====== 第十五章 共轭算子 ======

本章研究赋范线性空间上有界线性算子的共轭（伴随）算子理论，建立二次对偶空间中的自然联系，并深入讨论紧算子的谱性质。

===== 15.1 共轭算子的定义与基本性质 =====

**定义 15.1** 设 $X, Y$ 是赋范线性空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。定义 $T$ 的**共轭算子**（或**伴随算子**）$T^*: Y^* \to X^*$ 如下：
$$(T^* g)(x) = g(Tx), \quad \forall g \in Y^*, x \in X$$

即 $T^* g = g \circ T \in X^*$。

**定理 15.1** 对 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，有 $T^* \in \mathcal{B}(Y^*, X^*)$ 且 $\|T^*\| = \|T\|$。

**证明** 首先验证 $T^*$ 的线性：对 $g_1, g_2 \in Y^*$，$\alpha \in \mathbb{K}$，
$$(T^*(g_1 + g_2))(x) = (g_1 + g_2)(Tx) = g_1(Tx) + g_2(Tx) = (T^*g_1)(x) + (T^*g_2)(x)$$
类似验证齐次性。

有界性：$|(T^*g)(x)| = |g(Tx)| \leq \|g\| \cdot \|T\| \cdot \|x\|$，故 $\|T^*g\| \leq \|T\| \cdot \|g\|$，即 $\|T^*\| \leq \|T\|$。

反向不等式：对任意 $x \in X$，$\|x\| = 1$，由Hahn-Banach定理，存在 $g \in Y^*$，$\|g\| = 1$ 使得 $g(Tx) = \|Tx\|$。于是
$$\|Tx\| = g(Tx) = (T^*g)(x) \leq \|T^*g\| \cdot \|x\| \leq \|T^*\| \cdot \|g\| \cdot \|x\| = \|T^*\|$$
故 $\|T\| \leq \|T^*\|$。 ∎

**命题 15.2** 共轭算子具有以下代数性质：
(1) $(S + T)^* = S^* + T^*$
(2) $(\alpha T)^* = \alpha T^*$
(3) $(ST)^* = T^* S^*$（当复合有意义时）
(4) 若 $T$ 可逆，则 $(T^{-1})^* = (T^*)^{-1}$
(5) $I^* = I$

**定理 15.3** 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，则
(1) $(\text{Im}T)^\perp = \ker T^*$
(2) $\overline{\text{Im}T} = (\ker T^*)_\perp$
(3) $(\text{Im}T^*)^\perp = \ker T$
(4) $\overline{\text{Im}T^*} \subset (\ker T)^\perp$

其中 $M^\perp = \{f \in Y^*: f(y) = 0, \forall y \in M\}$，$N_\perp = \{y \in Y: f(y) = 0, \forall f \in N\}$。

**证明** (1) $g \in (\text{Im}T)^\perp \Leftrightarrow g(Tx) = 0, \forall x \in X \Leftrightarrow (T^*g)(x) = 0, \forall x \in X \Leftrightarrow T^*g = 0 \Leftrightarrow g \in \ker T^*$。

(3) $x \in (\text{Im}T^*)^\perp \Leftrightarrow (T^*g)(x) = 0, \forall g \in Y^* \Leftrightarrow g(Tx) = 0, \forall g \in Y^* \Leftrightarrow Tx = 0 \Leftrightarrow x \in \ker T$。

(2) 由双极定理，$\overline{\text{Im}T} = ((\text{Im}T)^\perp)_\perp = (\ker T^*)_\perp$。 ∎

**定理 15.4** 设 $X, Y$ 是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。则 $T$ 可逆（有有界逆）当且仅当 $T^*$ 可逆。

===== 15.2 二次共轭算子 =====

**定义 15.2** 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，$T^{**}: X^{**} \to Y^{**}$ 定义为 $T^{**} = (T^*)^*$，称为 $T$ 的**二次共轭算子**。

**定理 15.5** 设 $J_X: X \to X^{**}$，$J_Y: Y \to Y^{**}$ 是自然嵌入，则
$$T^{**} \circ J_X = J_Y \circ T$$
即下图交换：
$$\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{T} & Y \\
J_X \downarrow & & \downarrow J_Y \\
X^{**} & \xrightarrow{T^{**}} & Y^{**}
\end{array}$$

