====== 第四章 度量空间上的映射 ======

===== 4.1 引言 =====

本章研究度量空间之间的映射，特别是保持某种结构或性质的映射。连续映射是最基本的类型，它是拓扑学的核心概念。等距映射保持距离结构，是度量空间之间的"同构"。利普希茨映射是一类重要的映射，它不仅连续，而且具有更强的正则性。

理解这些映射的性质对于研究泛函分析中的算子理论至关重要。

===== 4.2 连续映射 =====

==== 4.2.1 连续性的定义 =====

**定义 4.1**（连续性）设\\((X, d_X)\\)和\\((Y, d_Y)\\)是度量空间，映射\\(f: X \\to Y\\)，\\(x_0 \\in X\\)。

**(1)** \\(f\\)在\\(x_0\\)处**连续**，如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(\\delta > 0\\)，使得当\\(d_X(x, x_0) < \\delta\\)时：

$$d_Y(f(x), f(x_0)) < \\epsilon$$

**(2)** \\(f\\)在\\(X\\)上**连续**，如果\\(f\\)在\\(X\\)的每一点都连续。

**(3)** \\(f\\)**一致连续**，如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(\\delta > 0\\)，使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)，当\\(d_X(x_1, x_2) < \\delta\\)时：

$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \\epsilon$$

**注记**：一致连续性中\\(\\delta\\)仅依赖于\\(\\epsilon\\)，与点的位置无关；而普通连续性中\\(\\delta\\)可能依赖于\\(\\epsilon\\)和点\\(x_0\\)。

**例 4.1** \\(f(x) = x^2\\)在\\(\\mathbb{R}\\)上连续但非一致连续。

证明：连续性显然。对\\(\\epsilon = 1\\)，假设存在\\(\\delta > 0\\)。取\\(x = n\\)，\\(y = n + \\delta/2\\)，则\\(|x - y| = \\delta/2 < \\delta\\)，但：

$$|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2| = |y+x||y-x| = (2n + \\delta/2)(\\delta/2) > n\\delta$$

当\\(n\\)足够大时，\\(n\\delta > 1\\)。

**例 4.2** \\(f(x) = \\sqrt{x}\\)在\\([0, \\infty)\\)上一致连续。

证明：\\(|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| = \\frac{|x-y|}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}}\\)。当\\(|x-y| < \\delta\\)时：
- 若\\(x, y \\geq 1\\)，则\\(|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| \\leq |x-y|/2 < \\delta/2\\)
- 若\\(x, y \\in [0, 2]\\)，由Cantor定理，一致连续
- 综合得一致连续性

==== 4.2.2 连续性的等价刻画 =====

**定理 4.1**（连续性的等价条件）设\\(f: X \\to Y\\)，以下条件等价：

**(1)** \\(f\\)在\\(x_0\\)处连续；

**(2)** 对\\(f(x_0)\\)的任意邻域\\(V\\)，存在\\(x_0\\)的邻域\\(U\\)使得\\(f(U) \\subseteq V\\)；

**(3)** 对任意\\(\\epsilon > 0\\)，\\(f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\\)是\\(x_0\\)的邻域；

**(4)** 若\\(x_n \\to x_0\\)，则\\(f(x_n) \\to f(x_0)\\)。

**定理 4.2**（整体连续性的等价条件）设\\(f: X \\to Y\\)，以下条件等价：

**(1)** \\(f\\)在\\(X\\)上连续；

**(2)** 对\\(Y\\)的任意开集\\(G\\)，\\(f^{-1}(G)\\)是\\(X\\)的开集；

**(3)** 对\\(Y\\)的任意闭集\\(F\\)，\\(f^{-1}(F)\\)是\\(X\\)的闭集；

**(4)** 对任意\\(A \\subseteq X\\)，\\(f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}\\)。

**证明**（\\((1) \\Leftrightarrow (2)\\)）：

\\((1) \\Rightarrow (2)\\)：设\\(G\\)是\\(Y\\)的开集，\\(x_0 \\in f^{-1}(G)\\)。则\\(f(x_0) \\in G\\)，存在\\(\\epsilon > 0\\)使得\\(B(f(x_0), \\epsilon) \\subseteq G\\)。由连续性，存在\\(\\delta > 0\\)使得\\(f(B(x_0, \\delta)) \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon) \\subseteq G\\)，故\\(B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(G)\\)，\\(f^{-1}(G)\\)开。

