====== 第六章 有限维赋范空间 ======

===== 6.1 引言 =====

有限维赋范空间虽然维度有限，却具有丰富的结构。与无限维空间相比，有限维空间具有许多良好的性质：所有范数等价、单位球是紧的、线性算子必有界等。这些性质使得有限维空间成为理解无限维空间的起点和参照。

本章将深入研究有限维赋范空间的特性，包括范数等价性、Minkowski泛函等重要概念。

===== 6.2 有限维空间的性质 =====

==== 6.2.1 范数等价性再讨论 =====

**定理 6.1**（范数等价定理）设\\(X\\)是有限维线性空间，\\(\\|\\cdot\\|_\\alpha\\)和\\(\\|\\cdot\\|_\\beta\\)是\\(X\\)上的任意两个范数。则\\(\\|\\cdot\\|_\\alpha\\)与\\(\\|\\cdot\\|_\\beta\\)等价。

**证明**（详细版）：设\\(\\dim X = n\\)，\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是\\(X\\)的一组基。

对\\(x = \\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\)，定义：

$$\\|x\\|_0 = \\left(\\sum_{i=1}^n |\\xi_i|^2\\right)^{1/2}$$

这是\\(\\mathbb{K}^n\\)上标准欧几里得范数通过同构诱导的范数。

**第一步**：证明任意范数\\(\\|\\cdot\\|\\)与\\(\\|\\cdot\\|_0\\)等价。

上界：由三角不等式和Cauchy-Schwarz：

$$\\|x\\| = \\left\\|\\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\right\\| \\leq \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\|e_i\\| \\leq \\left(\\sum_{i=1}^n |\\xi_i|^2\\right)^{1/2}\\left(\\sum_{i=1}^n \\|e_i\\|^2\\right)^{1/2} = M \\|x\\|_0$$

其中\\(M = \\left(\\sum_{i=1}^n \\|e_i\\|^2\\right)^{1/2}\\)。

下界：考虑单位球面\\(S = \\{x : \\|x\\|_0 = 1\\}\\)。定义：

$$f: S \\to \\mathbb{R}, \\quad f(x) = \\|x\\|$$

\\(f\\)连续：\\(|f(x) - f(y)| = |\\|x\\| - \\|y\\|| \\leq \\|x - y\\| \\leq M\\|x - y\\|_0\\)

\\(S\\)是\\(\\mathbb{K}^n\\)中的紧集（闭且有界）。由连续函数在紧集上达到最小值，存在\\(x_0 \\in S\\)使得：

$$m = f(x_0) = \\inf_{x \\in S} \\|x\\|$$

由于\\(x_0 \\neq 0\\)且范数正定，\\(m = \\|x_0\\| > 0\\)。

对任意\\(x \\neq 0\\)，\\(x/\\|x\\|_0 \\in S\\)，故：

$$\\left\\|\\frac{x}{\\|x\\|_0}\\right\\| \\geq m \\Rightarrow \\|x\\| \\geq m \\|x\\|_0$$

综上：\\(m \\|x\\|_0 \\leq \\|x\\| \\leq M \\|x\\|_0\\)。

**第二步**：由等价关系的传递性，\\(\\|\\cdot\\|_\\alpha\\)与\\(\\|\\cdot\\|_\\beta\\)都等价于\\(\\|\\cdot\\|_0\\)，故彼此等价。\\(\\square\\)

==== 6.2.2 有限维空间的拓扑性质 =====

**定理 6.2** 有限维赋范空间\\(X\\)是Banach空间。

**证明**：\\(X\\)与\\(\\mathbb{K}^n\\)（某个\\(n\\)）代数同构。在\\(\\mathbb{K}^n\\)上取标准范数\\(\\|\\cdot\\|_2\\)，则\\((\\mathbb{K}^n, \\|\\cdot\\|_2)\\)完备。由范数等价，\\(X\\)完备。\\(\\square\\)

**定理 6.3** 有限维赋范空间中，子集\\(A\\)是紧集当且仅当\\(A\\)是有界闭集。

**证明**：

（\\(\\Rightarrow\\)）紧集必有界闭（一般度量空间）。

（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(A\\)有界闭。取一组基，\\(X\\)与\\(\\mathbb{K}^n\\)同构。\\(A\\)对应\\(\\mathbb{K}^n\\)中的有界闭集，由Heine-Borel定理是紧集。\\(\\square\\)

**推论 6.1** 有限维赋范空间的单位闭球是紧集。

**注记**：这是有限维空间与无限维空间的本质区别。在无限维赋范空间中，单位闭球**不是**紧集。

**定理 6.4** 赋范空间\\(X\\)是有限维的当且仅当其单位闭球\\(\\bar{B}_X = \\{x : \\|x\\| \\leq 1\\}\\)是紧集。

**证明**：

（\\(\\Rightarrow\\)）已证。

（\\(\\Leftarrow\\)）假设\\(\\bar{B}_X\\)紧但\\(\\dim X = \\infty\\)。归纳构造序列\\(\\{x_n\\}\\)使得\\(\\|x_n\\| = 1\\)且\\(d(x_n, \\text{span}\\{x_1, \\ldots, x_{n-1}\\}) \\geq 1/2\\)。

