====== 第十二章 内积空间上的算子 ======

===== 12.1 引言 =====

Hilbert空间上的线性算子具有丰富的结构。与一般的Banach空间不同，Hilbert空间上的伴随算子概念使得我们可以定义自伴算子、酉算子、正规算子等重要类型。这些算子在量子力学、谱理论和微分方程中有着核心应用。

本章将介绍这些特殊算子的定义、性质和相互关系。

===== 12.2 伴随算子 =====

==== 12.2.1 定义 =====

**定理 12.1**（Riesz表示定理回顾）设\\(H\\)是Hilbert空间，\\(f \\in H^*\\)（连续线性泛函）。则存在唯一的\\(y \\in H\\)使得：

$$f(x) = \\langle x, y \\rangle, \\quad \\forall x \\in H$$

且\\(\\|f\\| = \\|y\\|\\)。

==== 12.2.2 伴随算子的定义 =====

**定义 12.1**（伴随算子）设\\(H, K\\)是Hilbert空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(H, K)\\)。定义\\(T\\)的**伴随算子**\\(T^*: K \\to H\\)满足：

$$\\langle Tx, y \\rangle_K = \\langle x, T^*y \\rangle_H, \\quad \\forall x \\in H, y \\in K$$

**存在性与唯一性**：对固定\\(y \\in K\\)，\\(x \\mapsto \\langle Tx, y \\rangle\\)是\\(H\\)上的有界线性泛函。由Riesz表示定理，存在唯一\\(T^*y \\in H\\)使得上式成立。

**定理 12.2**（伴随算子的基本性质）

**(1)** \\(T^* \\in \\mathcal{B}(K, H)\\)且\\(\\|T^*\\| = \\|T\\|\\)；

**(2)** \\((\\alpha S + \\beta T)^* = \\bar{\\alpha} S^* + \\bar{\\beta} T^*\\)；

**(3)** \\((ST)^* = T^*S^*\\)；

**(4)** \\((T^*)^* = T\\)；

**(5)** 若\\(T\\)可逆，则\\((T^*)^{-1} = (T^{-1})^*\\)。

**证明**：

**(1)** \\(\\|T^*y\\|^2 = \\langle T^*y, T^*y \\rangle = \\langle TT^*y, y \\rangle \\leq \\|TT^*y\\|\\|y\\| \\leq \\|T\\|\\|T^*y\\|\\|y\\|\\)

故\\(\\|T^*y\\| \\leq \\|T\\|\\|y\\|\\)，\\(\\|T^*\\| \\leq \\|T\\|\\)。由\\((T^*)^* = T\\)，\\(\\|T\\| = \\|(T^*)^*\\| \\leq \\|T^*\\|\\)。\\(\\square\\)

**例 12.1**（矩阵的伴随）在\\(\\mathbb{C}^n\\)上，若\\(T\\)对应矩阵\\(A\\)，则\\(T^*\\)对应\\(A^* = \\bar{A}^T\\)（共轭转置）。

**例 12.2**（积分算子）设\\((Tf)(x) = \\int_a^b K(x,y)f(y)dy\\)，则：

$$(T^*g)(x) = \\int_a^b \\overline{K(y,x)}g(y)dy$$

===== 12.3 自伴算子 =====

**定义 12.2**（自伴算子）\\(T \\in \\mathcal{B}(H)\\)称为**自伴**（或**Hermite**）的，如果\\(T = T^*\\)，即：

$$\\langle Tx, y \\rangle = \\langle x, Ty \\rangle, \\quad \\forall x, y \\in H$$

**定理 12.3**（自伴算子的刻画）\\(T\\)自伴当且仅当\\(\\langle Tx, x \\rangle \\in \\mathbb{R}\\)对所有\\(x \\in H\\)。

**定理 12.4**（自伴算子的范数）设\\(T\\)自伴。则：

$$\\|T\\| = \\sup_{\\|x\\|=1}|\\langle Tx, x \\rangle|$$

**证明**：令\\(M = \\sup_{\\|x\\|=1}|\\langle Tx, x \\rangle|\\)。显然\\(M \\leq \\|T\\|\\)。

对\\(\\|x\\| = \\|y\\| = 1\\)：

$$\\langle T(x+y), x+y \\rangle - \\langle T(x-y), x-y \\rangle = 4\\text{Re}\\langle Tx, y \\rangle$$

由平行四边形公式：

$$|\\text{Re}\\langle Tx, y \\rangle| \\leq \\frac{M}{4}(\\|x+y\\|^2 + \\|x-y\\|^2) = \\frac{M}{2}(\\|x\\|^2 + \\|y\\|^2) = M$$

适当选取相位，\\(|\\langle Tx, y \\rangle| \\leq M\\)。取上确界得\\(\\|T\\| \\leq M\\)。\\(\\square\\)

