====== 第四章 积分学 ====== ===== 4.1 不定积分 ===== ==== 4.1.1 原函数与不定积分的概念 ==== **定义 4.1（原函数）** 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在函数 $F(x)$ 使得对任意 $x \in I$： $$F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx$$ 则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的**原函数**。 **定理 4.1（原函数的性质）** 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数，且 $f(x)$ 的任意两个原函数之间相差一个常数。 **定义 4.2（不定积分）** 函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的**不定积分**，记为 $$\int f(x)dx = F(x) + C$$ 其中 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)dx$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量，$C$ 称为积分常数。 **基本性质：** 1. $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ 或 $d\left(\int f(x)dx\right) = f(x)dx$ 2. $\int F'(x)dx = F(x) + C$ 或 $\int dF(x) = F(x) + C$ 3. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ 4. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k \neq 0$ 为常数） ==== 4.1.2 基本积分公式 ==== **幂函数：** - $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$（$\alpha \neq -1$） - $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$ **指数函数：** - $\int e^x dx = e^x + C$ - $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0, a \neq 1$） **三角函数：** - $\int \sin x dx = -\cos x + C$ - $\int \cos x dx = \sin x + C$ - $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$ - $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$ - $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ - $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ - $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ - $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$ **反三角函数相关：** - $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C$ - $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C$ - $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$（$a > 0$） - $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$） ==== 4.1.3 换元积分法 ==== **第一类换元法（凑微分法）** 设 $f(u)$ 具有原函数，$u = \varphi(x)$ 可导，则 $$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C$$ **常用凑微分公式：** - $\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$（$a \neq 0$） - $\int xf(x^2)dx = \frac{1}{2}\int f(x^2)d(x^2)$ - $\int \frac{f(\ln x)}{x}dx = \int f(\ln x)d(\ln x)$ - $\int e^xf(e^x)dx = \int f(e^x)d(e^x)$ - $\int \frac{f(\arctan x)}{1+x^2}dx = \int f(\arctan x)d(\arctan x)$ **例 4.1** 求 $\int x\sqrt{1-x^2}dx$ **解：** 令 $u = 1-x^2$，则 $du = -2xdx$，$xdx = -\frac{1}{2}du$ $$\int x\sqrt{1-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$$ **第二类换元法** 设 $x = \varphi(t)$ 是单调可导函数，且 $\varphi'(t) \neq 0$，$f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 具有原函数，则 $$\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C$$ **常用换元：** - 含 $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x = a\sin t$ 或 $x = a\cos t$ - 含 $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x = a\tan t$ - 含 $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x = a\sec t$ - 含 $\sqrt[n]{ax+b}$：令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$ **例 4.2** 求 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$（$a > 0$） **解：** 令 $x = a\sin t$（$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$），则 $dx = a\cos t dt$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int \frac{a\cos t}{a\cos t}dt = t + C = \arcsin\frac{x}{a} + C$$ ==== 4.1.4 分部积分法 ==== **公式：** $$\int u dv = uv - \int v du$$ **推导：** 由 $(uv)' = u'v + uv'$，得 $uv' = (uv)' - u'v$，两边积分即得。 **选择 $u$ 的口诀（LIATE）：** 按优先级：对数函数(L) > 反三角函数(I) > 代数函数(A) > 三角函数(T) > 指数函数(E) **例 4.3** 求 $\int x e^x dx$ **解：** 令 $u = x$，$dv = e^x dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$ $$\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$ **例 4.4** 求 $\int x^2 \cos x dx$ **解：** 需用两次分部积分： $$\begin{aligned} \int x^2 \cos x dx &= x^2\sin x - \int 2x\sin x dx \\ &= x^2\sin x - 2\left(-x\cos x + \int \cos x dx\right) \\ &= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C \end{aligned}$$ **例 4.5** 求 $I = \int e^x \sin x dx$ **解：** 两次分部积分后会出现循环： $$\begin{aligned} I &= e^x \sin x - \int e^x \cos x dx \\ &= e^x \sin x - \left(e^x \cos x + \int e^x \sin x dx\right) \\ &= e^x(\sin x - \cos x) - I \end{aligned}$$ 解得：$I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$ ==== 4.1.5 有理函数的积分 ==== **有理函数：** 两个多项式的商 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ **分解步骤：** 1. 