**证明** 对 $x \in X$，$h \in Y^*$：
$$(T^{**}(J_X x))(h) = (J_X x)(T^* h) = (T^* h)(x) = h(Tx) = (J_Y(Tx))(h)$$ ∎

**推论 15.6** 若将 $X$ 与 $J_X(X)$ 等同，$Y$ 与 $J_Y(Y)$ 等同，则 $T^{**}$ 是 $T$ 的延拓。

**定理 15.7** 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，则
(1) $T$ 单射 $\Leftrightarrow$ $T^*$ 有稠值域
(2) $T^*$ 单射 $\Leftrightarrow$ $T$ 有稠值域
(3) 若 $T$ 满射，则 $T^*$ 有有界逆
(4) 若 $T^*$ 满射，则 $T$ 有有界逆

===== 15.3 Hilbert空间上的伴随算子 =====

**定义 15.3** 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$。$T$ 的**Hilbert空间伴随算子** $T^\dagger: H \to H$ 定义为
$$(T^\dagger x, y) = (x, Ty), \quad \forall x, y \in H$$

由Riesz表示定理，$T^\dagger$ 存在唯一且 $T^\dagger \in \mathcal{B}(H)$，$\|T^\dagger\| = \|T\|$。

**注** Hilbert空间伴随与共轭算子的关系：通过Riesz同构 $\tau: H \to H^*$，$\tau(x)(y) = (y, x)$，有 $\tau \circ T^\dagger = T^* \circ \tau$。

**定理 15.8** Hilbert空间伴随算子满足：
(1) $(S + T)^\dagger = S^\dagger + T^\dagger$
(2) $(\alpha T)^\dagger = \bar{\alpha} T^\dagger$（注意共轭！）
(3) $(ST)^\dagger = T^\dagger S^\dagger$
(4) $(T^\dagger)^\dagger = T$
(5) $\|T^\dagger T\| = \|T\|^2$

**定义 15.4** 设 $T \in \mathcal{B}(H)$：
- $T$ 称为**自伴算子**（或**Hermite算子**），若 $T = T^\dagger$
- $T$ 称为**正规算子**，若 $TT^\dagger = T^\dagger T$
- $T$ 称为**酉算子**，若 $T^\dagger = T^{-1}$

**定理 15.9** 自伴算子的特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交。

**证明** 设 $Tx = \lambda x$，$x \neq 0$：
$$\lambda(x,x) = (Tx, x) = (x, Tx) = \bar{\lambda}(x,x)$$
故 $\lambda = \bar{\lambda} \in \mathbb{R}$。

设 $Tx = \lambda x$，$Ty = \mu y$，$\lambda \neq \mu$：
$$\lambda(x,y) = (Tx, y) = (x, Ty) = \mu(x,y)$$
故 $(\lambda - \mu)(x,y) = 0$，即 $(x,y) = 0$。 ∎

===== 15.4 紧算子 =====

**定义 15.5** 设 $X, Y$ 是Banach空间，$T: X \to Y$ 是线性算子。若 $T$ 将 $X$ 中任何有界集映为 $Y$ 中的相对紧集，则称 $T$ 为**紧算子**（或**全连续算子**）。全体紧算子记为 $\mathcal{K}(X, Y)$（或 $\mathcal{K}(X)$ 当 $X = Y$ 时）。

