====== 第四章 高阶微分方程 ======

===== 4.1 引言 =====

高阶微分方程是指阶数 <math>n \geq 2</math> 的微分方程。在物理学和工程学中，许多问题需要用高阶微分方程来描述，如力学中的Newton第二定律导出的运动方程通常是二阶的。

本章介绍高阶微分方程的一般理论，重点是线性高阶方程的基本理论，以及降阶法等求解技巧。

===== 4.2 高阶微分方程的一般形式 =====

<math>n</math> 阶微分方程的一般形式为：
<math>F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0</math>

若能解出最高阶导数，可写成：
<math>y^{(n)} = f(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})</math>

初值条件为：
<math>y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \ldots, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math>

===== 4.3 可降阶的高阶方程 =====

某些特殊类型的高阶方程可以通过变量替换降为低阶方程求解。

==== 4.3.1 不含 <math>y</math> 及其低阶导数的方程 ====

形如 <math>y^{(n)} = f(x)</math> 的方程，直接积分 <math>n</math> 次即可。

**例 4.1** 求解 <math>y''' = e^x</math>。

**解：**
<math>y'' = e^x + C_1</math>
<math>y' = e^x + C_1x + C_2</math>
<math>y = e^x + \frac{C_1x^2}{2} + C_2x + C_3</math>

==== 4.3.2 不含 <math>y</math> 的方程 ====

形如 <math>F(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \ldots, y^{(n)}) = 0</math>，令 <math>z = y^{(k)}</math>，降为 <math>n-k</math> 阶方程。

**特别地**，不含 <math>y</math> 的二阶方程 <math>F(x, y', y'') = 0</math>，令 <math>z = y'</math>，则 <math>y'' = z'</math>，方程变为 <math>F(x, z, z') = 0</math>。

**例 4.2** 求解 <math>xy'' + y' = x</math>。

**解：** 令 <math>z = y'</math>，则 <math>z' = y''</math>，方程变为：
<math>xz' + z = x</math>
即 <math>z' + \frac{1}{x}z = 1</math>

这是线性方程，通解为：
<math>z = \frac{C_1}{x} + \frac{x}{2}</math>

积分得：
<math>y = C_1\ln|x| + \frac{x^2}{4} + C_2</math>

==== 4.3.3 不含 <math>x</math> 的方程（自治方程） ====

形如 <math>F(y, y', y'') = 0</math> 的方程，令 <math>z = y'</math>，则：
<math>y'' = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} = z\frac{dz}{dy}</math>

方程变为 <math>F(y, z, z\frac{dz}{dy}) = 0</math>，这是关于 <math>z</math> 和 <math>y</math> 的一阶方程。

**例 4.3** 求解 <math>yy'' + (y')^2 = 0</math>。

**解：** 令 <math>z = y'</math>，则 <math>y'' = z\frac{dz}{dy}</math>。

代入得：
<math>y \cdot z\frac{dz}{dy} + z^2 = 0</math>
<math>z(y\frac{dz}{dy} + z) = 0</math>

**情况一：** <math>z = 0</math>，即 <math>y' = 0</math>，得 <math>y = C</math>。

**情况二：** <math>y\frac{dz}{dy} + z = 0</math>，分离变量：
<math>\frac{dz}{z} = -\frac{dy}{y}</math>
<math>\ln|z| = -\ln|y| + C_1</math>
<math>z = \frac{C_1}{y}</math>

即 <math>y' = \frac{C_1}{y}</math>，分离变量：
<math>ydy = C_1dx</math>
<math>\frac{y^2}{2} = C_1x + C_2</math>

通解：<math>y^2 = C_1x + C_2</math>（包含了 <math>y = C</math> 的情况）

===== 4.4 高阶线性微分方程 =====

==== 4.4.1 定义与一般理论 ====

**定义 4.1** 形如
<math>y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)</math>
的方程称为 **<math>n</math> 阶线性微分方程**，其中 <math>p_1(x), \ldots, p_n(x), f(x)</math> 是已知连续函数。

当 <math>f(x) \equiv 0</math> 时，称为**齐次线性方程**；否则称为**非齐次线性方程**。

==== 4.4.2 线性微分算子 ====

引入微分算子 <math>D = \frac{d}{dx}</math>，定义
<math>L[y] = D^n y + p_1(x)D^{n-1}y + \cdots + p_n(x)y</math>
或
<math>L = D^n + p_1(x)D^{n-1} + \cdots + p_n(x)</math>

则方程可写为 <math>L[y] = f(x)</math>。

**定理 4.1** <math>L</math> 是线性算子，即：
  * <math>L[y_1 + y_2] = L[y_1] + L[y_2]</math> (可加性)
  * <math>L[cy] = cL[y]</math> (齐次性)

==== 4.4.3 齐次线性方程的通解结构 ====

**定义 4.2** 设 <math>y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)</math> 是 <math>n</math> 个函数，如果存在不全为零的常数 <math>c_1, c_2, \ldots, c_n</math> 使得
<math>c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ny_n = 0</math>
则称这 <math>n</math> 个函数**线性相关**；否则称为**线性无关**。

**定理 4.2 (叠加原理)** 若 <math>y_1, y_2, \ldots, y_k</math> 是齐次线性方程 <math>L[y] = 0</math> 的解，则它们的线性组合 <math>c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ky_k</math> 也是解。

