====== 第五章 常系数线性微分方程 ======

===== 5.1 引言 =====

常系数线性微分方程是高阶线性方程中最重要的一类，其理论完善，解法系统，在物理、工程等领域有广泛应用。

<math>n</math> 阶常系数线性微分方程的一般形式为：
<math>y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_ny = f(x)</math>

其中 <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> 是实常数，<math>f(x)</math> 是已知函数。

===== 5.2 常系数齐次线性方程 =====

==== 5.2.1 特征方程法 ====

考虑二阶方程：
<math>y'' + py' + qy = 0</math>

设解为 <math>y = e^{\lambda x}</math>，代入得：
<math>\lambda^2e^{\lambda x} + p\lambda e^{\lambda x} + qe^{\lambda x} = 0</math>

即 <math>(\lambda^2 + p\lambda + q)e^{\lambda x} = 0</math>

由于 <math>e^{\lambda x} \neq 0</math>，所以：
<math>\lambda^2 + p\lambda + q = 0</math>

这称为方程的**特征方程**。

==== 5.2.2 特征根的三种情况 ====

设特征方程的根为 <math>\lambda_1, \lambda_2</math>。

**情况一：两个不等实根** <math>\lambda_1 \neq \lambda_2 \in \mathbb{R}</math>

基本解组： <math>e^{\lambda_1 x}, e^{\lambda_2 x}</math>

通解：<math>y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}</math>

**情况二：两个相等实根** <math>\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda</math>

此时只有一个解 <math>e^{\lambda x}</math>。由降阶法可得另一个线性无关解 <math>xe^{\lambda x}</math>。

基本解组： <math>e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}</math>

通解：<math>y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x}</math>

**情况三：共轭复根** <math>\lambda = \alpha \pm i\beta, \beta \neq 0</math>

基本解组（复值）： <math>e^{(\alpha+i\beta)x}, e^{(\alpha-i\beta)x}</math>

利用Euler公式 <math>e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>，可得实值基本解组：
<math>e^{\alpha x}\cos(\beta x), e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>

通解：<math>y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))</math>

**例 5.1** 求解 <math>y'' - 5y' + 6y = 0</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0</math>，即 <math>(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0</math>。

根为 <math>\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3</math>（不等实根）。

通解：<math>y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}</math>。

**例 5.2** 求解 <math>y'' - 4y' + 4y = 0</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0</math>，即 <math>(\lambda - 2)^2 = 0</math>。

重根 <math>\lambda = 2</math>。

通解：<math>y = (C_1 + C_2x)e^{2x}</math>。

**例 5.3** 求解 <math>y'' + 4y' + 13y = 0</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^2 + 4\lambda + 13 = 0</math>。

<math>\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16-52}}{2} = -2 \pm 3i</math>。

通解：<math>y = e^{-2x}(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x)</math>。

==== 5.2.3 高阶常系数齐次方程 ====

对于 <math>n</math> 阶方程，特征方程为：
<math>\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n = 0</math>

设特征根为 <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math>（计重数）。

**通解构造规则：**

  * 单实根 <math>\lambda</math>：对应一项 <math>C e^{\lambda x}</math>
  * <math>k</math> 重实根 <math>\lambda</math>：对应 <math>k</math> 项 <math>(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k-1})e^{\lambda x}</math>
  * 单复根 <math>\alpha \pm i\beta</math>：对应 <math>e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)</math>
  * <math>k</math> 重复根 <math>\alpha \pm i\beta</math>：对应 <math>e^{\alpha x}[(P_1 + P_2x + \cdots + P_kx^{k-1})\cos\beta x + (Q_1 + Q_2x + \cdots + Q_kx^{k-1})\sin\beta x]</math>

**例 5.4** 求解 <math>y^{(4)} - y = 0</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^4 - 1 = 0</math>，即 <math>(\lambda^2 - 1)(\lambda^2 + 1) = 0</math>。