**等价条件** $T$ 紧 $\Leftrightarrow$ $T(B_X)$ 相对紧，其中 $B_X$ 是 $X$ 的单位闭球。

**命题 15.10** 紧算子是有界算子，即 $\mathcal{K}(X, Y) \subset \mathcal{B}(X, Y)$。

**证明** 相对紧集有界，故 $T(B_X)$ 有界，$\|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1}\|Tx\| < \infty$。 ∎

**定理 15.11** $\mathcal{K}(X, Y)$ 是 $\mathcal{B}(X, Y)$ 的闭子空间。

**证明** 设 $T_n \in \mathcal{K}(X, Y)$，$T_n \to T$。对任意 $\varepsilon > 0$，取 $n$ 使得 $\|T_n - T\| < \varepsilon/3$。

$T_n(B_X)$ 相对紧，故完全有界，存在有限 $\varepsilon/3$-网 $\{y_1, ..., y_m\}$。对任意 $Tx \in T(B_X)$，取 $y_i$ 使得 $\|T_n x - y_i\| < \varepsilon/3$，则
$$\|Tx - y_i\| \leq \|Tx - T_n x\| + \|T_n x - y_i\| < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = 2\varepsilon/3 < \varepsilon$$
（需修正：应用三角形不等式得 $\|Tx - y_i\| < \|T - T_n\| + \varepsilon/3 < 2\varepsilon/3$，实际上 $\|Tx - T_n x\| \leq \|T - T_n\| \cdot \|x\| < \varepsilon/3$）

故 $\{y_1, ..., y_m\}$ 是 $T(B_X)$ 的 $\varepsilon$-网，$T(B_X)$ 完全有界，从而相对紧。 ∎

**定理 15.12** 若 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$，$S \in \mathcal{B}(Y, Z)$，则 $ST \in \mathcal{K}(X, Z)$。若 $S \in \mathcal{B}(W, X)$，则 $TS \in \mathcal{K}(W, Y)$。

**证明** $T(B_X)$ 相对紧，$S$ 连续，故 $S(T(B_X))$ 相对紧。$S(B_W)$ 有界，$T$ 紧，故 $T(S(B_W))$ 相对紧。 ∎

**推论 15.13** $\mathcal{K}(X)$ 是 $\mathcal{B}(X)$ 的闭双边理想。

**定理 15.14** 有限秩算子（值域有限维的有界算子）是紧算子。

**证明** 设 $\dim \text{Im}T < \infty$，则 $T(B_X)$ 是有限维空间中的有界集，故相对紧。 ∎

**定理 15.15** 设 $Y$ 完备，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。若存在有限秩算子列 $T_n$ 使得 $\|T_n - T\| \to 0$，则 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$。

**注** 逆命题在 $Y$ 有Schauder基时成立。

**定理 15.16** 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$。则 $T$ 紧当且仅当存在有限秩算子列 $T_n$ 使得 $\|T_n - T\| \to 0$。

**定理 15.17** 设 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$，则 $T^* \in \mathcal{K}(Y^*, X^*)$。

**证明概要** 证 $T^*(B_{Y^*})$ 完全有界。利用 $T(B_X)$ 完全有界，构造有限 $\varepsilon$-网。 ∎

**定理 15.18 (Schauder)** $T \in \mathcal{K}(X, Y)$ 当且仅当 $T^* \in \mathcal{K}(Y^*, X^*)$。

===== 15.5 紧算子的谱理论初步 =====

**定理 15.19** 设 $X$ 是无限维Banach空间，$T \in \mathcal{K}(X)$，则
(1) $0 \in \sigma(T)$（谱）
(2) $\sigma(T) \setminus \{0\}$ 至多是可数集，且0是唯一可能的聚点
(3) 每个非零谱点都是特征值，对应有限维特征空间

**证明** (1) 若 $0 \notin \sigma(T)$，则 $T$ 可逆，$I = T \cdot T^{-1}$ 紧，从而 $B_X$ 紧，$X$ 有限维，矛盾。

**定理 15.20 (Riesz-Schauder)** 设 $T \in \mathcal{K}(X)$，$\lambda \neq 0$。则
(1) $\dim \ker(T - \lambda I) < \infty$
(2) $\text{Im}(T - \lambda I)$ 闭
(3) $\dim \ker(T - \lambda I) = \dim \ker(T^* - \lambda I) = \text{codim Im}(T - \lambda I)$

===== 15.6 积分算子 =====

**例 15.1** 设 $K \in C([a,b] \times [a,b])$，定义
$$(Tx)(s) = \int_a^b K(s,t)x(t)dt$$
则 $T \in \mathcal{K}(C[a,b])$。

**证明** 由Arzelà-Ascoli定理，证 $T(B)$ 等度连续且有界。

$K$ 在紧集上一致连续，故对 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $|K(s_1,t) - K(s_2,t)| < \varepsilon/(b-a)$ 当 $|s_1 - s_2| < \delta$。于是
$$|(Tx)(s_1) - (Tx)(s_2)| \leq \int_a^b |K(s_1,t) - K(s_2,t)||x(t)|dt < \varepsilon \|x\|_\infty$$
故 $T(B)$ 等度连续。显然有界，故相对紧。 ∎

