要性) 若方程恰当，则存在 <math>u</math> 使 <math>\frac{\partial u}{\partial x} = M, \frac{\partial u}{\partial y} = N</math>。
故 <math>\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}</math>。

**例 2.8** 验证 <math>(2xy + 1)dx + (x^2 + 3y^2)dy = 0</math> 为恰当方程并求解。

**解：** <math>M = 2xy + 1, N = x^2 + 3y^2</math>

<math>\frac{\partial M}{\partial y} = 2x = \frac{\partial N}{\partial x}</math>，是恰当方程。

求 <math>u(x, y)</math>：
<math>u = \int M dx = \int (2xy + 1)dx = x^2y + x + \varphi(y)</math>

由 <math>\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + \varphi'(y) = N = x^2 + 3y^2</math>

得 <math>\varphi'(y) = 3y^2</math>，故 <math>\varphi(y) = y^3</math>。

通解：<math>x^2y + x + y^3 = C</math>

==== 2.6.3 积分因子 ====

若非恰当方程乘以某函数 <math>\mu(x, y)</math> 后成为恰当方程，则 <math>\mu</math> 称为**积分因子**。

**常用积分因子求法：**

若 <math>\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \varphi(x)</math> 仅为 <math>x</math> 的函数，则积分因子 <math>\mu(x) = e^{\int \varphi(x)dx}</math>。

若 <math>\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \psi(y)</math> 仅为 <math>y</math> 的函数，则积分因子 <math>\mu(y) = e^{\int \psi(y)dy}</math>。

===== 2.7 习题 =====

**习题 2.1** 求解下列可分离变量方程：
  a) <math>\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)</math>
  b) <math>y' = e^{x+y}</math>

**习题 2.2** 求解下列齐次方程：
  a) <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}</math>
  b) <math>(x^2 + y^2)dx - xydy = 0</math>

**习题 2.3** 求解下列线性方程：
  a) <math>y' + 2xy = xe^{-x^2}</math>
  b) <math>\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3</math>

**习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程：
  a) <math>y' + y = y^2e^x</math>
  b) <math>xy' + y = xy^2\ln x</math>

**习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）：
  a) <math>(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0</math>
  b) <math>ydx - xdy = 0</math>

**习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。

===== 2.8 参考答案 =====

**习题 2.1**
  a) <math>\arctan y = \frac{x^2}{2} + C</math>
  b) <math>e^x + e^{-y} = C</math>

**习题 2.2**
  a) <math>y = \frac{x}{C + \ln|x|}</math>
  b) <math>y^2 = x^2(2\ln|x| + C)</math>

**习题 2.3**
  a) <math>y = e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2} + C\right)</math>
  b) <math>y = \frac{x^4}{3} + Cx</math>

**习题 2.4**
  a) <math>\frac{1}{y} = Ce^x - e^x</math> 或 <math>y = 0</math>
  b) <math>\frac{1}{y} = 1 + \ln x + Cx</math>

**习题 2.5**
  a) <math>x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C</math>
  b) <math>\frac{x}{y} = C</math> (积分因子 <math>\frac{1}{y^2}</math>)

**习题 2.6** <math>S(t) = 10e^{-0.03t}</math>，1小时后约3.7千克

===== 2.9 本章小结 =====

本章主要内容包括：

  * **可分离变量方程**：直接分离变量后积分
  * **齐次方程**：用代换 <math>u = y/x</math> 化为可分离变量方程
  * **一阶线性方程**：常数变易法或公式法
  * **Bernoulli方程**：用代换 <math>z = y^{1-n}</math> 化为线性方程
  * **恰当方程**：恰当条件 <math>M_y = N_x</math>，求势函数
  * **积分因子**：将非恰当方程化为恰当方程