====== 第十三章 单纯复形 (Simplicial Complexes) ======

===== 13.1 单纯形 =====

==== 定义 13.1.1 (几何无关) ====

$\\mathbb{R}^N$ 中的点 $v_0, v_1, \\ldots, v_n$ 称为**几何无关**的，如果向量 $v_1 - v_0, \\ldots, v_n - v_0$ 线性无关。

等价地，$\\sum_{i=0}^n \\lambda_i v_i = 0$ 且 $\\sum \\lambda_i = 0$ 蕴含所有 $\\lambda_i = 0$。

==== 定义 13.1.2 (单纯形) ====

设 $v_0, \\ldots, v_n$ 几何无关。**n维单纯形**（$n$-simplex）$\\sigma = [v_0, \\ldots, v_n]$ 定义为：
$$\\sigma = \\{\\sum_{i=0}^n \\lambda_i v_i : \\lambda_i \\geq 0, \\sum \\lambda_i = 1\\}$$

$v_i$ 称为**顶点**，$\\lambda_i$ 称为**重心坐标**。

==== 定义 13.1.3 (面) ====

若 $\\tau \\subseteq \\sigma$ 且 $\\tau$ 的顶点集是 $\\sigma$ 顶点集的子集，则 $\\tau$ 称为 $\\sigma$ 的**面**（face）。真面指 $\\tau \\neq \\sigma$。

===== 13.2 单纯复形 =====

==== 定义 13.2.1 (单纯复形) ====

$\\mathbb{R}^N$ 中的**单纯复形** $K$ 是满足以下条件的单纯形集合：

(1) 若 $\\sigma \\in K$ 且 $\\tau$ 是 $\\sigma$ 的面，则 $\\tau \\in K$

(2) 若 $\\sigma, \\tau \\in K$，则 $\\sigma \\cap \\tau$ 是两者的公共面（或空集）

==== 定义 13.2.2 (维数与骨架) ====

  - $\\dim K = \\sup\\{\\dim \\sigma : \\sigma \\in K\\}$
  - **k维骨架** $K^{(k)}$：$K$ 中维数 $\\leq k$ 的单纯形

===== 13.3 多面体与三角剖分 =====

==== 定义 13.3.1 (多面体) ====

单纯复形 $K$ 的**多面体**（polyhedron）是 $||K|| = \\bigcup_{\\sigma \\in K} \\sigma \\subseteq \\mathbb{R}^N$，赋予子空间拓扑。

==== 定义 13.3.2 (三角剖分) ====

拓扑空间 $X$ 的**三角剖分**是单纯复形 $K$ 和同胚 $h: ||K|| \\to X$。可三角剖分的空间称为**多面体**。

==== 例 13.3.3 ====

  - $S^n$ 可三角剖分：$n+1$ 维单纯形的边界
  - 环面、Klein瓶可三角剖分
  - 流形（适当维数）可三角剖分

**注**：存在不可三角剖分的拓扑空间（如某些4维流形）。

===== 13.4 重心重分 =====

==== 定义 13.4.1 (重心) ====

单纯形 $\\sigma = [v_0, \\ldots, v_n]$ 的**重心**为：
$$\\hat{\\sigma} = \\frac{1}{n+1}\\sum_{i=0}^n v_i$$

==== 定义 13.4.2 (重心重分) ====

单纯复形 $K$ 的**重心重分** $K'$ 是以 $K$ 的单纯形的重心为顶点，按包含关系构造的新单纯复形。

==== 命题 13.4.3 ====

$||K'|| = ||K||$，且 $K'$ 的单纯形直径不超过 $K$ 的 $\\frac{n}{n+1}$ 倍。

===== 13.5 单纯映射 =====

==== 定义 13.5.1 (单纯映射) ====

映射 $f: K \\to L$ 称为**单纯映射**，如果它将顶点映到顶点，且保持面关系（$[v_0, \\ldots, v_n]$ 的像为 $[f(v_0), \\ldots, f(v_n)]$，可能有重复）。

==== 定理 13.5.2 (单纯逼近) ====

设 $f: ||K|| \\to ||L||$ 连续。存在充分细的重心重分 $K^{(r)}$ 和单纯映射 $g: K^{(r)} \\to L$ 使得 $f$ 与 $g$ 同伦。

===== 13.6 典型例题 =====

==== 例题 13.6.1 ====

构造环面的三角剖分。

**解答**：环面可由正方形 $[0,1] \\times [0,1]$ 对边等同得到。将正方形分成两个三角形（沿对角线），得到环面的三角剖分，含2个2维单形、3个1维单形、1个顶点。

==== 例题 13.6.2 ====

计算 $n$ 维单纯形的 $k$ 维面个数。

**解答**：$n$ 维单纯形有 $\\binom{n+1}{k+1}$ 个 $k$ 维面。

===== 13.7 习题 =====

**习题 13.1** 证明：$K$ 是单纯复形当且仅当满足定义中的两个条件。

**习题 13.2** 构造 $S^2$ 的三角剖分（最少需要几个三角形？）。

**习题 13.3** 证明重心重分不改变多面体。

**习题 13.4** 构造Möbius带的三角剖分。

**习题 13.5** 证明：单纯复形的任意开覆盖有单纯逼近。

**习题 13.6** 计算 $n$ 维单纯形的欧拉示性数（顶点-边+面-...）。

**习题 13.7** 证明：紧致光滑流形可三角剖分。

**习题 13.8** 研究 $\\mathbb{R}P^2$ 的三角剖分。

**习题 13.9** 证明：可三角剖分的空间是局部可缩的。

**习题 13.10** 构造Klein瓶的三角剖分。