\\((2) \\Rightarrow (1)\\)：对\\(x_0 \\in X\\)和\\(\\epsilon > 0\\)，\\(B(f(x_0), \\epsilon)\\)是开集，故\\(f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\\)是开集且含\\(x_0\\)。存在\\(\\delta > 0\\)使得\\(B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\\)，即\\(f(B(x_0, \\delta)) \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon)\\)。\\(\\square\\)

==== 4.2.3 连续映射的性质 =====

**定理 4.3** 连续映射的复合是连续的。即若\\(f: X \\to Y\\)和\\(g: Y \\to Z\\)都连续，则\\(g \\circ f: X \\to Z\\)连续。

**定理 4.4**（Cantor定理）紧度量空间上的连续映射是一致连续的。

**证明**：设\\(f: K \\to Y\\)连续，\\(K\\)紧。对\\(\\epsilon > 0\\)，对每个\\(x \\in K\\)，存在\\(\\delta_x > 0\\)使得\\(f(B(x, \\delta_x)) \\subseteq B(f(x), \\epsilon/2)\\)。

\\(\\{B(x, \\delta_x/2)\\}_{x \\in K}\\)是\\(K\\)的开覆盖，有有限子覆盖\\(\\{B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\}_{i=1}^n\\)。取\\(\\delta = \\min_{1 \\leq i \\leq n} \\delta_{x_i}/2\\)。

当\\(d(x, y) < \\delta\\)时，存在\\(i\\)使得\\(x \\in B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\)。则：

$$d(y, x_i) \\leq d(y, x) + d(x, x_i) < \\delta + \\frac{\\delta_{x_i}}{2} \\leq \\delta_{x_i}$$

故\\(x, y \\in B(x_i, \\delta_{x_i})\\)，\\(f(x), f(y) \\in B(f(x_i), \\epsilon/2)\\)。因此：

$$d(f(x), f(y)) \\leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \\epsilon$$

\\(\\square\\)

**定理 4.5** 紧集上的连续实值函数必达到最大值和最小值。

**证明**：\\(f(K)\\)是\\(\\mathbb{R}\\)中的紧集，故有界闭。\\(\\sup f(K) \\in f(K)\\)，\\(\\inf f(K) \\in f(K)\\)。\\(\\square\\)

===== 4.3 同胚映射 =====

**定义 4.2**（同胚）设\\(f: X \\to Y\\)是双射。如果\\(f\\)和\\(f^{-1}\\)都连续，则称\\(f\\)为**同胚映射**，\\(X\\)和\\(Y\\)**同胚**。

**注记**：同胚是拓扑学的基本等价关系。同胚的空间具有相同的拓扑性质（开集、闭集、收敛性、紧性等）。

**例 4.3** \\((-1, 1)\\)与\\(\\mathbb{R}\\)同胚。同胚映射为\\(f(x) = \\tan(\\frac{\\pi}{2}x)\\)或\\(f(x) = \\frac{x}{1-|x|}\\)。

**例 4.4** 闭区间\\([a,b]\\)与\\([c,d]\\)同胚（线性映射）。但\\([0,1]\\)与\\((0,1)\\)不同胚（前者紧后者不紧）。

**定理 4.6**（同胚不变量）以下性质在同胚下保持不变：
- 连通性
- 紧性
- 可分性
- 维数（适当定义下）

===== 4.4 等距映射 =====

==== 4.4.1 等距映射的定义 =====

**定义 4.3**（等距映射）设\\((X, d_X)\\)和\\((Y, d_Y)\\)是度量空间，映射\\(T: X \\to Y\\)称为**等距映射**（或**保距映射**），如果对任意\\(x_1, x_2 \\in X\\)：

$$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$$

若\\(T\\)还是双射，则称\\(X\\)与\\(Y\\)**等距同构**。

**注记**：
- 等距映射必是单射
- 等距映射必是连续映射（实际上是同胚嵌入）
- 等距同构的度量空间具有完全相同的度量结构

**例 4.5** \\(\\mathbb{R}^n\\)上的平移\\(T(x) = x + a\\)是等距映射。

**例 4.6** \\(\\mathbb{R}^n\\)上的正交变换是等距映射。

**例 4.7** 设\\(X = l^2\\)，\\(e_n = (0, \\ldots, 0, 1, 0, \\ldots)\\)（第\\(n\\)位为1）。映射\\(T: l^2 \\to l^2\\)，\\(T(x_1, x_2, \\ldots) = (0, x_1, x_2, \\ldots)\\)（右移算子）是等距映射但不是满射。

