====== 第二章 度量空间中的点集 ======

===== 2.1 引言 =====

在度量空间的研究中，点集的性质起着核心作用。本章将深入探讨度量空间中几类重要的点集性质：稠密性、可分性、列紧性和紧性。这些概念不仅是度量空间理论的基础，也是现代分析学中不可或缺的工具。

紧性是数学中最重要的概念之一，它将有限集合的某些优良性质推广到了无限集合。在分析学中，紧性保证了连续函数的许多重要性质，如一致连续性、最大值最小值的存在性等。

===== 2.2 稠密性与可分空间 =====

==== 2.2.1 稠密集 =====

**定义 2.1**（稠密集）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(A \\subseteq X\\)。如果\\(\\bar{A} = X\\)，即\\(A\\)的闭包等于整个空间，则称\\(A\\)在\\(X\\)中**稠密**。

等价地，\\(A\\)在\\(X\\)中稠密当且仅当对任意\\(x \\in X\\)和任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(a \\in A\\)使得\\(d(x, a) < \\epsilon\\)。

**定义 2.2**（处处稠密与无处稠密）设\\(A \\subseteq X\\)：
- 若\\(\\bar{A} = X\\)，称\\(A\\)**处处稠密**
- 若\\((\\bar{A})^\\circ = \\emptyset\\)（闭包的内部为空），称\\(A\\)**无处稠密**

**定理 2.1**（稠密集的等价条件）设\\(A \\subseteq X\\)，以下条件等价：

**(1)** \\(A\\)在\\(X\\)中稠密；

**(2)** 对任意非空开集\\(G\\)，有\\(G \\cap A \\neq \\emptyset\\)；

**(3)** 对任意\\(x \\in X\\)，存在\\(\\{a_n\\} \\subseteq A\\)使得\\(a_n \\to x\\)；

**(4)** \\(X \\setminus A\\)不包含任何非空开集。

**证明**：

\\((1) \\Leftrightarrow (3)\\)：由闭包的定义，\\(x \\in \\bar{A}\\)当且仅当存在\\(\\{a_n\\} \\subseteq A\\)使得\\(a_n \\to x\\)。

\\((1) \\Rightarrow (2)\\)：设\\(A\\)稠密，\\(G\\)是非空开集。取\\(x \\in G\\)，则存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq G\\)。由于\\(x \\in \\bar{A}\\)，\\(B(x, r) \\cap A \\neq \\emptyset\\)，故\\(G \\cap A \\neq \\emptyset\\)。

\\((2) \\Rightarrow (4)\\)：若\\(X \\setminus A\\)包含非空开集\\(G\\)，则\\(G \\cap A = \\emptyset\\)，与(2)矛盾。

\\((4) \\Rightarrow (1)\\)：若\\(\\bar{A} \\neq X\\)，则\\(X \\setminus \\bar{A}\\)是非空开集且\\(X \\setminus \\bar{A} \\subseteq X \\setminus A\\)，与(4)矛盾。\\(\\square\\)

**例 2.1** 在\\(\\mathbb{R}\\)中，有理数集\\(\\mathbb{Q}\\)和无理数集\\(\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q}\\)都稠密。

**例 2.2** 在\\(C[a,b]\\)（一致收敛度量）中，多项式全体稠密（Weierstrass逼近定理）。

==== 2.2.2 可分空间 =====

**定义 2.3**（可分空间）度量空间\\((X, d)\\)称为**可分的**，如果存在可数稠密子集。

**例 2.3** \\(\\mathbb{R}^n\\)是可分空间，\\(\\mathbb{Q}^n\\)是可数稠密子集。

**定理 2.2** \\(C[a,b]\\)是可分空间。

**证明**（概要）：
由Weierstrass逼近定理，多项式在\\(C[a,b]\\)中稠密。而有理系数多项式：

$$\\mathbb{Q}[t] = \\left\\{\\sum_{k=0}^{n} a_k t^k : n \\geq 0, a_k \\in \\mathbb{Q}\\right\\}$$

是可数集且在\\(C[a,b]\\)中稠密。\\(\\square\\)

**定理 2.3** \\(l^p\\)（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）是可分空间。

**证明**：令

$$E = \\left\\{x = (x_1, x_2, \\ldots, x_n, 0, 0, \\ldots) : n \\geq 1, x_k \\in \\mathbb{Q}(\\text{或}\\mathbb{Q} + i\\mathbb{Q})\\right\\}$$

