====== 第二章 连续性 ====== ===== 2.1 连续函数的定义 ===== ==== 2.1.1 点连续的定义 ==== **定义 2.1（点连续）** 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。如果 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**连续**。 用 ε-δ 语言表述：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。 **等价表述：** $$\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$$ 或记 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$。 ==== 2.1.2 单侧连续 ==== **定义 2.2** - **右连续**：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ - **左连续**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ **定理 2.1** $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。 **例 2.1** 讨论函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处的连续性。 **解：** - $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0 = f(0)$ - $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 = f(0)$ 故 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续。 ==== 2.1.3 区间上的连续性 ==== **定义 2.3** - 若 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续 - 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 所有在 $[a, b]$ 上连续的函数组成的集合记为 $C[a, b]$。 ===== 2.2 间断点及其分类 ===== ==== 2.2.1 间断点的定义 ==== 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的**间断点**。 函数在 $x_0$ 处不连续，至少满足以下条件之一： 1. $f(x_0)$ 无定义 2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在 3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ ==== 2.2.2 间断点的分类 ==== **第一类间断点（可去或跳跃）：** 左右极限都存在。 - **可去间断点**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义） - 可通过重新定义 $f(x_0)$ 使函数连续 - **跳跃间断点**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ - 跳跃度：$|\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)|$ **第二类间断点：** 左右极限至少有一个不存在。 - **无穷间断点**：$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ - **振荡间断点**：极限不存在且不为无穷 **例 2.2** 判断下列函数的间断点类型： (a) $f(x) = \frac{\sin x}{x}$，$x \neq 0$，补充定义 $f(0) = ?$ **解：** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，若定义 $f(0) \neq 1$，则 $x = 0$ 是可去间断点；若定义 $f(0) = 1$，则函数连续。 (b) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 0 \\ x - 1, & x < 0 \end{cases}$ **解：** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$，跳跃度为 2，$x = 0$ 是跳跃间断点。 (c) $f(x) = \frac{1}{x}$ **解：** $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$，$x = 0$ 是无穷间断点。 (d) $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ **解：** 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x} \to \infty$，函数在 -1 和 1 之间无限振荡，$x = 0$ 是振荡间断点。 ===== 2.3 连续函数的性质 ===== ==== 2.3.1 局部性质 ==== **定理 2.2（局部有界性）** 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则存在 $\delta > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 内有界。 **定理 2.3（局部保号性）** 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续且 $f(x_0) > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 时 $f(x) > 0$。 ==== 2.3.2 连续函数的四则运算 ==== **定理 2.4** 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则： 1. $f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续 2. $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处连续 3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连续（要求 $g(x_0) \neq 0$） **推论：** 多项式函数、有理函数在其定义域内连续。 ==== 2.3.3 复合函数的连续性 ==== **定理 2.5** 若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续。 即：$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) = f(g(x_0))$ **例 2.3** 证明 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。 **证明：** $u = x^2$ 和 $y = \sin u$ 都在 $\mathbb{R}$ 上连续，故复合函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。 ==== 2.3.4 反函数的连续性 ==== **定理 2.6** 若函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间上也严格单调且连续。 **例 2.4** 基本初等函数的连续性： - 幂函数 $x^\alpha$ 在其定义域内连续 - 指数函数 $a^x$（$a > 0$）在 $\mathbb{R}$ 上连续 - 对数函数 $\log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）在 $(0, +\infty)$ 上连续 - 三角函数和反三角函数在其定义域内连续 **结论：** 所有初等函数在其定义域内连续。 ===== 2.4 闭区间上连续函数的性质 ===== ==== 2.4.1 有界性定理 ==== **定理 2.7（有界性定理）** 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，即存在 $M > 0$，使得 $|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [a, b]$ 成立。 **注：** 开区间上的连续函数不一定有界，如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但无界。 ==== 2.4.2 最值定理 ==== **定理 2.8（最值定理）** 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必能取到最大值和最小值，即存在 $\xi, \eta \in [a, b]$，使得： $$f(\xi) = \min_{x \in [a, b]} f(x), \quad f(\eta) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$$ ==== 2.4.3 介值定理 ==== **定理 2.9（介值定理）** 若 $f(x) \in C[a, b]$，$m$ 和 $M$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，则对任意 $c \in [m, M]$，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $f(\xi) = c$。 **推论（零点定理）：** 若 $f(x) \in C[a, b]$ 且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。 **例 2.5** 证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个根。 **证明：** 设 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$，则 $f(x) \in C[0, 1]$。 $f(0) = 1 > 0$，$f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$。 由零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $f(\xi) = 0$。 **例 2.6** 设 $f(x) \in C[0, 1]$，$f(0) = f(1)$。证明存在 $\xi \in [0, \frac{1}{2}]$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + \frac{1}{2})$。 **证明：** 设 $g(x) = f(x) - f(x + \frac{1}{2})$，$x \in [0, \frac{1}{2}]$。 则 $g(0) = f(0) - f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - f(1) = f(\frac{1}{2}) - f(0) = -g(0)$。 若 $g(0) = 0$，则 $\xi = 0$ 即为所求。 若 $g(0) \neq 0$，则 $g(0) \cdot g(\frac{1}{2}) = -[g(0)]^2 < 0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f(\xi + \frac{1}{2})$。 ===== 2.5 一致连续性 ===== ==== 2.5.1 一致连续性的定义 ==== **定义 2.4（一致连续）** 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$（仅依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关），使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**一致连续**。 **注：** - 一致连续 ⇒ 连续，但反之不成立 - 一致连续的整体性概念，连续是局部性概念 ==== 2.5.2 一致连续与连续的区别 ==== **例 2.7** $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但不一致连续。 **证明：** 取 $\varepsilon_0 = 1$，对任意 $\delta > 0$，取 $n > \frac{1}{\delta}$，令 $x_1 = \frac{1}{n}$，$x_2 = \frac{1}{n+1}$。 则 $|x_1 - x_2| = \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n} < \delta$，但： $$|f(x_1) - f(x_2)| = |n - (n+1)| = 1 = \varepsilon_0$$ 故 $f(x)$ 在 $(0, 1)$ 上不一致连续。 ==== 2.5.3 一致连续性定理 ==== **定理 2.10（康托尔定理）** 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。 **证明思路：** 用有限覆盖定理。反设不一致连续，可构造两个数列使函数值差大于某固定正数，但由连续性及致密性定理导出矛盾。 **例 2.8** $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。 **证明：** 由拉格朗日中值定理： $$|\sin x_1 - \sin x_2| = |\cos \xi| \cdot |x_1 - x_2| \leq |x_1 - x_2|$$ 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时： $$|\sin x_1 - \sin x_2| \leq |x_1 - x_2| < \varepsilon$$ ===== 2.6 典型例题 ===== **例题 2.1** 求 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点并分类。 **解：** $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2}$（$x \neq 1$） - $x = 1$：$\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{2}{-1} = -2$，可去间断点 - $x = 2$：$\lim_{x \to 2} f(x) = \infty$，无穷间断点 **例题 2.2** 设 $f(x) \in C[a, b]$，$x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a, b]$。证明存在 $\xi \in [a, b]$ 使得： $$f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$$ **证明：** 设 $m = \min_{x \in [a, b]} f(x)$，$M = \max_{x \in [a, b]} f(x)$。 则 $m \leq f(x_i) \leq M$，故： $$m \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i) \leq M$$ 由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得等式成立。 **例题 2.3** 证明：若 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界。 **证明：** - 由极限定义，存在 $X > a$，当 $x > X$ 时 $|f(x) - A| < 1$，即 $|f(x)| < |A| + 1$ - 在 $[a, X]$ 上，$f(x)$ 连续，故有界，设 $|f(x)| \leq M_1$ - 取 $M = \max\{M_1, |A| + 1\}$，则对所有 $x \in [a, +\infty)$，$|f(x)| \leq M$ ===== 2.7 习题 ===== **基础题** 1. 讨论下列函数在指定点的连续性： (a) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处 (b) $f(x) = x\sin\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处（补充定义 $f(0) = 0$） 2. 求下列函数的间断点并分类： (a) $f(x) = \frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1-x}}}$ (b) $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}$ **提高题** 3. 设 $f(x) \in C[0, 2]$，$f(0) = f(2)$。证明存在 $\xi \in [0, 1]$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。 4. 证明：奇数次多项式方程至少有一个实根。 **挑战题** 5. 设 $f(x) \in C[a, b]$，$E = \{x \in [a, b] : f(x) = x\}$。证明 $E$ 是闭集。 6. 证明：$f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续，但在任何有界区间上一致连续。