====== 第十八章自伴算子的谱分解 ====== ===== 18.1 谱测度与谱积分 ===== **定义 18.1（谱测度）** 设 $H$ 是Hilbert空间，$\mathcal{B}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的Borel $\sigma$-代数，投影算子值函数 $E: \mathcal{B} \to \mathcal{P}(H)$ 若满足： 1. $E(\mathbb{R}) = I$，$E(\emptyset) = 0$ 2. $E(\omega_1 \cap \omega_2) = E(\omega_1)E(\omega_2)$ 3. 对互不相交的 $\{\omega_n\}$，$E(\bigcup \omega_n) = \sum E(\omega_n)$（强收敛）则称 $E$ 为**谱测度**。 **谱积分：** 对有界可测函数 $f$，定义 $$\int f(\lambda)dE(\lambda)$$ ===== 18.2 自伴算子的谱分解定理 ===== **定理 18.1（谱分解定理）** 设 $H$ 是Hilbert空间，$T$ 是自伴算子，则存在唯一的谱测度 $E$ 使得 $$T = \int_{\sigma(T)} \lambda dE(\lambda)$$ **推论：** 对任意连续函数 $f$， $$f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)dE(\lambda)$$ **应用：** - 定义算子函数 - 研究算子演算 - 求解算子方程