==== 4.4.2 等距映射的性质 =====

**定理 4.7** 等距映射\\(T: X \\to Y\\)将：

**(1)** 开球映为开球：\\(T(B(x, r)) = B(Tx, r)\\)；

**(2)** 闭球映为闭球：\\(T(\\bar{B}(x, r)) = \\bar{B}(Tx, r)\\)；

**(3)** Cauchy列映为Cauchy列；

**(4)** 收敛列映为收敛列。

**证明**：直接由定义验证。\\(\\square\\)

**定理 4.8** 设\\(X\\)完备，\\(Y\\)是度量空间，\\(T: X \\to Y\\)是等距映射。则\\(T(X)\\)是\\(Y\\)的完备子空间。

**证明**：设\\(\\{y_n\\}\\)\\(\\subseteq T(X)\\)是Cauchy列，\\(y_n = Tx_n\\)。由\\(T\\)等距，\\(\\{x_n\\}\\)是\\(X\\)中的Cauchy列。由\\(X\\)完备，\\(x_n \\to x\\)。由\\(T\\)连续，\\(y_n = Tx_n \\to Tx \\in T(X)\\)。\\(\\square\\)

===== 4.5 利普希茨映射 =====

==== 4.5.1 利普希茨映射的定义 =====

**定义 4.4**（利普希茨映射）设\\((X, d_X)\\)和\\((Y, d_Y)\\)是度量空间，映射\\(f: X \\to Y\\)称为**利普希茨映射**，如果存在常数\\(L > 0\\)，使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)：

$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2)$$

最小的这样的\\(L\\)称为**利普希茨常数**，记作\\(\\text{Lip}(f)\\)。

**定义 4.5**（压缩映射回顾）若\\(\\text{Lip}(f) < 1\\)，则\\(f\\)称为**压缩映射**。

**注记**：
- 利普希茨映射必是一致连续的（取\\(\\delta = \\epsilon/L\\)）
- 压缩映射是利普希茨映射的特殊情形
- 利普希茨常数\\(\\text{Lip}(f)\\)可定义为：

$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x_1 \\neq x_2} \\frac{d_Y(f(x_1), f(x_2))}{d_X(x_1, x_2)}$$

**例 4.8** 可微函数\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)满足\\(|f'(x)| \\leq L\\)对所有\\(x\\)，则\\(f\\)是利普希茨映射，且\\(\\text{Lip}(f) \\leq L\\)。

证明：由中值定理，\\(|f(x) - f(y)| = |f'(\\xi)| |x - y| \\leq L|x - y|\\)。

**例 4.9** 投影映射\\(\\pi_i: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\\)，\\(\\pi_i(x_1, \\ldots, x_n) = x_i\\)是利普希茨映射：

$$|\\pi_i(x) - \\pi_i(y)| = |x_i - y_i| \\leq \\left(\\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\\right)^{1/2} = d_2(x, y)$$

==== 4.5.2 利普希茨映射的性质 =====

**定理 4.9** 

**(1)** 利普希茨映射的复合是利普希茨映射：

$$\\text{Lip}(g \\circ f) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f)$$

**(2)** 利普希茨映射的和是利普希茨映射（在适当条件下）。

**证明**：

**(1)** \\(d(g(f(x)), g(f(y))) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot d(f(x), f(y)) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f) \\cdot d(x, y)\\)

\\(\\square\\)

**定理 4.10** 设\\(K \\subseteq \\mathbb{R}^n\\)是凸集，\\(f: K \\to \\mathbb{R}^m\\)可微。则：

$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x \\in K} \\|f'(x)\\|$$

其中\\(f'(x)\\)是Jacobi矩阵，\\(\\|\\cdot\\|\\)是算子范数。

==== 4.5.3 应用：微分方程 =====

**Picard-Lindelöf定理**：考虑初值问题：

$$\\frac{dy}{dx} = f(x, y), \\quad y(x_0) = y_0$$

若\\(f\\)在矩形区域\\(R = \\{(x,y) : |x-x_0| \\leq a, |y-y_0| \\leq b\\}\\)上连续，且关于\\(y\\)满足利普希茨条件：