这样的序列满足\\(\\|x_m - x_n\\| \\geq 1/2\\)（\\(m \\neq n\\)），无收敛子列，与\\(\\bar{B}_X\\)紧矛盾。\\(\\square\\)

===== 6.3 Riesz引理 =====

**定理 6.5**（Riesz引理）设\\(Y\\)是赋范空间\\(X\\)的真闭子空间。则对任意\\(\\theta \\in (0, 1)\\)，存在\\(x_\\theta \\in X\\)使得：

$$\\|x_\\theta\\| = 1, \\quad \\inf_{y \\in Y} \\|x_\\theta - y\\| \\geq \\theta$$

**证明**：取\\(x \\in X \\setminus Y\\)，令\\(d = \\inf_{y \\in Y} \\|x - y\\|\\)。由于\\(Y\\)闭，\\(d > 0\\)。

对\\(\\theta \\in (0, 1)\\)，存在\\(y_0 \\in Y\\)使得：

$$\\|x - y_0\\| \\leq \\frac{d}{\\theta}$$

令\\(x_\\theta = \\frac{x - y_0}{\\|x - y_0\\|}\\)，则\\(\\|x_\\theta\\| = 1\\)。

对任意\\(y \\in Y\\)：

$$\\|x_\\theta - y\\| = \\left\\|\\frac{x - y_0}{\\|x - y_0\\|} - y\\right\\| = \\frac{\\|x - (y_0 + \\|x - y_0\\|y)\\|}{\\|x - y_0\\|}$$

由于\\(y_0 + \\|x - y_0\\|y \\in Y\\)：

$$\\|x_\\theta - y\\| \\geq \\frac{d}{\\|x - y_0\\|} \\geq \\frac{d}{d/\\theta} = \\theta$$

\\(\\square\\)

**注记**：当\\(\\dim X < \\infty\\)时，\\(\\theta\\)可取为1（达到正交）。在无限维空间中，\\(\\theta = 1\\)一般不可达到。

===== 6.4 Minkowski泛函 =====

==== 6.4.1 凸集与吸收集 =====

**定义 6.1**（凸集）设\\(X\\)是线性空间，子集\\(C \\subseteq X\\)称为**凸集**，如果对任意\\(x, y \\in C\\)和\\(t \\in [0, 1]\\)：

$$tx + (1-t)y \\in C$$

**定义 6.2**（吸收集）子集\\(A \\subseteq X\\)称为**吸收集**，如果对任意\\(x \\in X\\)，存在\\(t > 0\\)使得\\(tx \\in A\\)。

等价地，\\(X = \\bigcup_{t > 0} tA\\)。

**定义 6.3**（对称集）子集\\(A \\subseteq X\\)称为**对称**的（或**平衡**的），如果对任意\\(x \\in A\\)和\\(|\\alpha| = 1\\)，有\\(\\alpha x \\in A\\)。

==== 6.4.2 Minkowski泛函的定义 =====

**定义 6.4**（Minkowski泛函）设\\(A \\subseteq X\\)是凸的、吸收的、包含原点的子集。定义**Minkowski泛函**（或**规范函数**）：

$$p_A(x) = \\inf\\{t > 0 : x \\in tA\\} = \\inf\\{t > 0 : x/t \\in A\\}$$

**注记**：
- \\(p_A(x)\\)可理解为将\\(A\\)放大多少倍才能"包含"\\(x\\)
- 若\\(A\\)是单位球，则\\(p_A(x) = \\|x\\|\\)

**定理 6.6**（Minkowski泛函的基本性质）设\\(A\\)是凸的、吸收的、含原点的子集，则：

**(1)** \\(p_A(x) \\geq 0\\)（正定性）；

**(2)** \\(p_A(\\alpha x) = \\alpha p_A(x)\\)对\\(\\alpha \\geq 0\\)（正齐次性）；

**(3)** \\(p_A(x + y) \\leq p_A(x) + p_A(y)\\)（次可加性）；

**(4)** 若\\(A\\)对称，则\\(p_A(\\alpha x) = |\\alpha| p_A(x)\\)。

**证明**：

**(2)** 对\\(\\alpha > 0\\)：

$$p_A(\\alpha x) = \\inf\\{t > 0 : \\alpha x \\in tA\\} = \\inf\\{t > 0 : x \\in \\frac{t}{\\alpha}A\\}$$

$$= \\alpha \\inf\\{s > 0 : x \\in sA\\} = \\alpha p_A(x)$$

**(3)** 对\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(s, t > 0\\)使得：

$$x \\in sA, \\quad p_A(x) \\leq s < p_A(x) + \\epsilon/2$$

$$y \\in tA, \\quad p_A(y) \\leq t < p_A(y) + \\epsilon/2$$

由凸性：

$$\\frac{x + y}{s + t} = \\frac{s}{s+t}\\cdot\\frac{x}{s} + \\frac{t}{s+t}\\cdot\\frac{y}{t} \\in A$$

