====== 第九章 内积空间 ======

===== 9.1 引言 =====

内积空间是欧几里得几何在无限维空间的自然推广。与一般的赋范空间不同，内积空间具有"角度"的概念，可以定义正交性，这使得其结构更加丰富和类似于有限维欧几里得空间。

本章介绍内积空间的基本理论，包括内积公理、由内积诱导的范数、以及内积空间特有的极化恒等式和平行四边形公式。

===== 9.2 内积公理 =====

==== 9.2.1 内积的定义 =====

**定义 9.1**（内积）设\\(X\\)是数域\\(\\mathbb{K}\\)（\\(\\mathbb{R}\\)或\\(\\mathbb{C}\\)）上的线性空间。映射\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)称为**内积**，如果对任意\\(x, y, z \\in X\\)和\\(\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{K}\\)：

**(IP1)** **共轭对称性**：\\(\\langle x, y \\rangle = \\overline{\\langle y, x \\rangle}\\)；

**(IP2)** **对第一变元的线性**：\\(\\langle \\alpha x + \\beta y, z \\rangle = \\alpha \\langle x, z \\rangle + \\beta \\langle y, z \\rangle\\)；

**(IP3)** **正定性**：\\(\\langle x, x \\rangle \\geq 0\\)，且\\(\\langle x, x \\rangle = 0\\)当且仅当\\(x = 0\\)。

\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)称为**内积空间**。

**注记**：
- 当\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)时，(IP1)变为对称性：\\(\\langle x, y \\rangle = \\langle y, x \\rangle\\)
- 由(IP1)和(IP2)，内积对第二变元是**共轭线性**的：

$$\\langle x, \\alpha y + \\beta z \\rangle = \\bar{\\alpha}\\langle x, y \\rangle + \\bar{\\beta}\\langle x, z \\rangle$$

==== 9.2.2 典型例子 =====

**例 9.1**（欧几里得空间）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上：

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i y_i$$

在\\(\\mathbb{C}^n\\)上：

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i \\bar{y}_i$$

**例 9.2**（\\(l^2\\)空间）

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{n=1}^\\infty x_n \\bar{y}_n$$

由Cauchy-Schwarz不等式，级数绝对收敛。

**例 9.3**（\\(L^2\\)空间）

$$\\langle f, g \\rangle = \\int_\\Omega f(x)\\overline{g(x)}d\\mu(x)$$

**例 9.4**（连续函数空间）在\\(C[a,b]\\)上：

$$\\langle f, g \\rangle = \\int_a^b f(t)\\overline{g(t)}dt$$

这不是Hilbert空间（不完备）。

===== 9.3 Cauchy-Schwarz不等式 =====

**定理 9.1**（Cauchy-Schwarz不等式）设\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)是内积空间。则对任意\\(x, y \\in X\\)：

$$|\\langle x, y \\rangle|^2 \\leq \\langle x, x \\rangle \\langle y, y \\rangle$$

等号成立当且仅当\\(x\\)与\\(y\\)线性相关。

**证明**：不妨设\\(y \\neq 0\\)。对任意\\(\\lambda \\in \\mathbb{K}\\)：

$$0 \\leq \\langle x - \\lambda y, x - \\lambda y \\rangle = \\langle x, x \\rangle - \\lambda \\langle y, x \\rangle - \\bar{\\lambda}\\langle x, y \\rangle + |\\lambda|^2\\langle y, y \\rangle$$

取\\(\\lambda = \\frac{\\langle x, y \\rangle}{\\langle y, y \\rangle}\\)：

$$0 \\leq \\langle x, x \\rangle - \\frac{|\\langle x, y \\rangle|^2}{\\langle y, y \\rangle}$$

即得结论。等号成立当且仅当\\(x = \\lambda y\\)。\\(\\square\\)

===== 9.4 由内积诱导的范数 =====

**定义 9.2** 在内积空间上定义：

$$\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle}$$

**定理 9.2** 上述定义的\\(\\|\\cdot\\|\\)是范数。

**证明**：

**(N1)** \\(\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle} \\geq 0\\)，且\\(\\|x\\| = 0 \\Leftrightarrow \\langle x, x \\rangle = 0 \\Leftrightarrow x = 0\\)

**(N2)** \\(\\|\\alpha x\\| = \\sqrt{\\langle \\alpha x, \\alpha x \\rangle} = \\sqrt{|\\alpha|^2\\langle x, x \\rangle} = |\\alpha|\\|x\\|\\)