**例 12.3** 在\\(L^2[0,1]\\)上，\\((Tf)(x) = xf(x)\\)是自伴算子。

===== 12.4 酉算子 =====

**定义 12.3**（酉算子）\\(U \\in \\mathcal{B}(H, K)\\)称为**酉算子**，如果：

**(1)** \\(U\\)是满射；

**(2)** \\(\\langle Ux, Uy \\rangle_K = \\langle x, y \\rangle_H\\)对所有\\(x, y \\in H\\)。

等价地，\\(U^*U = I_H\\)且\\(UU^* = I_K\\)。

**定理 12.5**（酉算子的性质）

**(1)** 酉算子是等距同构；

**(2)** \\(\\|U\\| = 1\\)（当\\(H \\neq \\{0\\}\\)）；

**(3)** \\(U^{-1} = U^*\\)；

**(4)** 酉算子的复合是酉算子。

**例 12.4**（Fourier变换）\\(L^2(\\mathbb{R}^n)\\)上的Fourier变换（适当规范化）是酉算子。

**例 12.5**（移位算子）\\(l^2(\\mathbb{Z})\\)上的双边移位算子是酉算子：

$$(Ux)_n = x_{n-1}$$

===== 12.5 正规算子 =====

**定义 12.4**（正规算子）\\(T \\in \\mathcal{B}(H)\\)称为**正规算子**，如果\\(T^*T = TT^*\\)。

**定理 12.6**（正规算子的刻画）以下条件等价：

**(1)** \\(T\\)正规；

**(2)** \\(\\|Tx\\| = \\|T^*x\\|\\)对所有\\(x\\)；

**(3)** \\(T = A + iB\\)，其中\\(A, B\\)自伴且\\(AB = BA\\)。

**证明**：\\(\\|Tx\\|^2 = \\langle Tx, Tx \\rangle = \\langle T^*Tx, x \\rangle\\)，\\(\\|T^*x\\|^2 = \\langle TT^*x, x \\rangle\\)。

\\(T^*T = TT^* \\Leftrightarrow \\langle T^*Tx, x \\rangle = \\langle TT^*x, x \\rangle\\)对所有\\(x\\)\\(\\Leftrightarrow\\)\\(\\|Tx\\| = \\|T^*x\\|\\)。\\(\\square\\)

**注记**：
- 自伴算子和酉算子都是正规算子
- 正规算子有完整的谱分解理论（见第十八章）

===== 12.6 投影算子再讨论 =====

**定理 12.7** \\(P \\in \\mathcal{B}(H)\\)是正交投影当且仅当\\(P\\)自伴且幂等（\\(P^2 = P\\)）。

**证明**：若\\(P\\)是正交投影，\\(R(P) = M\\)，\\(N(P) = M^\\perp\\)。则：

$$\\langle Px, y \\rangle = \\langle Px, Py + (I-P)y \\rangle = \\langle Px, Py \\rangle = \\langle Px + (I-P)x, Py \\rangle = \\langle x, Py \\rangle$$

故\\(P^* = P\\)。\\(\\square\\)

===== 12.7 习题 =====

**习题 12.1** 证明：\\(\\|T^*T\\| = \\|T\\|^2\\)对所有\\(T \\in \\mathcal{B}(H)\\)。

**习题 12.2** 设\\(T\\)自伴。证明\\(\\sigma(T) \\subseteq \\mathbb{R}\\)。

**习题 12.3** 证明：\\(U\\)酉当且仅当\\(U\\)是等距满射。

**习题 12.4** 设\\(\\{P_n\\}\\)是两两正交的正交投影（\\(P_nP_m = 0\\)，\\(n \\neq m\\)）。证明\\(\\sum_{n=1}^\\infty P_n\\)（强收敛）是正交投影。

**习题 12.5** 设\\(T\\)正规。证明\\(\\|T^2\\| = \\|T\\|^2\\)。

**习题 12.6** 证明：自伴算子\\(T\\)是正的（\\(\\langle Tx, x \\rangle \\geq 0\\)）当且仅当\\(\\sigma(T) \\subseteq [0, \\infty)\\)。

**习题 12.7** 设\\(U\\)是酉算子。证明\\(\\sigma(U) \\subseteq \\{z : |z| = 1\\}\\)。

**习题 12.8** 证明极分解：任意\\(T \\in \\mathcal{B}(H)\\)可写为\\(T = U|T|\\)，其中\\(|T| = (T^*T)^{1/2}\\)，\\(U\\)是部分等距。

**习题 12.9** 设\\(T\\)自伴紧算子。证明\\(T\\)有特征向量构成的规范正交基。

**习题 12.10** 证明：Hilbert空间\\(H\\)与\\(K\\)酉等价当且仅当\\(\\dim H = \\dim K\\)。

===== 12.8 补充阅读 =====

  * 无界自伴算子理论
  * von Neumann代数
  * 算子单调函数

====== 本章小结 ======

本章介绍了Hilbert空间上几类重要的算子：

  - 伴随算子：由内积结构自然导出
  - 自伴算子：\\(T = T^*\\)，对应"实数"的算子类比
  - 酉算子：保持内积的同构，对应"单位圆"的算子类比
  - 正规算子：\\(T^*T = TT^*\\)，具有谱分解定理
  - 正交投影是自伴幂等算子