\\(E\\)是可数集。对任意\\(y = (y_n) \\in l^p\\)和\\(\\epsilon > 0\\)：

**(1)** 存在\\(N\\)使得\\(\\sum_{n=N+1}^\\infty |y_n|^p < (\\epsilon/2)^p\\)；

**(2)** 对每个\\(n = 1, \\ldots, N\\)，取\\(x_n \\in \\mathbb{Q}\\)使得\\(|y_n - x_n|^p < \\epsilon^p/(2^p N)\\)；

**(3)** 令\\(x = (x_1, \\ldots, x_N, 0, 0, \\ldots)\\)，则：

$$d_p(x, y)^p = \\sum_{n=1}^N |x_n - y_n|^p + \\sum_{n=N+1}^\\infty |y_n|^p < \\frac{\\epsilon^p}{2^p} + \\frac{\\epsilon^p}{2^p} = \\frac{\\epsilon^p}{2^{p-1}} < \\epsilon^p$$

故\\(d_p(x, y) < \\epsilon\\)，\\(E\\)稠密。\\(\\square\\)

**定理 2.4** \\(l^\\infty\\)**不是**可分空间。

**证明**：考虑子集

$$A = \\left\\{x = (x_n) : x_n \\in \\{0, 1\\}\\right\\}$$

\\(A\\)不可数（与\\(\\mathbb{R}\\)等势）。对\\(x, y \\in A\\)，\\(x \\neq y\\)，有\\(d_\\infty(x, y) = 1\\)。

假设\\(l^\\infty\\)可分，存在可数稠密子集\\(D = \\{d_1, d_2, \\ldots\\}\\)。对每个\\(x \\in A\\)，存在\\(d_{n(x)} \\in D\\)使得\\(d_\\infty(x, d_{n(x)}) < 1/3\\)。

若\\(x \\neq y\\)，则\\(d_{n(x)} \\neq d_{n(y)}\\)（否则\\(d_\\infty(x, y) \\leq d_\\infty(x, d_{n(x)}) + d_\\infty(d_{n(y)}, y) < 2/3\\)，矛盾）。

因此\\(n: A \\to \\mathbb{N}\\)是单射，\\(A\\)可数，矛盾。\\(\\square\\)

===== 2.3 列紧性 =====

==== 2.3.1 列紧集的定义 =====

**定义 2.4**（列紧集）设\\(A \\subseteq X\\)。如果\\(A\\)中任一点列都有收敛子列（极限点不一定在\\(A\\)中），则称\\(A\\)为**列紧集**（或**相对紧集**）。如果\\(A\\)中任一点列都有在\\(A\\)中收敛的子列，则称\\(A\\)为**自列紧集**。

**注记**：
  - 在度量空间中，"列紧"等价于"相对紧"（closure is compact）
  - "自列紧"意味着集合是闭的且列紧

**定理 2.5** 列紧集的任何子集也是列紧集。

**定理 2.6** 有限个列紧集的并集是列紧集。

**证明**：设\\(A_1, \\ldots, A_n\\)列紧，\\(A = \\bigcup_{i=1}^n A_i\\)。设\\(\\{x_k\\}\\)是\\(A\\)中的点列，则至少有一个\\(A_i\\)包含\\(\\{x_k\\}\\)的无穷多项。由\\(A_i\\)列紧，有收敛子列。\\(\\square\\)

==== 2.3.2 全有界性 =====

**定义 2.5**（\\(\\epsilon\\)-网）设\\(A \\subseteq X\\)，\\(\\epsilon > 0\\)。集合\\(E \\subseteq X\\)称为\\(A\\)的**\\(\\epsilon\\)-网**，如果对每个\\(x \\in A\\)，存在\\(y \\in E\\)使得\\(d(x, y) < \\epsilon\\)。

等价地，\\(A \\subseteq \\bigcup_{y \\in E} B(y, \\epsilon)\\)。

**定义 2.6**（全有界集）集合\\(A \\subseteq X\\)称为**全有界**的，如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，\\(A\\)存在有限的\\(\\epsilon\\)-网。

