====== 第八章 常系数线性微分方程组 ======

===== 8.1 引言 =====

常系数线性微分方程组是线性方程组中最重要的特例，其系数矩阵 <math>A</math> 为常数矩阵。这类方程组有系统的求解方法，应用十分广泛。

标准形式：
<math>\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)</math>

其中 <math>A</math> 是 <math>n \times n</math> 常数矩阵。

===== 8.2 齐次常系数线性方程组 =====

==== 8.2.1 指数函数试探法 ====

对于齐次方程 <math>\mathbf{x}' = A\mathbf{x}</math>，设解为 <math>\mathbf{x} = \mathbf{\xi}e^{\lambda t}</math>，其中 <math>\mathbf{\xi}</math> 是常向量，<math>\lambda</math> 是常数。

代入方程：
<math>\lambda\mathbf{\xi}e^{\lambda t} = A\mathbf{\xi}e^{\lambda t}</math>

即 <math>A\mathbf{\xi} = \lambda\mathbf{\xi}</math>，这正是矩阵 <math>A</math> 的特征值问题！

**结论：** <math>\lambda</math> 必须是 <math>A</math> 的特征值，<math>\mathbf{\xi}</math> 是对应的特征向量。

==== 8.2.2 特征值与特征向量法 ====

**情况一：特征值为互异实数**

设 <math>A</math> 有 <math>n</math> 个互异实特征值 <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>，对应特征向量 <math>\mathbf{\xi}_1, \ldots, \mathbf{\xi}_n</math>。

基本解组： <math>\mathbf{\varphi}_k = \mathbf{\xi}_k e^{\lambda_k t}, k = 1, \ldots, n</math>

通解：<math>\mathbf{x} = c_1\mathbf{\xi}_1e^{\lambda_1 t} + \cdots + c_n\mathbf{\xi}_ne^{\lambda_n t}</math>

**例 8.1** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>。

**解：** 特征方程：
<math>\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0</math>

特征值： <math>\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5</math>

对 <math>\lambda_1 = 2</math>：
<math>(A - 2I)\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0</math>，特征向量 <math>\mathbf{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>

对 <math>\lambda_2 = 5</math>：
<math>(A - 5I)\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0</math>，特征向量 <math>\mathbf{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

通解：
<math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{2t} + c_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}e^{5t}</math>

**情况二：复特征值**

设 <math>\lambda = \alpha + i\beta</math> 是特征值，<math>\mathbf{\xi} = \mathbf{a} + i\mathbf{b}</math> 是对应特征向量。

复值解：<math>\mathbf{x} = \mathbf{\xi}e^{\lambda t} = (\mathbf{a} + i\mathbf{b})e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t}(\mathbf{a} + i\mathbf{b})(\cos\beta t + i\sin\beta t)</math>

分离实部和虚部得两个实值解：
<math>\mathbf{u} = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\cos\beta t - \mathbf{b}\sin\beta t)</math>
<math>\mathbf{v} = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\sin\beta t + \mathbf{b}\cos\beta t)</math>

**例 8.2** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>。

**解：** 特征方程 <math>\lambda^2 + 1 = 0</math>，特征值 <math>\lambda = \pm i</math>。

对 <math>\lambda = i</math>：
<math>\begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0</math>，特征向量 <math>\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

实值解：
<math>\mathbf{u} = \begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}</math>

通解：
<math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}</math>

**情况三：重特征值**

设 <math>\lambda</math> 是 <math>k</math> 重特征值。

若几何重数 = 代数重数 = <math>k</math>，则有 <math>k</math> 个线性无关特征向量。

若几何重数 < 代数重数，需要用**广义特征向量**构造解。

对二重特征值 <math>\lambda</math>，若只有一个特征向量 <math>\mathbf{\xi}</math>，则另一解为：
<math>\mathbf{x} = (\mathbf{\xi}t + \mathbf{\eta})e^{\lambda t}</math>
其中 <math>\mathbf{\eta}</math> 满足 <math>(A - \lambda I)\mathbf{\eta} = \mathbf{\xi}</math>。

**例 8.3** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>。

**解：** 特征方程 <math>(3-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0</math>。

重根 <math>\lambda = 2</math>。

特征向量： <math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0</math>，<math>\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>。

求广义特征向量 <math>\mathbf{\eta}</math>：
<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{\eta} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>，取 <math>\mathbf{\eta} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

通解：
<math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{2t} + c_2\left[\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right]e^{2t}</math>

===== 8.3 矩阵指数函数 =====

==== 8.3.1 定义与性质 ====

**定义 8.1** 对 <math>n \times n</math> 矩阵 <math>A</math>，定义**矩阵指数**
<math>e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots</math>