$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \\leq L|y_1 - y_2|$$

则初值问题在\\(|x - x_0| \\leq h\\)（\\(h = \\min\\{a, b/M\\}\\)，\\(M = \\max_R |f|\\)）上存在唯一解。

**证明概要**：等价于积分方程：

$$y(x) = y_0 + \\int_{x_0}^x f(t, y(t))dt$$

定义\\((Ty)(x) = y_0 + \\int_{x_0}^x f(t, y(t))dt\\)。证明\\(T\\)是适当空间上的压缩映射，应用不动点定理。\\(\\square\\)

===== 4.6 一致同胚与拟等距 =====

**定义 4.6**（一致同胚）映射\\(f: X \\to Y\\)称为**一致同胚**，如果\\(f\\)是双射且\\(f\\)和\\(f^{-1}\\)都一致连续。

**定义 4.7**（拟等距）映射\\(f: X \\to Y\\)称为**拟等距**（或**粗等距**），如果存在常数\\(L \\geq 1\\)和\\(C \\geq 0\\)，使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)：

$$\\frac{1}{L}d_X(x_1, x_2) - C \\leq d_Y(f(x_1), f(x_2)) \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2) + C$$

且\\(f(X)\\)在\\(Y\\)中是**C-稠密**的（即每个\\(y \\in Y\\)与\\(f(X)\\)的距离不超过\\(C\\)）。

**注记**：拟等距在大规模几何（geometric group theory）中很重要，它保持了空间的"大尺度"结构。

===== 4.7 习题 =====

**习题 4.1** 证明\\(f(x) = \\frac{1}{x}\\)在\\((0, 1]\\)上连续但非一致连续，在\\([a, \\infty)\\)（\\(a > 0\\)）上一致连续。

**习题 4.2** 设\\(f: X \\to Y\\)连续，\\(K \\subseteq X\\)紧。证明\\(f|_K\\)（\\(f\\)在\\(K\\)上的限制）一致连续。

**习题 4.3** 证明度量空间\\(X\\)和\\(Y\\)等距同构当且仅当存在满射\\(T: X \\to Y\\)使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)，\\(d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)\\)。

**习题 4.4** 设\\(f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^n\\)满足\\(\\|f(x) - f(y)\\| = \\|x - y\\|\\)对所有\\(x, y\\)且\\(f(0) = 0\\)。证明\\(f\\)是线性正交变换。

**习题 4.5** 设\\(f: X \\to Y\\)是利普希茨映射，\\(A \\subseteq X\\)。证明：

$$\\text{diam}(f(A)) \\leq \\text{Lip}(f) \\cdot \\text{diam}(A)$$

**习题 4.6** 设\\(f_n: X \\to Y\\)是一列连续映射，\\(f_n \\rightrightarrows f\\)（一致收敛）。证明\\(f\\)连续。

**习题 4.7** 证明\\(C[0,1]\\)（上确界范数）与\\(C[a,b]\\)等距同构。

**习题 4.8** 设\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)可微且\\(|f'(x)| \\leq L\\)。证明\\(f\\)是利普希茨映射且\\(\\text{Lip}(f) \\leq L\\)。

**习题 4.9** 构造一个连续但不是利普希茨的映射的例子。

**习题 4.10** 证明：紧度量空间上的双射连续映射是同胚映射。

===== 4.8 补充阅读 =====

  * Hölder连续映射：满足\\(d(f(x), f(y)) \\leq L \\cdot d(x, y)^\\alpha\\)（\\(0 < \\alpha \\leq 1\\)）
  * 模 of continuity：量化连续性的精细工具
  * 度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离

====== 本章小结 ======

本章系统研究了度量空间之间的各类映射：

  - 连续映射是拓扑学的核心，有多种等价刻画
  - 紧集上的连续映射具有一致连续性等重要性质
  - 等距映射保持度量结构，是度量空间之间的"同构"
  - 利普希茨映射具有更强的正则性，在微分方程中有重要应用
  - 压缩映射原理依赖于利普希茨条件