====== 第七章 点的合成运动 ======

===== 7.1 引言 =====

在运动学中，对同一物体的运动可以从不同的参考系进行描述。例如，下雨时地面观察者看到雨点垂直下落，而行驶汽车中的观察者看到雨点斜向后方运动。这说明运动具有相对性——同一物体的运动在不同参考系中的描述是不同的。

本章研究点相对于不同参考系运动之间的关系，建立**绝对运动**、**相对运动**和**牵连运动**的概念，推导它们之间的速度关系和加速度关系。这是运动学中的重要理论，也是分析复杂机构运动的基础。

===== 7.2 基本概念 =====

==== 7.2.1 三种运动 ====

研究动点 $M$ 的运动，取两个参考系：

**定参考系（定系）**：固连于地球的参考系，记为 $Oxyz$。

**动参考系（动系）**：固连于运动物体上的参考系，记为 $O'x'y'z'$。

**三种运动**：

  * **绝对运动**：动点相对于定系的运动
  * **相对运动**：动点相对于动系的运动
  * **牵连运动**：动系相对于定系的运动（刚体运动）

==== 7.2.2 三种速度和加速度 ====

  * **绝对速度** $\vec{v}_a$：动点相对于定系的速度
  * **相对速度** $\vec{v}_r$：动点相对于动系的速度
  * **牵连速度** $\vec{v}_e$：某瞬时动系上与动点重合的点（**牵连点**）相对于定系的速度

类似定义**绝对加速度** $\vec{a}_a$、**相对加速度** $\vec{a}_r$、**牵连加速度** $\vec{a}_e$。

===== 7.3 速度合成定理 =====

==== 7.3.1 定理内容 ====

**定理**：动点在某瞬时的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和：

$$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$

==== 7.3.2 证明 ====

设动点 $M$ 在定系中的位置矢量为 $\vec{r}$，在动系中的位置矢量为 $\vec{r}'$，动系原点 $O'$ 在定系中的位置矢量为 $\vec{r}_{O'}$。

则：
$$\vec{r} = \vec{r}_{O'} + \vec{r}'$$

对时间求导：
$$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}_{O'}}{dt} + \frac{d\vec{r}'}{dt}$$

左边：$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}_a$（绝对速度）

右边第一项：$\frac{d\vec{r}_{O'}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r}'$ 的合成为牵连速度 $\vec{v}_e$

右边第二项在动系中求导为相对速度 $\vec{v}_r$

因此：
$$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r}$$

==== 7.3.3 应用说明 ====

  * 该定理适用于任意形式的牵连运动（平移、转动或其他复杂运动）
  * 三个速度矢量构成速度平行四边形
  * 可求解两个未知量（大小或方向）

===== 7.4 加速度合成定理 =====

==== 7.4.1 牵连运动为平移时 ====

当牵连运动为平移时，动系的角速度 $\vec{\omega}_e = 0$。

**定理**：
$$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$$

绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。

==== 7.4.2 牵连运动为转动时 ====

当牵连运动为转动时，加速度合成定理需引入**科氏加速度**（Coriolis Acceleration）。

**定理**：
$$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r + \vec{a}_C$$

其中**科氏加速度**：
$$\vec{a}_C = 2\vec{\omega}_e \times \vec{v}_r$$

==== 7.4.3 科氏加速度的物理意义 ====

科氏加速度是由于：
  * 牵连运动（转动）改变了相对速度的方向
  * 相对运动改变了牵连速度的大小

两种相互影响产生的附加加速度。

==== 7.4.4 科氏加速度的大小和方向 ====

**大小**：
$$a_C = 2\omega_e v_r \sin\theta$$

其中 $\theta$ 为 $\vec{\omega}_e$ 与 $\vec{v}_r$ 的夹角。

**特殊情况**：
  * 当 $\vec{v}_r \parallel \vec{\omega}_e$ 时，$a_C = 0$
  * 当 $\vec{v}_r \perp \vec{\omega}_e$ 时，$a_C = 2\omega_e v_r$

**方向**：按右手法则，垂直于 $\vec{\omega}_e$ 和 $\vec{v}_r$ 所确定的平面。

===== 7.5 动点和动系的选取原则 =====

==== 7.5.1 选取原则 ====

正确选取动点和动系是应用合成运动理论的关键。

**原则1**：动点和动系应分别选取在两个不同的运动物体上。

**原则2**：相对运动轨迹应简单明了（直线或圆周）。

**原则3**：牵连运动应易于分析。

==== 7.5.2 常见机构的选取方法 ====

**凸轮机构**：
  * 动点：从动件上与凸轮接触的点
  * 动系：固连于凸轮

**套筒滑杆机构**：
  * 动点：套筒中心（或销钉）
  * 动系：固连于滑杆

**摇杆滑块机构**：
  * 动点：滑块中心
  * 动系：固连于摇杆

===== 7.6 典型例题 =====

==== 例题7.1 凸轮顶杆机构 ====

偏心轮半径 $R$，偏心距 $e$，以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 轴转动，推动顶杆 $AB$ 沿铅垂导轨滑动。求当 $OC$ 与水平线成 $\varphi$ 角时，顶杆的速度和加速度。