**定理 2.7** 列紧集必是全有界集。

**证明**：设\\(A\\)列紧但非全有界。则存在\\(\\epsilon_0 > 0\\)，使得\\(A\\)没有有限\\(\\epsilon_0\\)-网。

归纳构造点列：取\\(x_1 \\in A\\)。假设\\(x_1, \\ldots, x_n\\)已取定，由于\\(\\{x_1, \\ldots, x_n\\}\\)不是\\(\\epsilon_0\\)-网，存在\\(x_{n+1} \\in A\\)使得\\(d(x_{n+1}, x_i) \\geq \\epsilon_0\\)对所有\\(i = 1, \\ldots, n\\)成立。

这样得到点列\\(\\{x_n\\}\\)满足\\(d(x_m, x_n) \\geq \\epsilon_0\\)（\\(m \\neq n\\)），该点列无收敛子列，矛盾。\\(\\square\\)

**定理 2.8** 在完备度量空间中，全有界集是列紧集。

**证明**：设\\(X\\)完备，\\(A\\)全有界。设\\(\\{x_n\\}\\)是\\(A\\)中的点列。

**(1)** 取\\(\\epsilon = 1\\)，存在有限\\(1\\)-网\\(E_1\\)。某个\\(B(y, 1)\\)（\\(y \\in E_1\\)）包含\\(\\{x_n\\}\\)的无穷多项，记为\\(\\{x_n^{(1)}\\}\\)。

**(2)** 取\\(\\epsilon = 1/2\\)，\\(\\{x_n^{(1)}\\}\\)全有界，存在子列\\(\\{x_n^{(2)}\\}\\)落在某个半径为\\(1/2\\)的球中。

**(3)** 继续此过程，得子列\\(\\{x_n^{(k)}\\}\\)满足：
- \\(\\{x_n^{(k+1)}\\}\\)是\\(\\{x_n^{(k)}\\}\\)的子列
- \\(\\{x_n^{(k)} : n \\geq 1\\}\\)包含在某个半径为\\(1/k\\)的球中

**(4)** 取对角线子列\\(y_k = x_k^{(k)}\\)。当\\(m, n \\geq N\\)时，\\(y_m, y_n\\)都是\\(\\{x_k^{(N)}\\}\\)中的项，故：

$$d(y_m, y_n) < \\frac{2}{N}$$

\\(\\{y_k\\}\\)是Cauchy列，由完备性收敛。\\(\\square\\)

**推论 2.1** 在完备度量空间中，列紧\\(\\Leftrightarrow\\)全有界。

===== 2.4 紧性 =====

==== 2.4.1 紧集的定义 =====

**定义 2.7**（开覆盖与紧集）设\\(A \\subseteq X\\)。

**(1)** 一族开集\\(\\{G_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I}\\)称为\\(A\\)的**开覆盖**，如果\\(A \\subseteq \\bigcup_{\\alpha \\in I} G_\\alpha\\)。

**(2)** \\(A\\)称为**紧集**（或**自列紧集**），如果\\(A\\)的任一开覆盖都有有限子覆盖。

**(3)** \\(X\\)称为**紧空间**，如果\\(X\\)本身是紧集。

**定理 2.9**（Heine-Borel定理的特殊形式）在\\(\\mathbb{R}^n\\)中，子集\\(A\\)是紧集当且仅当\\(A\\)是有界闭集。

**证明**：

（\\(\\Rightarrow\\)）设\\(A\\)紧。\\(\\{B(0, n) : n = 1, 2, \\ldots\\}\\)是\\(A\\)的开覆盖，有有限子覆盖，故\\(A\\)有界。设\\(\\{x_n\\}\\)\\(\\subseteq A\\)，\\(x_n \\to x\\)。若\\(x \\notin A\\)，对每点\\(y \\in A\\)，存在\\(r_y > 0\\)使得\\(B(y, r_y)\\)仅含\\(\\{x_n\\}\\)的有限项。\\(\\{B(y, r_y)\\}\\)是\\(A\\)的开覆盖，有有限子覆盖，故\\(\\{x_n\\}\\)只有有限项，矛盾。故\\(A\\)闭。

（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(A\\)有界闭。在\\(\\mathbb{R}^n\\)中，有界\\(\\Rightarrow\\)全有界（可用边长为\\(\\epsilon/\\sqrt{n}\\)的方格覆盖）。由\\(\\mathbb{R}^n\\)完备和定理2.8，\\(A\\)列紧。由定理2.10，列紧\\(\\Leftrightarrow\\)紧。\\(\\square\\)

