====== 微分几何 ====== 微分几何是运用微积分和线性代数研究曲线、曲面和流形的几何性质的数学分支，在广义相对论、计算机图形学等领域有重要应用。 ===== 课程概述 ===== 微分几何的主要研究内容包括： - **曲线论**：曲率、挠率、Frenet标架、曲线论基本定理 - **曲面论**：第一基本形式、第二基本形式、Gauss曲率、测地线 - **内蕴几何**：Gauss-Bonnet定理、完备性 - **Riemann几何**：度量、联络、曲率张量、Einstein流形 ===== 课程目录 ===== ==== 曲线论 ==== * [[微分几何:第一章_曲线的局部理论|第一章 曲线的局部理论]] - 参数曲线、弧长参数、切向量 * [[微分几何:第二章_曲线的曲率与挠率|第二章 曲线的曲率与挠率]] - Frenet标架、曲率、挠率、Frenet公式 * [[微分几何:第三章_曲线论基本定理|第三章 曲线论基本定理]] - 存在唯一性定理、自然方程 * [[微分几何:第四章_特殊曲线|第四章 特殊曲线]] - 平面曲线、球面曲线、螺线 ==== 曲面的局部理论 ==== * [[微分几何:第五章_曲面的第一基本形式|第五章 曲面的第一基本形式]] - 曲面的参数表示、第一基本形式、弧长、面积 * [[微分几何:第六章_曲面的第二基本形式|第六章 曲面的第二基本形式]] - 法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率 * [[微分几何:第七章_曲面的结构方程|第七章 曲面的结构方程]] - Gauss方程、Codazzi方程、相容性条件 * [[微分几何:第八章_曲面论基本定理|第八章 曲面论基本定理]] - 曲面论基本定理、存在唯一性 * [[微分几何:第九章_曲面上的特殊曲线|第九章 曲面上的特殊曲线]] - 测地线、渐近曲线、曲率线 ==== 曲面的内蕴几何 ==== * [[微分几何:第十章_曲面的内蕴几何|第十章 曲面的内蕴几何]] - 等距变换、可展曲面 * [[微分几何:第十一章_Gauss-Bonnet定理|第十一章 Gauss-Bonnet定理]] - 测地曲率、Gauss-Bonnet公式、Euler示性数 * [[微分几何:第十二章_曲面的完备性|第十二章 曲面的完备性]] - 指数映射、完备曲面、Hopf-Rinow定理 ==== 张量分析与Riemann几何 ==== * [[微分几何:第十三章_张量代数|第十三章 张量代数]] - 张量、缩并、张量积、对称与反对称 * [[微分几何:第十四章_微分流形|第十四章 微分流形]] - 微分流形、切空间、切丛、向量场 * [[微分几何:第十五章_Riemann度量|第十五章 Riemann度量]] - Riemann度量、Levi-Civita联络、测地线 * [[微分几何:第十六章_曲率张量|第十六章 曲率张量]] - Riemann曲率张量、Ricci张量、数量曲率 * [[微分几何:第十七章_Sectional曲率|第十七章 Sectional曲率]] - 截面曲率、常曲率空间、空间形式 * [[微分几何:第十八章_Einstein流形|第十八章 Einstein流形]] - Einstein方程、Einstein流形、Yamabe问题 ==== 复几何与李群 ==== * [[微分几何:第十九章_Kähler几何|第十九章 Kähler几何]] - 近复结构、Kähler形式、Kähler流形 * [[微分几何:第二十章_李群与李代数|第二十章 李群与李代数]] - 李群、李代数、伴随表示、齐性空间 ===== 参考教材 ===== - 梅向明、黄敬之.《微分几何》(第4版). 高等教育出版社 - 陈省身、陈维桓.《微分几何讲义》. 北京大学出版社 - do Carmo, M.P.《Differential Geometry of Curves and Surfaces》 - 伍鸿熙、沈纯理、虞言林.《黎曼几何初步》