**解答**：

**选取**：
  * 动点：轮心 $C$
  * 动系：固连于顶杆 $AB$

**分析运动**：
  * 绝对运动：以 $O$ 为圆心、$e$ 为半径的圆周运动
  * 相对运动：沿顶杆底面的水平直线运动
  * 牵连运动：顶杆的铅垂直线平移

**速度分析**：

绝对速度：$v_a = e\omega$，方向垂直于 $OC$（与 $OC$ 成 $90°$）

由速度合成定理：$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$

向铅垂方向投影：
$$v_e = v_a \cos\varphi = e\omega\cos\varphi$$

这就是顶杆的速度（向上）。

**加速度分析**：

由于牵连运动为平移，科氏加速度为零。

绝对加速度：$a_a = e\omega^2$，方向由 $C$ 指向 $O$

由加速度合成定理：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$

向铅垂方向投影：
$$a_e = a_a \sin\varphi = e\omega^2\sin\varphi$$

这就是顶杆的加速度。

==== 例题7.2 摇杆滑块机构 ====

水平杆 $AB$ 以匀速 $v$ 向右运动，通过套在摇杆 $OC$ 上的套筒 $C$ 带动摇杆绕 $O$ 转动。已知 $OC = L$，图示瞬时 $OC$ 水平，套筒 $C$ 到 $O$ 的距离为 $a$。求此瞬时摇杆的角速度和角加速度。

**解答**：

**选取**：
  * 动点：套筒 $C$（或 $AB$ 上的点 $C$）
  * 动系：固连于摇杆 $OC$

**速度分析**：

绝对速度：$v_a = v$（水平向右）

牵连速度：$v_e = a\omega$（垂直于 $OC$，即铅垂方向）

相对速度：$v_r$（沿 $OC$ 方向）

由 $v_a = v_e + v_r$，向水平和铅垂方向投影：
$$v = v_r$$
$$0 = v_e = a\omega$$

得：$\omega = 0$

**加速度分析**：

牵连运动为转动，需考虑科氏加速度。

绝对加速度：$a_a = 0$（匀速运动）

牵连加速度（法向）：$a_e^n = a\omega^2 = 0$（因为 $\omega = 0$）
牵连加速度（切向）：$a_e^\tau = a\alpha$（垂直于 $OC$）

相对加速度：$a_r$（沿 $OC$ 方向）

科氏加速度：$a_C = 2\omega v_r = 0$（因为 $\omega = 0$）

由加速度合成定理，向铅垂方向投影：
$$0 = a_e^\tau = a\alpha$$

得：$\alpha = 0$

**注意**：此特殊位置需要进一步分析邻近位置的极限，实际上：

由速度关系，当摇杆转过微小角度时：
$$\tan\theta = \frac{v\Delta t}{a}$$

经过详细推导可得：
$$\omega = \frac{v}{L}\sin\theta$$

图示位置（$\theta = 0$）时，$\omega = 0$，但角加速度不为零。

==== 例题7.3 船与水流 ====

船相对水流以速度 $v_r$ 、与下游方向成 $\alpha$ 角航行。水流速度为 $v_e$ 向下游。求船相对于地面的速度（绝对速度）和航行轨迹。

**解答**：

**选取**：
  * 动点：船
  * 动系：固连于水流
  * 定系：地面

**速度分析**：

牵连速度：$\vec{v}_e$（向下游）
相对速度：$\vec{v}_r$（与下游成 $\alpha$ 角）

绝对速度：
$$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$

若建立坐标系：$x$ 轴沿水流方向，$y$ 轴垂直于水流方向：

$$v_{ax} = v_e + v_r\cos\alpha$$
$$v_{ay} = v_r\sin\alpha$$

$$v_a = \sqrt{(v_e + v_r\cos\alpha)^2 + (v_r\sin\alpha)^2}$$

$$\tan\beta = \frac{v_r\sin\alpha}{v_e + v_r\cos\alpha}$$

其中 $\beta$ 为绝对速度与下游方向的夹角。

==== 例题7.4 转动圆盘上的滑块 ====

圆盘绕垂直于盘面的轴 $O$ 以匀角速度 $\omega$ 转动，滑块 $M$ 沿盘上的直槽以匀速 $v_r$ 向外运动。求当滑块距中心距离为 $r$ 时，滑块的绝对速度和绝对加速度。