根为 <math>\lambda = \pm 1, \pm i</math>。

通解：<math>y = C_1e^x + C_2e^{-x} + C_3\cos x + C_4\sin x</math>。

**例 5.5** 求解 <math>y''' - 3y'' + 3y' - y = 0</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0</math>，即 <math>(\lambda - 1)^3 = 0</math>。

三重根 <math>\lambda = 1</math>。

通解：<math>y = (C_1 + C_2x + C_3x^2)e^x</math>。

===== 5.3 常系数非齐次线性方程 =====

==== 5.3.1 待定系数法 ====

当 <math>f(x)</math> 为某些特殊形式时，可用**待定系数法**求特解。

**类型一：** <math>f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}</math>，其中 <math>P_m(x)</math> 是 <math>m</math> 次多项式。

设特解形式：
<math>y^* = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}</math>

其中：
  * <math>Q_m(x)</math> 是待定系数的 <math>m</math> 次多项式
  * <math>k</math> 是 <math>\alpha</math> 作为特征根的重数（<math>\alpha</math> 不是根时 <math>k = 0</math>）

**例 5.6** 求解 <math>y'' - 3y' + 2y = xe^x</math>。

**解：** 齐次通解 <math>y_h = C_1e^x + C_2e^{2x}</math>（特征根 <math>\lambda = 1, 2</math>）。

<math>f(x) = xe^x</math>，<math>\alpha = 1</math> 是单特征根，设：
<math>y^* = x(ax + b)e^x = (ax^2 + bx)e^x</math>

求导代入，比较系数得 <math>a = -\frac{1}{2}, b = -1</math>。

特解：<math>y^* = -x(\frac{x}{2} + 1)e^x</math>

通解：<math>y = C_1e^x + C_2e^{2x} - \frac{x(x+2)e^x}{2}</math>。

**类型二：** <math>f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x + Q_n(x)\sin\beta x]</math>

设特解形式：
<math>y^* = x^k e^{\alpha x}[R_l(x)\cos\beta x + S_l(x)\sin\beta x]</math>

其中 <math>l = \max(m, n)</math>，<math>k</math> 是 <math>\alpha + i\beta</math> 作为特征根的重数。

**例 5.7** 求解 <math>y'' + y = \sin x</math>。

**解：** 齐次通解 <math>y_h = C_1\cos x + C_2\sin x</math>。

<math>f(x) = \sin x = e^{0x}[0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x]</math>，<math>\alpha = 0, \beta = 1</math>。

<math>\alpha + i\beta = i</math> 是单特征根，设：
<math>y^* = x(a\cos x + b\sin x)</math>

代入求得 <math>a = -\frac{1}{2}, b = 0</math>。

通解：<math>y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{x\cos x}{2}</math>。

==== 5.3.2 常数变易法 ====

对于一般的 <math>f(x)</math>，可用**常数变易法**求特解。

设齐次通解为 <math>y_h = C_1y_1 + C_2y_2</math>，设特解形式：
<math>y^* = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2</math>

其中 <math>C_1(x), C_2(x)</math> 满足：
<math>\begin{cases} C_1'y_1 + C_2'y_2 = 0 \\ C_1'y_1' + C_2'y_2' = f(x) \end{cases}</math>

解出 <math>C_1', C_2'</math>，积分得 <math>C_1, C_2</math>。

**例 5.8** 用常数变易法求解 <math>y'' + y = \tan x</math>。

**解：** 齐次通解 <math>y_h = C_1\cos x + C_2\sin x</math>。

设 <math>y^* = C_1(x)\cos x + C_2(x)\sin x</math>。

方程组：
<math>\begin{cases} C_1'\cos x + C_2'\sin x = 0 \\ -C_1'\sin x + C_2'\cos x = \tan x \end{cases}</math>

解得：
<math>C_1' = -\sin x \tan x = -\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \cos x - \sec x</math>
<math>C_2' = \sin x</math>