**(N3)** 由Cauchy-Schwarz：

$$\\|x + y\\|^2 = \\langle x+y, x+y \\rangle = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

$$\\leq \\|x\\|^2 + 2|\\langle x, y \\rangle| + \\|y\\|^2 \\leq \\|x\\|^2 + 2\\|x\\|\\|y\\| + \\|y\\|^2 = (\\|x\\| + \\|y\\|)^2$$

\\(\\square\\)

===== 9.5 极化恒等式 =====

极化恒等式揭示了内积与范数之间的深刻联系：内积可以由范数恢复。

**定理 9.3**（极化恒等式）

**(实情形)** 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)：

$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2)$$

**(复情形)** 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{C}\\)：

$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 + i\\|x+iy\\|^2 - i\\|x-iy\\|^2)$$

**证明**（复情形）：

展开\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)

\\(\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)

故\\(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, y \\rangle\\)

同理，\\(\\|x+iy\\|^2 - \\|x-iy\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, iy \\rangle = 4\\text{Im}\\langle x, y \\rangle\\)

组合即得结论。\\(\\square\\)

**注记**：极化恒等式说明：内积空间结构完全由其范数结构决定。

===== 9.6 平行四边形公式 =====

**定理 9.4**（平行四边形公式）在内积空间中，对任意\\(x, y\\)：

$$\\|x+y\\|^2 + \\|x-y\\|^2 = 2(\\|x\\|^2 + \\|y\\|^2)$$

**证明**：直接展开：

$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

$$\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

相加即得。\\(\\square\\)

**几何意义**：平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

**定理 9.5**（Jordan-von Neumann定理）赋范空间\\(X\\)是内积空间（范数可由某内积诱导）当且仅当范数满足平行四边形公式。

**证明概要**：必要性已证。充分性：用极化恒等式定义内积，验证其满足内积公理。关键是用平行四边形公式验证可加性。

**例 9.5** \\(l^p\\)（\\(p \\neq 2\\)）不是内积空间。

取\\(x = (1, 0, 0, \\ldots)\\)，\\(y = (0, 1, 0, \\ldots)\\)：

$$\\|x+y\\|_p^2 + \\|x-y\\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2^{1+2/p}$$

$$2(\\|x\\|_p^2 + \\|y\\|_p^2) = 2(1 + 1) = 4$$

当\\(p \\neq 2\\)时，\\(2^{1+2/p} \\neq 4\\)。

===== 9.7 习题 =====

**习题 9.1** 验证\\(\\mathbb{C}^n\\)上的标准内积满足内积公理。

**习题 9.2** 在内积空间中，证明：

$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2 \\Leftrightarrow \\text{Re}\\langle x, y \\rangle = 0$$

**习题 9.3** 证明：若\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2\\)对所有\\(x, y\\)成立，则内积空间是实的。

**习题 9.4** 设\\(\\{x_n\\}\\)是内积空间中的序列，\\(\\|x_n\\| \\to \\|x\\|\\)且\\(\\langle x_n, x \\rangle \\to \\|x\\|^2\\)。证明\\(x_n \\to x\\)。

**习题 9.5** 证明：内积\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)是连续映射。

**习题 9.6** 设\\(T: X \\to Y\\)是内积空间之间的线性算子且保持内积（\\(\\langle Tx, Ty \\rangle = \\langle x, y \\rangle\\)）。证明\\(\\|Tx\\| = \\|x\\|\\)。

**习题 9.7** 证明Appolonius恒等式：

$$\\|z-x\\|^2 + \\|z-y\\|^2 = \\frac{1}{2}\\|x-y\\|^2 + 2\\left\\|z - \\frac{x+y}{2}\\right\\|^2$$

**习题 9.8** 设\\(X\\)是实内积空间，\\(x, y \\neq 0\\)。证明：\\(\\|x+y\\| = \\|x\\| + \\|y\\|\\)当且仅当\\(y = tx\\)（\\(t > 0\\)）。

**习题 9.9** 验证\\(C[0,1]\\)在上确界范数下不满足平行四边形公式。

**习题 9.10** 设\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是内积空间中的规范正交集。证明对任意\\(x\\)：

$$\\sum_{i=1}^n |\\langle x, e_i \\rangle|^2 \\leq \\|x\\|^2$$

===== 9.8 补充阅读 =====

  * 严格凸空间与一致凸空间
  * 内积空间的特征刻画
  * 数值半径与数值值域

====== 本章小结 ======

本章介绍了内积空间的基础理论：

  - 内积公理定义了"角度"的概念，使空间具有欧几里得结构
  - Cauchy-Schwarz不等式是内积空间的基本不等式
  - 内积自然诱导范数，使内积空间成为赋范空间
  - 极化恒等式表明内积可由范数恢复
  - 平行四边形公式是内积空间的特征性质