**解答**：

**选取**：
  * 动点：滑块 $M$
  * 动系：固连于圆盘

**速度分析**：

牵连速度：$v_e = r\omega$（垂直于半径，沿转动方向）
相对速度：$v_r$（沿半径向外）

绝对速度：
$$v_a = \sqrt{v_e^2 + v_r^2} = \sqrt{(r\omega)^2 + v_r^2}$$

方向与半径的夹角：
$$\tan\theta = \frac{v_e}{v_r} = \frac{r\omega}{v_r}$$

**加速度分析**：

牵连加速度（法向）：$a_e^n = r\omega^2$（指向圆心）
相对加速度：$a_r = 0$（匀速）
科氏加速度：$a_C = 2\omega v_r$（垂直于半径，与转动方向相同）

绝对加速度：
$$a_a = \sqrt{(r\omega^2)^2 + (2\omega v_r)^2} = \omega\sqrt{r^2\omega^2 + 4v_r^2}$$

方向：
$$\tan\varphi = \frac{a_C}{a_e^n} = \frac{2v_r}{r\omega}$$

===== 7.7 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 7.1**
车厢以加速度 $a = 2 \text{ m/s}^2$ 沿直线轨道行驶。车内一摆长为 $L = 1 \text{ m}$ 的单摆偏离铅垂线静止。求摆的偏角。若车厢以匀速运动，摆的状态如何？

**习题 7.2**
凸轮以匀角速度 $\omega$ 转动，推动从动杆 $AB$ 沿铅垂导轨滑动。凸轮轮廓为半径 $R$ 的圆，偏心距 $e$。求杆的速度和加速度（表示为转角 $\varphi$ 的函数）。

**习题 7.3**
直角杆 $OAB$ 以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动套在其上的小环 $M$ 沿水平直杆 $CD$ 滑动。已知 $OA = r$，图示瞬时 $OA$ 水平。求此时小环 $M$ 的速度和加速度。

**习题 7.4**
船相对水流以速度 $v_r = 6 \text{ m/s}$ 航行，水流速度 $v_e = 2 \text{ m/s}$。若要使船垂直横渡河流，船应如何定向？求船相对于地面的速度。

==== 提高题 ====

**习题 7.5**
图示机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，通过套在摇杆 $O_1B$ 上的套筒 $A$ 带动摇杆转动。两轴距离 $OO_1 = L$。求摇杆的角速度和角加速度（表示为 $\varphi$ 的函数）。

**习题 7.6**
旋转起重机以角速度 $\omega = 0.5 \text{ rad/s}$ 绕铅垂轴转动，同时小车沿水平臂以速度 $v = 1 \text{ m/s}$ 向外运动。求当小车距转轴 $r = 5 \text{ m}$ 时，小车的绝对速度和绝对加速度。

**习题 7.7**
证明：当牵连运动为定轴转动时，若相对速度 $\vec{v}_r$ 与转轴平行，则科氏加速度为零。

==== 挑战题 ====

**习题 7.8**
一质点在北半球纬度 $\lambda$ 处自由下落。考虑地球自转（角速度 $\omega$），证明质点落地时会向东偏转，并计算偏转距离（下落高度 $h$）。

**习题 7.9**
设计一个实验验证科氏加速度的存在。要求：
  * 清晰的实验原理
  * 可操作的实验装置
  * 理论预测与实验结果的对比分析

**习题 7.10**
推导牵连运动为一般运动（平移加转动）时的加速度合成定理，证明科氏加速度项仍然成立。

===== 7.8 本章小结 =====

本章核心内容：

  * **基本概念**：
    - 定系、动系
    - 绝对运动、相对运动、牵连运动
    - 三种速度和加速度的定义

  * **速度合成定理**：
    $$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$
    - 适用于任意牵连运动

  * **加速度合成定理**：
    - 牵连运动为平移：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$
    - 牵连运动为转动：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r + \vec{a}_C$

  * **科氏加速度**：
    $$\vec{a}_C = 2\vec{\omega}_e \times \vec{v}_r$$
    - 大小：$a_C = 2\omega_e v_r \sin\theta$
    - 方向：右手定则

  * **动点和动系的选取**：
    - 动点和动系在不同物体上
    - 相对轨迹应简单
    - 牵连运动应易于分析

**应用要点**：
  * 正确分析三种运动
  * 准确确定牵连点
  * 画好速度图和加速度图
  * 注意科氏加速度的方向判定

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