积分得：
<math>C_1 = \sin x - \ln|\sec x + \tan x|</math>
<math>C_2 = -\cos x</math>

特解：<math>y^* = -\cos x \ln|\sec x + \tan x|</math>

通解：<math>y = C_1\cos x + C_2\sin x - \cos x \ln|\sec x + \tan x|</math>。

===== 5.4 Euler方程 =====

==== 5.4.1 定义 ====

**定义 5.1** 形如
<math>x^ny^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}xy' + a_ny = f(x)</math>
的方程称为**Euler方程**或**Cauchy-Euler方程**，其中 <math>a_i</math> 为常数。

==== 5.4.2 解法：变量替换 ====

对于 <math>x > 0</math>，令 <math>x = e^t</math>（即 <math>t = \ln x</math>）。

则：<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}</math>，即 <math>xy' = \frac{dy}{dt} = Dy</math>，其中 <math>D = \frac{d}{dt}</math>。

类似地：<math>x^2y'' = D(D-1)y</math>，<math>x^3y''' = D(D-1)(D-2)y</math>，等等。

Euler方程化为常系数线性方程。

**例 5.9** 求解 <math>x^2y'' + xy' - y = 0</math>。

**解：** 令 <math>x = e^t</math>，方程变为：
<math>D(D-1)y + Dy - y = 0</math>
<math>(D^2 - 1)y = 0</math>

特征方程 <math>\lambda^2 - 1 = 0</math>，<math>\lambda = \pm 1</math>。

关于 <math>t</math> 的通解：<math>y = C_1e^t + C_2e^{-t}</math>

回代 <math>t = \ln x</math>：<math>y = C_1x + \frac{C_2}{x}</math>。

===== 5.5 习题 =====

**习题 5.1** 求解下列常系数齐次方程：
  a) <math>y'' + y' - 6y = 0</math>
  b) <math>y'' + 6y' + 9y = 0</math>
  c) <math>y'' + 2y' + 5y = 0</math>
  d) <math>y''' - 2y'' + y' - 2y = 0</math>

**习题 5.2** 用待定系数法求下列方程的特解：
  a) <math>y'' - 4y' + 4y = e^{2x}</math>
  b) <math>y'' + y = x\sin x</math>
  c) <math>y'' - 3y' + 2y = x^2</math>

**习题 5.3** 用常数变易法求解 <math>y'' + y = \sec x</math>。

**习题 5.4** 求解下列Euler方程：
  a) <math>x^2y'' - 2y = 0</math>
  b) <math>x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2\ln x</math>

**习题 5.5** 求方程 <math>y'' - 4y' + 5y = 0</math> 满足 <math>y(0) = 1, y'(0) = 5</math> 的特解。

===== 5.6 参考答案 =====

**习题 5.1**
  a) <math>y = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x}</math>
  b) <math>y = (C_1 + C_2x)e^{-3x}</math>
  c) <math>y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)</math>
  d) <math>y = C_1e^{2x} + C_2\cos x + C_3\sin x</math>

**习题 5.2**
  a) <math>y^* = \frac{x^2e^{2x}}{2}</math>
  b) <math>y^* = -\frac{x^2\cos x}{4} + \frac{x\sin x}{4}</math>
  c) <math>y^* = \frac{x^2}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{7}{4}</math>

**习题 5.3** <math>y = C_1\cos x + C_2\sin x + x\sin x + \cos x \ln|\cos x|</math>

**习题 5.4**
  a) <math>y = C_1x^2 + \frac{C_2}{x}</math>
  b) <math>y = C_1x^2 + C_2x^2\ln x + \frac{x^2(\ln x)^3}{6}</math>

**习题 5.5** <math>y = e^{2x}(\cos x + 3\sin x)</math>

===== 5.7 本章小结 =====

本章核心内容：

  * **特征方程法**：求解常系数齐次方程的基本方法
    - 不等实根：指数函数组合
    - 重根：含多项式因子的指数函数
    - 复根：指数函数与三角函数组合
  
  * **求特解的方法**
    - 待定系数法：适用于特殊形式的非齐次项
    - 常数变易法：适用于一般形式的非齐次项
  
  * **Euler方程**：通过变量替换 <math>x = e^t</math> 化为常系数方程

掌握特征根的各种情况及对应的解的形式是求解常系数线性方程的关键。