**例 15.2** Hilbert-Schmidt算子。设 $H = L^2[a,b]$，$K \in L^2([a,b]^2)$，则
$$(Tx)(s) = \int_a^b K(s,t)x(t)dt$$
定义紧算子，且 $\|T\| \leq \|K\|_{L^2}$。

===== 15.7 例题与习题 =====

**例题 15.1** 设 $T: \ell^2 \to \ell^2$ 定义为 $T(x_1, x_2, ...) = (x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, ...)$。证明 $T$ 紧。

**证明** 令 $T_n(x_1, ...) = (x_1, \frac{x_2}{2}, ..., \frac{x_n}{n}, 0, 0, ...)$，则 $T_n$ 有限秩。

$$\|(T - T_n)x\|^2 = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{|x_k|^2}{k^2} \leq \frac{1}{(n+1)^2}\sum_{k=n+1}^\infty |x_k|^2 \leq \frac{\|x\|^2}{(n+1)^2}$$
故 $\|T - T_n\| \leq \frac{1}{n+1} \to 0$，$T$ 紧。 ∎

**例题 15.2** 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$ 紧，$\{e_n\}$ 是标准正交系。证明 $\|Te_n\| \to 0$。

**证明** $e_n \rightharpoonup 0$（因为 $(e_n, y) = y_n \to 0$ 对 $y \in \ell^2$）。紧算子将弱收敛序列映为强收敛序列，故 $Te_n \to T(0) = 0$。 ∎

**例题 15.3** 证明恒等算子 $I: \ell^2 \to \ell^2$ 不是紧算子。

**证明** 标准基 $\{e_n\}$ 是有界序列，但 $\|e_n - e_m\| = \sqrt{2}$（$n \neq m$），无收敛子列，故 $\{Ie_n\} = \{e_n\}$ 不相对紧。 ∎

**习题**

1. 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，证明 $\|T^*\| = \|T\| = \|T^{**}\|$。

2. 设 $T \in \mathcal{B}(H)$ 是自伴紧算子，证明存在单位向量 $x$ 使得 $|(Tx, x)| = \|T\|$。

3. 证明：$T \in \mathcal{K}(X, Y)$ 当且仅当对任意弱收敛序列 $x_n \rightharpoonup x$，有 $Tx_n \to Tx$。

4. 设 $T \in \mathcal{B}(\ell^2)$ 定义为 $T(x_n) = (x_{n+1})$（左移算子），求 $T^*$ 和 $T^\dagger$。

5. 设 $T \in \mathcal{K}(H)$，$S \in \mathcal{B}(H)$ 正规（$SS^\dagger = S^\dagger S$）。证明 $ST = TS$ 蕴含 $T = 0$ 或更弱的结论。

6. 设 $K \in L^2([0,1]^2)$，$K(s,t) = \overline{K(t,s)}$（Hermite核）。证明对应的积分算子 $T$ 是自伴紧算子。

7. 证明：Banach空间 $X$ 自反当且仅当对任意 $T \in \mathcal{K}(X)$，$T^*$ 紧。

8. 设 $T \in \mathcal{B}(H)$ 是正规算子，证明 $\|T^2\| = \|T\|^2$ 且 $r(T) = \|T\|$（谱半径等于范数）。

===== 本章小结 =====

本章核心内容：
- 共轭算子：$T^*: Y^* \to X^*$，$\|T^*\| = \|T\|$
- 二次共轭：$T^{**}$ 延拓 $T$
- Hilbert空间伴随：$(T^\dagger x, y) = (x, Ty)$
- 紧算子：将有界集映为相对紧集，构成闭理想
- 有限秩算子逼近紧算子（Hilbert空间）
- 紧算子谱：非零谱点至多可数，都是特征值

===== 参考文献 =====

1. Rudin W. Functional Analysis. McGraw-Hill.
2. Conway J.B. A Course in Functional Analysis. Springer.
3. 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大学出版社.