====== 第八章 度量空间 (Metric Spaces) ======

===== 8.1 度量空间的基本概念 =====

==== 定义 8.1.1 (度量空间回顾) ====

设 $X$ 是集合，$d: X \\times X \\to [0, +\\infty)$ 满足：

(1) $d(x,y) = 0 \\Leftrightarrow x = y$（正定性）

(2) $d(x,y) = d(y,x)$（对称性）

(3) $d(x,z) \\leq d(x,y) + d(y,z)$（三角不等式）

则 $(X,d)$ 称为**度量空间**。

==== 例 8.1.2 (典型度量) ====

  - $\\mathbb{R}^n$ 上的欧氏度量：$d_2(x,y) = \\sqrt{\\sum (x_i-y_i)^2}$
  - $\\ell^p$ 度量：$d_p(x,y) = (\\sum |x_i-y_i|^p)^{1/p}$
  - $\\ell^\\infty$ 度量：$d_\\infty(x,y) = \\sup |x_i-y_i|$
  - 离散度量：$d(x,y) = 1$ 若 $x \\neq y$，$0$ 若 $x = y$

===== 8.2 度量诱导的拓扑 =====

==== 定义 8.2.1 (度量拓扑) ====

开球 $B(x, \\epsilon) = \\{y : d(x,y) < \\epsilon\\}$ 构成拓扑基，诱导的拓扑称为**度量拓扑**。

==== 命题 8.2.2 (度量拓扑的性质) ====

  - Hausdorff：分离 $x, y$ 用半径 $< d(x,y)/2$ 的球
  - 第一可数：$\\{B(x, 1/n)\\}$ 是邻域基
  - 正规：事实上是完美正规

==== 定理 8.2.3 ====

度量空间是第一可数、正规、完美正规的。

===== 8.3 完备度量空间 =====

==== 定义 8.3.1 (Cauchy 序列) ====

序列 $\\{x_n\\}$ 称为 **Cauchy 序列**，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $m, n \\geq N$ 时 $d(x_m, x_n) < \\epsilon$。

==== 定义 8.3.2 (完备) ====

度量空间 $(X,d)$ 称为 **完备**的，如果每个Cauchy序列都收敛。

==== 例 8.3.3 ====

  - $\\mathbb{R}^n$：完备
  - $\\mathbb{Q}$：不完备
  - $C[0,1]$（上确界范数）：完备（Banach空间）

==== 定理 8.3.4 (完备化) ====

任意度量空间 $(X,d)$ 都可等距嵌入到一个完备度量空间 $\\tilde{X}$ 中，使得 $X$ 在 $\\tilde{X}$ 中稠密。

**构造**：$\\tilde{X}$ 为Cauchy序列的等价类，$[(x_n)] \\sim [(y_n)]$ 若 $\\lim d(x_n, y_n) = 0$。

===== 8.4 紧致性与完全有界性 =====

==== 定义 8.4.1 (完全有界) ====

$(X,d)$ 称为 **完全有界**的，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在有限集 $\\{x_1, \\ldots, x_n\\}$ 使得 $X = \\bigcup B(x_i, \\epsilon)$。

==== 定理 8.4.2 ====

度量空间中：紧致 $\\Leftrightarrow$ 完备且完全有界 $\\Leftrightarrow$ 列紧

**证明概要**：

  - 紧致 $\\Rightarrow$ 列紧：标准结果
  - 列紧 $\\Rightarrow$ 完全有界：取不存在有限 $\\epsilon$-网序列，无收敛子列
  - 列紧 $\\Rightarrow$ 完备：Cauchy列有收敛子列，故收敛
  - 完备+完全有界 $\\Rightarrow$ 列紧：完全有界允许构造收敛子列

===== 8.5 一致连续性 =====

==== 定义 8.5.1 (一致连续) ====

$f: (X,d_X) \\to (Y,d_Y)$ 称为 **一致连续**，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$ 使得 $d_X(x,y) < \\delta \\Rightarrow d_Y(f(x), f(y)) < \\epsilon$。

==== 定理 8.5.2 ====

定义域紧致时，连续蕴含一致连续。

**证明**：同第四章例题。

===== 8.6 Baire 纲定理 =====

==== 定义 8.6.1 (无处稠密与纲) ====

  - $A \\subseteq X$ **无处稠密**：$\\bar{A}^\\circ = \\emptyset$（闭包无内点）
  - $A$ 是**第一纲**（meager）：可数个无处稠密集的并
  - $A$ 是**第二纲**：非第一纲

==== 定理 8.6.2 (Baire 纲定理) ====

完备度量空间是第二纲的（作为自身的子集）。

等价表述：完备度量空间中，可数个稠密开集的交稠密。

**证明**：设 $\\{U_n\\}$ 稠密开，$x \\in X$，$\\epsilon > 0$。归纳构造球列：

  - $\\bar{B}_1 \\subseteq B(x, \\epsilon) \\cap U_1$
  - $\\bar{B}_{n+1} \\subseteq B_n \\cap U_{n+1}$，半径 $\\to 0$

中心是Cauchy列，收敛于 $y \\in \\bigcap U_n \\cap B(x, \\epsilon)$。

==== 推论 8.6.3 ====

  - $\\mathbb{R}^n$ 不能写成可数个真闭子空间的并
  - 完备度量空间无孤立点时是不可数的

===== 8.7 度量化定理 =====

==== 定理 8.7.1 (Urysohn 度量化定理) ====

第二可数的正则空间可度量化。

等价地，第二可数的T3空间可嵌入到Hilbert立方体 $[0,1]^\\mathbb{N}$。

**证明概要**：利用Urysohn引理构造分离点的连续函数族，嵌入到积空间。

==== 定理 8.7.2 (Nagata-Smirnov 度量化定理) ====

空间可度量化当且仅当它是正则的且具有 $\\sigma$-局部有限基。

===== 8.8 典型例题 =====

==== 例题 8.8.1 ====

证明：$\\mathbb{R}$ 完备。

**证明**：设 $\\{x_n\\}$ Cauchy。则 $\\{x_n\\}$ 有界（取 $\\epsilon = 1$，则某尾部在有限区间内）。由Bolzano-Weierstrass，有收敛子列。Cauchy列有收敛子列则自身收敛。

==== 例题 8.8.2 ====

证明：$[0,1]$ 不可数（用Baire纲）。

**证明**：设 $[0,1] = \\{x_1, x_2, \\ldots\\}$。则 $[0,1] = \\bigcup \\{x_n\\}$，每个单点闭且无处稠密（在 $\\mathbb{R}$ 中）。这与Baire纲定理矛盾。

===== 8.9 习题 =====

**习题 8.1** 证明：度量空间正规。

**习题 8.2** 证明：紧致度量空间可分。

**习题 8.3** 证明：Cauchy序列有界。

**习题 8.4** 证明：完备度量空间的闭子集完备。

**习题 8.5** 证明：$\\mathbb{Q}$ 不完备，并描述其完备化。

**习题 8.6** 证明：一致连续映射将Cauchy序列映为Cauchy序列。

**习题 8.7** 证明：$C[0,1]$（上确界范数）完备。

**习题 8.8** 用Baire纲定理证明：存在处处连续但处处不可微的函数。

**习题 8.9** 证明：第二可数+正则 $\\Rightarrow$ 可度量化（Urysohn）。

**习题 8.10** 研究 $\\ell^p$ 空间的性质（$1 \\leq p \\leq \\infty$）。