**定理 4.3** <math>n</math> 阶齐次线性方程有 <math>n</math> 个线性无关的解（基本解组），通解为
<math>y = c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ny_n</math>

==== 4.4.4 Wronski行列式 ====

**定义 4.3** 设 <math>y_1, y_2, \ldots, y_n</math> 是 <math>n</math> 个 <math>n-1</math> 次可微函数，称
<math>W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math>
为这 <math>n</math> 个函数的**Wronski行列式**。

**定理 4.4** 若 <math>y_1, y_2, \ldots, y_n</math> 是齐次线性方程的解，则：
  * 它们线性无关 <math>\Leftrightarrow W(x) \neq 0</math> 对某点成立
  * 它们线性相关 <math>\Leftrightarrow W(x) \equiv 0</math>

**定理 4.5 (Liouville公式)**
<math>W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x} p_1(t)dt}</math>

==== 4.4.5 非齐次线性方程的通解结构 ====

**定理 4.6** 设 <math>y^*</math> 是非齐次方程 <math>L[y] = f(x)</math> 的一个特解，<math>y_1, y_2, \ldots, y_n</math> 是对应齐次方程的基本解组，则非齐次方程的通解为：
<math>y = y^* + c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ny_n</math>

**定理 4.7 (叠加原理)** 若 <math>y_1^*</math> 是 <math>L[y] = f_1(x)</math> 的特解，<math>y_2^*</math> 是 <math>L[y] = f_2(x)</math> 的特解，则 <math>y_1^* + y_2^*</math> 是 <math>L[y] = f_1(x) + f_2(x)</math> 的特解。

===== 4.5 二阶线性微分方程 =====

==== 4.5.1 一般形式 ====

<math>y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)</math>

齐次方程：
<math>y'' + p(x)y' + q(x)y = 0</math>

==== 4.5.2 已知一个特解求通解 ====

若已知齐次方程的一个非零解 <math>y_1</math>，可用**降阶法**求另一个线性无关的解。

设 <math>y_2 = y_1 \cdot v(x)</math>，代入方程确定 <math>v(x)</math>。

**例 4.4** 已知 <math>y_1 = x</math> 是方程 <math>x^2y'' - 2xy' + 2y = 0</math> 的解，求通解。

**解：** 设 <math>y = xv</math>，则 <math>y' = v + xv'</math>，<math>y'' = 2v' + xv''</math>。

代入方程：
<math>x^2(2v' + xv'') - 2x(v + xv') + 2xv = 0</math>
<math>x^3v'' + 2x^2v' - 2xv - 2x^2v' + 2xv = 0</math>
<math>x^3v'' = 0</math>

故 <math>v'' = 0</math>，<math>v = C_1x + C_2</math>。

通解：<math>y = x(C_1x + C_2) = C_1x^2 + C_2x</math>

另一个线性无关解为 <math>y_2 = x^2</math>。

===== 4.6 习题 =====

**习题 4.1** 求解下列可降阶方程：
  a) <math>y''' = x + \sin x</math>
  b) <math>y'' = y' + x</math>
  c) <math>yy'' = (y')^2</math>

**习题 4.2** 验证 <math>y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}</math> 是方程 <math>y'' - 3y' + 2y = 0</math> 的基本解组，并写出通解。

**习题 4.3** 已知 <math>y_1 = e^x</math> 是方程 <math>xy'' - (x+1)y' + y = 0</math> 的解，求通解。

**习题 4.4** 计算下列函数组的Wronski行列式，并判断线性相关性：
  a) <math>e^x, e^{2x}, e^{3x}</math>
  b) <math>1, x, x^2</math>
  c) <math>e^x, xe^x, x^2e^x</math>

**习题 4.5** 证明：若 <math>y_1, y_2</math> 是二阶齐次线性方程的两个线性无关解，则它们的Wronski行列式 <math>W(y_1, y_2) = y_1y_2' - y_2y_1'</math> 在定义域内恒不为零。

===== 4.7 参考答案 =====

**习题 4.1**
  a) <math>y = \frac{x^4}{24} - \sin x + C_1x^2 + C_2x + C_3</math>
  b) <math>y = C_1e^x - \frac{x^2}{2} - x + C_2</math>
  c) <math>y = C_2e^{C_1x}</math> 或 <math>y = C</math>

**习题 4.2** 通解 <math>y = C_1e^x + C_2e^{2x}</math>

**习题 4.3** 通解 <math>y = C_1e^x + C_2(x+1)</math>

**习题 4.4**
  a) <math>W = 2e^{6x} \neq 0</math>，线性无关
  b) <math>W = 2 \neq 0</math>，线性无关
  c) <math>W = 2e^{3x} \neq 0</math>，线性无关

===== 4.8 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **可降阶方程**：通过变量替换降为低阶方程
    - 不含 <math>y</math>：令 <math>z = y'</math>
    - 不含 <math>x</math>：令 <math>z = y', y'' = z\frac{dz}{dy}</math>
  
  * **高阶线性方程理论**
    - 线性微分算子
    - 基本解组与通解结构
    - Wronski行列式判断线性无关性
    - 非齐次方程通解 = 特解 + 齐次通解
  
  * **降阶法**：已知一个解可求出另一个线性无关解

这些理论为后续学习常系数线性方程和特殊函数奠定基础。