**定理 2.10** 在度量空间中，紧\\(\\Leftrightarrow\\)自列紧。

**证明**：

（\\(\\Rightarrow\\)）设\\(A\\)紧，\\(\\{x_n\\}\\)\\(\\subseteq A\\)。若\\(\\{x_n\\}\\)无收敛子列，则对每个\\(x \\in A\\)，存在\\(r_x > 0\\)使得\\(B(x, r_x)\\)仅含\\(\\{x_n\\}\\)的有限项。\\(\\{B(x, r_x)\\}_{x \\in A}\\)是\\(A\\)的开覆盖，有有限子覆盖\\(\\{B(x_i, r_{x_i})\\}_{i=1}^k\\)。则\\(\\{x_n\\}\\)\\(\\subseteq \\bigcup_{i=1}^k B(x_i, r_{x_i})\\)只有有限项，矛盾。

（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(A\\)自列紧。则\\(A\\)全有界，故可分。设\\(\\{G_\\alpha\\}\\)是\\(A\\)的开覆盖。假设无有限子覆盖。

由全有界性，对\\(n = 1, 2, \\ldots\\)，存在有限\\(1/n\\)-网。若每个\\(\\epsilon\\)-网中的点为中心的\\(\\epsilon\\)-球都能被有限个\\(G_\\alpha\\)覆盖，则\\(A\\)有有限子覆盖，矛盾。故存在\\(\\{A_n\\}\\)满足：
- \\(A_1 = A\\)
- \\(A_{n+1} \\subseteq A_n\\)
- \\(\\text{diam}(A_n) \\to 0\\)
- \\(A_n\\)不能被有限个\\(G_\\alpha\\)覆盖

取\\(x_n \\in A_n\\)，则\\(\\{x_n\\}\\)是Cauchy列（因\\(\\text{diam}(A_n) \\to 0\\)），收敛于\\(x \\in A\\)（因\\(A\\)闭）。存在\\(G_{\\alpha_0}\\)包含\\(x\\)，存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq G_{\\alpha_0}\\)。当\\(n\\)足够大时\\(A_n \\subseteq B(x, r)\\)，故\\(A_n\\)被单个\\(G_{\\alpha_0}\\)覆盖，矛盾。\\(\\square\\)

==== 2.4.2 Arzelà-Ascoli定理 =====

**定义 2.8**（等度连续）函数族\\(\\mathcal{F} \\subseteq C[a,b]\\)称为**等度连续**的，如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(\\delta > 0\\)，使得对所有\\(f \\in \\mathcal{F}\\)和所有\\(x, y \\in [a,b]\\)，当\\(|x - y| < \\delta\\)时，有\\(|f(x) - f(y)| < \\epsilon\\)。

**定理 2.11**（Arzelà-Ascoli定理）子集\\(\\mathcal{F} \\subseteq C[a,b]\\)（赋予上确界范数）是列紧的当且仅当：

**(1)** \\(\\mathcal{F}\\)**一致有界**：存在\\(M > 0\\)使得对所有\\(f \\in \\mathcal{F}\\)和\\(x \\in [a,b]\\)，\\(|f(x)| \\leq M\\)；

**(2)** \\(\\mathcal{F}\\)**等度连续**。

**证明**（概要）：

（\\(\\Rightarrow\\)）若\\(\\mathcal{F}\\)列紧，则全有界，故一致有界。等度连续性可通过反证法和列紧性证明。

（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(\\{f_n\\}\\)\\(\\subseteq \\mathcal{F}\\)。利用\\([a,b]\\)可分，取可数稠密子集\\(\\{x_k\\}\\)。通过对角线法，得子列\\(\\{f_{n_j}\\}\\)使得对每个\\(k\\)，\\(\\{f_{n_j}(x_k)\\}\\)收敛。

利用等度连续性，可证\\(\\{f_{n_j}\\}\\)是Cauchy列，故收敛。\\(\\square\\)

===== 2.5 紧空间上的连续映射 =====

**定理 2.12** 设\\(f: X \\to Y\\)是连续映射，\\(K \\subseteq X\\)是紧集，则\\(f(K)\\)是\\(Y\\)中的紧集。

**证明**：设\\(\\{G_\\alpha\\}\\)是\\(f(K)\\)的开覆盖。由\\(f\\)连续，\\(\\{f^{-1}(G_\\alpha)\\}\\)是\\(K\\)的开覆盖。由\\(K\\)紧，有有限子覆盖\\(\\{f^{-1}(G_{\\alpha_i})\\}_{i=1}^n\\)。则\\(\\{G_{\\alpha_i}\\}_{i=1}^n\\)覆盖\\(f(K)\\)。\\(\\square\\)