**性质：**
  * <math>e^{A \cdot 0} = I</math>
  * <math>\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A</math>
  * <math>e^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}</math>
  * 若 <math>AB = BA</math>，则 <math>e^{(A+B)t} = e^{At}e^{Bt}</math>

==== 8.3.2 基本解矩阵 ====

**定理 8.1** <math>\Phi(t) = e^{At}</math> 是齐次方程组 <math>\mathbf{x}' = A\mathbf{x}</math> 的基本解矩阵，且满足 <math>\Phi(0) = I</math>（标准基本解矩阵）。

**证明：** 由定义直接验证 <math>\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}</math>，且 <math>e^{A \cdot 0} = I</math>，故列向量线性无关。

==== 8.3.3 计算方法 ====

**方法1：Jordan标准形**

若 <math>A = PJP^{-1}</math>，其中 <math>J</math> 是Jordan标准形，则 <math>e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1}</math>。

**方法2：Cayley-Hamilton定理**

设 <math>A</math> 的特征多项式为 <math>p(\lambda) = \det(\lambda I - A)</math>，则 <math>p(A) = 0</math>。

利用此定理可将 <math>e^{At}</math> 表示为 <math>I, A, \ldots, A^{n-1}</math> 的线性组合。

**例 8.4** 计算 <math>e^{At}</math>，其中 <math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>。

**解：** <math>A^2 = 0</math>，故
<math>e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

**例 8.5** 计算 <math>e^{At}</math>，其中 <math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>。

**解：** <math>A^2 = -I, A^3 = -A, A^4 = I, \ldots</math>

<math>e^{At} = I + At - \frac{It^2}{2!} - \frac{At^3}{3!} + \frac{It^4}{4!} + \cdots</math>
<math>= I(1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + A(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots)</math>
<math>= I\cos t + A\sin t = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math>

===== 8.4 非齐次常系数线性方程组 =====

==== 8.4.1 常数变易公式 ====

利用基本解矩阵 <math>\Phi(t) = e^{At}</math>，非齐次方程的特解为：
<math>\mathbf{\psi}(t) = e^{At}\int e^{-As}\mathbf{f}(s)ds</math>

满足初值 <math>\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0</math> 的解：
<math>\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)ds</math>

这称为**常数变易公式**或**Duhamel原理**。

**例 8.6** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ \sin t \end{pmatrix}, \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>。

**解：** 已知 <math>e^{At} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math>。

齐次部分： <math>e^{At}\mathbf{x}_0 = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}</math>

特解部分：
<math>\int_0^t e^{A(t-s)}\begin{pmatrix} 0 \\ \sin s \end{pmatrix}ds = \begin{pmatrix} \frac{t\sin t}{2} - \frac{\sin t}{2} \\ -\frac{t\cos t}{2} \end{pmatrix}</math>

通解略（见第七章例）。

===== 8.5 习题 =====

**习题 8.1** 求解下列齐次方程组：
  a) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>
  b) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>
  c) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>

**习题 8.2** 计算下列矩阵的指数函数 <math>e^{At}</math>：
  a) <math>A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}</math>
  b) <math>A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
  c) <math>A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>

**习题 8.3** 求解初值问题：
<math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

**习题 8.4** 设 <math>A</math> 是 <math>n \times n</math> 矩阵，证明：
  a) <math>(e^{At})^{-1} = e^{-At}</math>
  b) 若 <math>A</math> 是反对称矩阵（<math>A^T = -A</math>），则 <math>e^{At}</math> 是正交矩阵。

**习题 8.5** 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^t \\ 0 \end{pmatrix}</math>。

===== 8.6 参考答案 =====

**习题 8.1**
  a) <math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}e^{4t} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}</math>
  b) <math>\mathbf{x} = e^t(c_1\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix})</math>
  c) <math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t} + c_2\left[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right]e^{3t}</math>

**习题 8.2**
  a) <math>\begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{pmatrix}</math>
  b) <math>\begin{pmatrix} e^t & te^t \\ 0 & e^t \end{pmatrix}</math>
  c) <math>\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}</math>

**习题 8.3** <math>\mathbf{x} = e^{2t}\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}</math>

**习题 8.5** <math>\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}e^{3t} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}e^{-t} - \begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/2 \end{pmatrix}e^t</math>

===== 8.7 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **特征值方法**：求解齐次常系数方程组的核心方法
    - 互异实特征值：指数函数乘以特征向量
    - 复特征值：分离实部虚部得三角函数解
    - 重特征值：可能需要广义特征向量
  
  * **矩阵指数函数**
    - 定义与性质
    - <math>e^{At}</math> 是标准基本解矩阵
    - 计算方法（Jordan形、Cayley-Hamilton）
  
  * **非齐次方程**
    - 常数变易公式（Duhamel原理）
    - 初值问题的显式解

特征值方法是理解线性系统动力学的关键工具。