故\\(x + y \\in (s + t)A\\)，\\(p_A(x + y) \\leq s + t < p_A(x) + p_A(y) + \\epsilon\\)。由\\(\\epsilon\\)任意性得结论。\\(\\square\\)

==== 6.4.3 范数的刻画 =====

**定理 6.7** 设\\(p\\)是线性空间\\(X\\)上的泛函，满足：

**(1)** \\(p(x) \\geq 0\\)，且\\(p(x) = 0 \\Leftrightarrow x = 0\\)；

**(2)** \\(p(\\alpha x) = |\\alpha| p(x)\\)；

**(3)** \\(p(x + y) \\leq p(x) + p(y)\\)。

则\\(p\\)是\\(X\\)上的范数。

**定理 6.8** 设\\(A\\)是凸的、吸收的、对称的、有界的（不含整条直线）子集，且\\(\\bigcap_{t > 0} tA = \\{0\\}\\)。则\\(p_A\\)是范数，且：

$$\\{x : p_A(x) < 1\\} \\subseteq A \\subseteq \\{x : p_A(x) \\leq 1\\}$$

===== 6.5 有限维空间上的线性算子 =====

**定理 6.9** 设\\(X\\)是有限维赋范空间，\\(Y\\)是任意赋范空间。则每个线性算子\\(T: X \\to Y\\)都有界（连续）。

**证明**：设\\(\\dim X = n\\)，\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是基。对\\(x = \\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\)：

$$\\|Tx\\| = \\left\\|\\sum_{i=1}^n \\xi_i Te_i\\right\\| \\leq \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\|Te_i\\| \\leq M' \\sum_{i=1}^n |\\xi_i|$$

其中\\(M' = \\max_i \\|Te_i\\|\\)。由有限维空间范数等价，存在\\(M'' > 0\\)使得：

$$\\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\leq M'' \\|x\\|$$

故\\(\\|Tx\\| \\leq M' M'' \\|x\\| = M\\|x\\|\\)，\\(T\\)有界。\\(\\square\\)

**推论 6.2** 有限维赋范空间上线性泛函都连续。

===== 6.6 习题 =====

**习题 6.1** 证明：在有限维赋范空间中，所有线性子空间都是闭的。

**习题 6.2** 设\\(X\\)是赋范空间，\\(\\dim X = \\infty\\)。用Riesz引理证明\\(X\\)的单位球面\\(S_X\\)不是紧集。

**习题 6.3** 证明：若赋范空间\\(X\\)中每个有界序列都有收敛子列，则\\(X\\)是有限维的。

**习题 6.4** 设\\(A = \\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \\leq 1\\}\\)。求Minkowski泛函\\(p_A((x,y))\\)。

**习题 6.5** 设\\(C\\)是线性空间\\(X\\)中的凸集，\\(x_1, \\ldots, x_n \\in C\\)，\\(t_1, \\ldots, t_n \\geq 0\\)，\\(\\sum t_i = 1\\)。证明\\(\\sum_{i=1}^n t_i x_i \\in C\\)（凸组合封闭）。

**习题 6.6** 证明：赋范空间中开球\\(B(0, r)\\)是凸的吸收集。

**习题 6.7** 设\\(A = \\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : |x| + |y| \\leq 1\\}\\)。求\\(p_A((x,y))\\)并验证它是范数。

**习题 6.8** 设\\(X\\)是有限维赋范空间，\\(T: X \\to X\\)是线性双射。证明\\(T^{-1}\\)也是线性的且有界。

**习题 6.9** 证明：有限维赋范空间是自反的。

**习题 6.10** 设\\(X\\)是赋范空间，\\(Y\\)是有限维子空间。证明\\(Y\\)在\\(X\\)中是闭的。

===== 6.7 补充阅读 =====

  * Auerbach引理：有限维空间中存在"好的"基
  * John's椭圆定理：有限维空间中的最大体积椭球
  * Dvoretzky定理：高维空间中的欧几里得截面

====== 本章小结 ======

本章深入研究了有限维赋范空间：

  - 有限维空间上所有范数等价，这是其最重要的性质
  - 有限维Banach空间与\\(\\mathbb{K}^n\\)拓扑同构
  - 有界闭集=紧集，这是有限维的特征性质
  - Riesz引理揭示了无限维空间的"厚度"
  - Minkowski泛函从几何角度刻画范数
  - 有限维空间上的线性算子自动连续