**推论 2.2** 紧集上的连续实值函数必能达到最大值和最小值。

**证明**：\\(f(K)\\)是\\(\\mathbb{R}\\)中的紧集，故有界闭，包含其上确界和下确界。\\(\\square\\)

**定理 2.13** 紧集上的连续映射是一致连续的。

**证明**：设\\(f: K \\to Y\\)连续，\\(K\\)紧。对\\(\\epsilon > 0\\)，对每个\\(x \\in K\\)，存在\\(\\delta_x > 0\\)使得当\\(d(x, x') < \\delta_x\\)时，\\(d(f(x), f(x')) < \\epsilon/2\\)。

\\(\\{B(x, \\delta_x/2)\\}_{x \\in K}\\)是\\(K\\)的开覆盖，有有限子覆盖\\(\\{B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\}_{i=1}^n\\)。取\\(\\delta = \\min_{1 \\leq i \\leq n} \\delta_{x_i}/2\\)。

当\\(d(x, y) < \\delta\\)时，存在\\(i\\)使得\\(x \\in B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\)。则：

$$d(y, x_i) \\leq d(y, x) + d(x, x_i) < \\delta + \\frac{\\delta_{x_i}}{2} \\leq \\delta_{x_i}$$

故\\(d(f(x), f(x_i)) < \\epsilon/2\\)，\\(d(f(y), f(x_i)) < \\epsilon/2\\)，因此：

$$d(f(x), f(y)) \\leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \\epsilon$$

\\(\\square\\)

===== 2.6 习题 =====

**习题 2.1** 证明：度量空间\\(X\\)可分当且仅当\\(X\\)有一个可数的拓扑基。

**习题 2.2** 证明：完备度量空间的列紧子集是闭集。

**习题 2.3** 设\\(A\\)是度量空间\\(X\\)的列紧子集，证明\\(\\bar{A}\\)是自列紧集。

**习题 2.4** 证明：在度量空间中，紧集必是有界闭集。

**习题 2.5** 设\\(K_1 \\supseteq K_2 \\supseteq \\cdots\\)是度量空间中的一列非空紧集。证明\\(\\bigcap_{n=1}^\\infty K_n \\neq \\emptyset\\)。

**习题 2.6** 证明\\(l^2\\)中的单位闭球\\(\\bar{B}(0, 1) = \\{x : \\|x\\|_2 \\leq 1\\}\\)不是紧集。

**习题 2.7** 设\\(\\mathcal{F} = \\{f_n(x) = \\sin(nx) : n = 1, 2, \\ldots\\}\\)\\(\\subseteq C[0, \\pi]\\)。证明\\(\\mathcal{F}\\)不是列紧集。

**习题 2.8** 证明：若度量空间\\(X\\)是全有界的，则\\(X\\)是可分的。

**习题 2.9** 设\\(X\\)是度量空间，\\(A \\subseteq X\\)。证明：\\(A\\)是紧集当且仅当\\(A\\)是自列紧集。

**习题 2.10** 设\\(f: X \\to \\mathbb{R}\\)是下半连续函数（即对任意\\(a\\)，\\(\\{x : f(x) > a\\}\\)是开集），\\(K\\)是\\(X\\)的非空紧子集。证明\\(f\\)在\\(K\\)上达到最小值。

===== 2.7 补充阅读 =====

  * Baire纲定理：完备度量空间是第二纲集
  * 紧性的历史：Fréchet (1906) 引入，Hausdorff发展
  * 在泛函分析中，弱紧性、弱*紧性比范数紧性更重要

====== 本章小结 ======

本章系统介绍了度量空间中的点集理论：

  - 稠密性描述了集合在空间中的"分布密度"
  - 可分性是重要的拓扑性质，保证了存在可数的逼近集
  - 列紧性将有限集的良好性质推广到无限集
  - 紧性是现代分析学的核心概念，保证了极值存在性和一致连续性
  - 完备性+全有界性\\(\\Leftrightarrow\\)列紧性（度量空间中）
  - 紧性\\(\\Leftrightarrow\\)自列紧性（度量空间中）