若为假分式（分子次数 ≥ 分母），先化为多项式 + 真分式 2. 将分母因式分解 3. 用待定系数法分解为部分分式 **基本类型：** - $\int \frac{A}{x-a}dx = A\ln|x-a| + C$ - $\int \frac{A}{(x-a)^n}dx = \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$（$n > 1$） - $\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx$（$p^2-4q < 0$） **例 4.6** 求 $\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$ **解：** $\frac{x+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$ $x+1 = A(x-3) + B(x-2)$ 令 $x = 2$：$3 = -A$，$A = -3$ 令 $x = 3$：$4 = B$，$B = 4$ $$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx = \int \left(\frac{-3}{x-2} + \frac{4}{x-3}\right)dx = -3\ln|x-2| + 4\ln|x-3| + C$$ ===== 4.2 定积分 ===== ==== 4.2.1 定积分的概念 ==== **引例：曲边梯形的面积** 设 $y = f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上连续，求由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 和 $y = 0$ 围成的曲边梯形的面积。 **四步法：** 1. **分割：** $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，小区间长度 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 2. **近似：** 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取 $\xi_i$，以小矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似小曲边梯形面积 3. **求和：** $S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 4. **取极限：** 令 $\lambda = \max\{\Delta x_i\} \to 0$，面积 $S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ **定义 4.3（定积分）** 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，若极限 $$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$ 存在（与分割方式和 $\xi_i$ 的取法无关），则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上**可积**，此极限值称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的**定积分**，记为 $$\int_a^b f(x)dx$$ 其中 $a$ 称为积分下限，$b$ 称为积分上限，$[a, b]$ 称为积分区间。 **可积的充分条件：** - $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 ⇒ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积 - $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界且只有有限个间断点 ⇒ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积 ==== 4.2.2 定积分的性质 ==== **性质 1：** $\int_a^a f(x)dx = 0$，$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ **性质 2（线性性）：** $$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx$$ **性质 3（区间可加性）：** $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$$ **性质 4（保号性）：** 若 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)dx \geq 0$（$a < b$） **推论：** 若 $f(x) \geq g(x)$，则 $\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx$ **性质 5（估值定理）：** 若 $m \leq f(x) \leq M$（$x \in [a, b]$），则 $$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$ **性质 6（积分中值定理）：** 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$ **几何意义：** 曲边梯形的面积等于以 $f(\xi)$ 为高、$(b-a)$ 为宽的矩形面积。 **例 4.7** 估计 $\int_0^1 e^{x^2}dx$ 的值。 **解：** 在 $[0, 1]$ 上，$1 \leq e^{x^2} \leq e$ 故 $1 \cdot (1-0) \leq \int_0^1 e^{x^2}dx \leq e \cdot (1-0)$，即 $1 \leq \int_0^1 e^{x^2}dx \leq e$。 ==== 4.2.3 微积分基本定理 ==== **定理 4.2（变上限积分的导数）** 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数 $$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $$\Phi'(x) = f(x)$$ 即 $\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)$ **意义：** 连续函数必有原函数，变上限积分就是它的一个原函数。 **推广：** $$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$$ **例 4.8** 求 $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t dt$ **解：** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t dt = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^2)$ **定理 4.3（牛顿-莱布尼茨公式）** 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\big|_a^b$$ **证明：** $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，故 $F(x) = \Phi(x) + C$ $F(b) - F(a) = \Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b f(t)dt - 0 = \int_a^b f(x)dx$ **例 4.9** 计算 $\int_0^1 x^2 dx$ **解：** $\int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3}\big|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ ==== 4.2.4 定积分的计算方法 ==== **换元法** 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$x = \varphi(t)$ 满足： 1. $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$ 2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，且值域不超出 $[a, b]$ 则 $$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt$$ **注意：** 换元必换限，不必代回原变量。 **例 4.10** 计算 $\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$ **解：** 令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2tdt$ 当 $x = 0$ 时 $t = 0$；当 $x = 4$ 时 $t = 2$ $$\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx = \int_0^2 \frac{2t}{1+t}dt = 2\int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2[t - \ln|1+t|]_0^2 = 2(2 - \ln 3)$$ **分部积分法** $$\int_a^b u dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v du$$ **例 4.11** 计算 $\int_0^1 x e^x dx$ **解：** $\int_0^1 x e^x dx = xe^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$ ==== 4.2.5 定积分的应用 ==== **1. 平面图形的面积** 由曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x)$）和直线 $x = a$、$x = b$ 围成的面积： $$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$$ **例 4.12** 求由抛物线 $y = x^2$ 和 $y = \sqrt{x}$ 围成的面积。 **解：** 交点：$x^2 = \sqrt{x}$，$x^4 = x$，$x = 0$ 或 $x = 1$ $$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ **2. 旋转体的体积** 曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）与 $x = a$、$x = b$ 及 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转一周所得体积： $$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$$ **例 4.13** 求由椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转椭球体的体积。 **解：** $y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$ $$V = \pi\int_{-a}^a b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)dx = 2\pi b^2\left[x - \frac{x^3}{3a^2}\right]_0^a = 2\pi b^2 \cdot \frac{2a}{3} = \frac{4}{3}\pi ab^2$$ ===== 4.3 反常积分 ===== ==== 4.3.1 无穷限的反常积分 ==== **定义 4.4** 设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，若极限 $$\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上的**反常积分**，记为 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$，此时称反常积分**收敛**；若极限不存在，则称反常积分**发散**。 类似可定义： $$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty} f(x)dx$$ （要求两个积分都收敛） **例 4.14** 讨论 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 的敛散性（$p > 0$）。 **解：** - 当 $p = 1$：$\int_1^b \frac{1}{x}dx = \ln b \to +\infty$（发散） - 当 $p \neq 1$：$\int_1^b \frac{1}{x^p}dx = \frac{1}{1-p}(b^{1-p} - 1)$ - $p > 1$：$b^{1-p} \to 0$，收敛于 $\frac{1}{p-1}$ - $p < 1$：$b^{1-p} \to +\infty$，发散 **结论：** $p > 1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散。 **例 4.15** 计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x}dx$ **解：** $\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = -e^{-x}\big|_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$ ==== 4.3.2 无界函数的反常积分（瑕积分） ==== **定义 4.5** 设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$（$a$ 称为**瑕点**），若极限 $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的**瑕积分**，记为 $\int_a^b f(x)dx$。 **例 4.16** 讨论 $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$ 的敛散性（$p > 0$）。 **解：** $x = 0$ 是瑕点。 - $p = 1$：$\int_\varepsilon^1 \frac{1}{x}dx = -\ln\varepsilon \to +\infty$（发散） - $p \neq 1$：$\int_\varepsilon^1 \frac{1}{x^p}dx = \frac{1}{1-p}(1 - \varepsilon^{1-p})$ - $p < 1$：收敛于 $\frac{1}{1-p}$ - $p > 1$：发散 **结论：** $p < 1$ 时收敛，$p \geq 1$ 时发散。 ===== 4.4 典型例题 ===== **例题 4.1** 设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$，求 $\int_0^2 f(x)dx$。 **解：** $$\int_0^2 f(x)dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2-x)dx = \frac{1}{3} + \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{6}$$ **例题 4.2** 证明：$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} xf(x)dx$（$a > 0$） **证明：** 令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}dt$ $$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \int_0^{a^2} t^{3/2} f(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} tf(t)dt$$ ===== 4.5 习题 ===== **基础题** 1. 计算下列不定积分： (a) $\int \frac{1}{x\ln x}dx$ (b) $\int x^2 e^{-x}dx$ (c) $\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$ 2. 计算下列定积分： (a) $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx$ (b) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$ (c) $\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1}dx$ **提高题** 3. 设 $f(x)$ 连续，$F(x) = \int_x^{e^{-x}} f(t)dt$，求 $F'(x)$。 4. 证明：$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} xf(x)dx$（$a > 0$）。 5. 求由曲线 $y = \ln x$、$y$ 轴和直线 $y = \ln a$、$y = \ln b$（$0 < a < b$）围成的面积。 **挑战题** 6. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，证明：$\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$。 7. 判别反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx$ 的敛散性（条件收敛）。