====== 第十四章 单纯同调 (Simplicial Homology) ======

===== 14.1 定向单纯形 =====

==== 定义 14.1.1 (定向单纯形) ====

$n$ 维单纯形 $[v_0, \\ldots, v_n]$ 的**定向**是顶点的排列等价类，偶排列等价，奇排列给相反定向。记作 $\\langle v_0, \\ldots, v_n \\rangle$。

定向单纯形满足：$\\langle v_0, v_1, \\ldots \\rangle = -\\langle v_1, v_0, \\ldots \\rangle$。

===== 14.2 链群 =====

==== 定义 14.2.1 (p维链) ====

设 $K$ 是单纯复形。$K$ 的**p维链群** $C_p(K)$ 是由定向 $p$ 维单纯形生成的自由Abel群。

元素形如 $\\sum_{\\sigma} n_\\sigma \\sigma$，其中 $n_\\sigma \\in \\mathbb{Z}$，有限和。

==== 例 14.2.2 ====

  - $C_0(K)$：顶点形式的线性组合
  - $C_1(K)$：边的形式和（可看作"路径"）

===== 14.3 边缘算子 =====

==== 定义 14.3.1 (边缘算子) ====

**边缘算子** $\\partial_p: C_p(K) \\to C_{p-1}(K)$ 定义为：
$$\\partial_p(\\langle v_0, \\ldots, v_p \\rangle) = \\sum_{i=0}^p (-1)^i \\langle v_0, \\ldots, \\hat{v}_i, \\ldots, v_p \\rangle$$

其中 $\\hat{v}_i$ 表示删去 $v_i$。

==== 定理 14.3.2 ($\\partial^2 = 0$) ====

$\\partial_{p-1} \\circ \\partial_p = 0$

**证明**：计算得每对 $(i,j)$ 出现两次，符号相反。

===== 14.4 同调群 =====

==== 定义 14.4.1 (闭链与边缘链) ====

  - **p维闭链**：$Z_p(K) = \\ker(\\partial_p) = \\{c : \\partial_p c = 0\\}$
  - **p维边缘链**：$B_p(K) = \\text{im}(\\partial_{p+1})$

由 $\\partial^2 = 0$，有 $B_p(K) \\subseteq Z_p(K)$。

==== 定义 14.4.2 (单纯同调群) ====

$$H_p(K) = Z_p(K) / B_p(K) = \\ker(\\partial_p) / \\text{im}(\\partial_{p+1})$$

==== 例 14.4.3 ====

  - $H_0(K)$：连通分支个数的自由Abel群（$\\cong \\mathbb{Z}^{\\#分支}$）
  - $H_n(\\Delta^n) = 0$（$n > 0$），$H_0 = \\mathbb{Z}$

===== 14.5 计算例子 =====

==== 例 14.5.1 (圆周 $S^1$) ====

三角剖分：一个三角形的三条边，或两个边构成的1维复形。

$H_0(S^1) = \\mathbb{Z}$（连通）

$H_1(S^1) = \\mathbb{Z}$（1维洞）

$H_p(S^1) = 0$（$p \\geq 2$）

==== 例 14.5.2 (球面 $S^2$) ====

四面体表面：4顶点、6边、4面。

$H_0 = \\mathbb{Z}$，$H_1 = 0$，$H_2 = \\mathbb{Z}$

==== 例 14.5.3 (环面 $T^2$) ====

$H_0 = \\mathbb{Z}$，$H_1 = \\mathbb{Z}^2$，$H_2 = \\mathbb{Z}$

===== 14.6 同调群的性质 =====

==== 定理 14.6.1 ====

(1) $H_p(K)$ 是Abel群（有限生成，当 $K$ 有限时）

(2) **同伦不变性**：若 $||K|| \\simeq ||L||$，则 $H_p(K) \\cong H_p(L)$

(3) **切除定理**：若 $A \\subseteq K$ 是子复形，适当条件下有 $H_p(K, A) \\cong H_p(K \\setminus U, A \\setminus U)$

===== 14.7 Euler-Poincaré 公式 =====

==== 定理 14.7.1 ====

设 $K$ 是有限单纯复形，$c_p$ 是 $p$ 维单纯形个数。则：
$$\\chi(K) = \\sum_p (-1)^p c_p = \\sum_p (-1)^p \\text{rank}(H_p(K))$$

===== 14.8 习题 =====

**习题 14.1** 验证 $\\partial^2 = 0$。

**习题 14.2** 计算 $S^n$ 的单纯同调群。

**习题 14.3** 计算 $\\mathbb{R}P^2$ 的同调群（用 $\\mathbb{Z}$ 和 $\\mathbb{Z}/2$ 系数）。

**习题 14.4** 证明：$H_0(K) = \\mathbb{Z}^{\\#\\text{连通分支}}$。

**习题 14.5** 计算Klein瓶的同调群。

**习题 14.6** 证明欧拉示性数是同伦不变量。

**习题 14.7** 设 $K$ 是树（无回路的连通1维复形），计算其同调群。

**习题 14.8** 研究Möbius带的同调群。

**习题 14.9** 证明：$H_p(K) \\cong H_p(K')$（重心重分不改变同调）。

**习题 14.10** 计算 $n$ 叶玫瑰线的同调群。