====== 第三章 空间力系 ======

===== 3.1 引言 =====

空间力系（Spatial Force System）是指各力的作用线不在同一平面内的力系。在实际工程中，许多结构的受力属于空间力系问题，如起重机的起重臂、空间桁架结构、机械中的传动轴等。空间力系的分析方法与平面力系类似，但需要考虑三个方向的力和力矩。

本章将系统介绍空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系的简化与平衡问题。掌握本章内容，对于分析复杂空间结构的受力状态具有重要意义。

===== 3.2 空间汇交力系 =====

==== 3.2.1 定义与特点 ====

**空间汇交力系**是指各力的作用线汇交于一点但不在同一平面内的力系。

**特点**：
  * 各力作用线共点但不共面
  * 可用空间力多边形法则或解析法求合力
  * 独立平衡方程有 3 个

==== 3.2.2 合成的解析法 ====

建立直角坐标系 $Oxyz$，将各力向三个坐标轴投影：

$$F_{Rx} = \sum F_{ix}, \quad F_{Ry} = \sum F_{iy}, \quad F_{Rz} = \sum F_{iz}$$

合力的大小：
$$F_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2 + (\sum F_z)^2}$$

合力的方向（方向余弦）：
$$\cos\alpha = \frac{F_{Rx}}{F_R}, \quad \cos\beta = \frac{F_{Ry}}{F_R}, \quad \cos\gamma = \frac{F_{Rz}}{F_R}$$

其中 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 分别为合力与 $x$、$y$、$z$ 轴正向的夹角，满足：
$$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$$

==== 3.2.3 空间汇交力系的平衡条件 ====

**几何条件**：空间力多边形自行封闭。

**解析条件**：
$$\sum F_x = 0$$
$$\sum F_y = 0$$
$$\sum F_z = 0$$

三个独立的平衡方程可以求解三个未知量。

===== 3.3 空间力偶系 =====

==== 3.3.1 空间力偶的等效条件 ====

空间力偶的等效条件是力偶矩矢量相等。力偶可以在平行平面内任意移转，或改变力偶中力的大小和力偶臂的长短（保持力偶矩不变），而不改变对刚体的作用效果。

==== 3.3.2 空间力偶系的合成 ====

空间力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和：

$$\vec{M} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \cdots + \vec{M}_n = \sum_{i=1}^{n} \vec{M}_i$$

合力偶矩在坐标轴上的投影：
$$M_x = \sum M_{ix}, \quad M_y = \sum M_{iy}, \quad M_z = \sum M_{iz}$$

合力偶矩的大小：
$$M = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2}$$

==== 3.3.3 空间力偶系的平衡条件 ====

$$\sum M_x = 0, \quad \sum M_y = 0, \quad \sum M_z = 0$$

或写成矢量形式：
$$\sum \vec{M}_i = 0$$

===== 3.4 空间任意力系 =====

==== 3.4.1 空间任意力系向一点简化 ====

**主矢**：
$$\vec{F}_R' = \sum \vec{F}_i$$

在直角坐标系中的分量：
$$F_{Rx}' = \sum F_x, \quad F_{Ry}' = \sum F_y, \quad F_{Rz}' = \sum F_z$$

主矢的大小：
$$F_R' = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2 + (\sum F_z)^2}$$

**主矩**：
$$\vec{M}_O = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_i) = \sum (\vec{r}_i \times \vec{F}_i)$$

主矩在坐标轴上的投影（即力对轴的矩）：
$$M_{Ox} = \sum M_x(\vec{F}_i), \quad M_{Oy} = \sum M_y(\vec{F}_i), \quad M_{Oz} = \sum M_z(\vec{F}_i)$$

主矩的大小：
$$M_O = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2}$$

==== 3.4.2 简化结果分析 ====

空间任意力系的简化结果有以下几种情况：

**情况1**：$\vec{F}_R' = 0$，$\vec{M}_O \neq 0$

简化为一个合力偶，力偶矩等于主矩。

**情况2**：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O = 0$

简化为一个合力，合力通过简化中心。

**情况3**：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R' \perp \vec{M}_O$

可进一步简化为一个合力。合力作用线到简化中心的距离：
$$d = \frac{M_O}{F_R'}$$

**情况4**：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R' \parallel \vec{M}_O$

形成**力螺旋**（Wrench），这是空间力系特有的简化结果。力不能进一步简化，力偶矩也不能消除。

**情况5**：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R'$ 与 $\vec{M}_O$ 成任意角 $\theta$

可将力偶矩分解为平行于主矢和垂直于主矢的两个分量，垂直分量与主矢合成为作用线平移后的力，最终简化为一个力螺旋。

**情况6**：$\vec{F}_R' = 0$，$\vec{M}_O = 0$

力系平衡。

==== 3.4.3 空间任意力系的平衡方程 ====

空间任意力系平衡的充要条件是主矢和主矩均为零：

$$\vec{F}_R' = 0, \quad \vec{M}_O = 0$$

即：
$$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0$$
$$\sum M_x = 0, \quad \sum M_y = 0, \quad \sum M_z = 0$$

六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。

===== 3.5 空间平行力系 =====

==== 3.5.1 定义 ====

各力的作用线互相平行的空间力系称为**空间平行力系**。

==== 3.5.2 平衡方程 ====

设各力与 $z$ 轴平行：
$$\sum F_z = 0$$
$$\sum M_x = 0$$
$$\sum M_y = 0$$

三个独立的平衡方程。

===== 3.6 重心 =====

==== 3.6.1 重心的概念 ====

重力是地球对物体的吸引力。对于体积不太大的物体，可认为重力是平行力系，其合力作用点称为**重心**（Center of Gravity）。

==== 3.6.2 重心坐标公式 ====

设物体由若干部分组成，第 $i$ 部分的重力为 $P_i$，重心坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$，则整体重心坐标为：

$$x_C = \frac{\sum P_i x_i}{\sum P_i}, \quad y_C = \frac{\sum P_i y_i}{\sum P_i}, \quad z_C = \frac{\sum P_i z_i}{\sum P_i}$$

对于均质物体，$P = \rho g V$，重心与形心重合：

$$x_C = \frac{\sum V_i x_i}{V}, \quad y_C = \frac{\sum V_i y_i}{V}, \quad z_C = \frac{\sum V_i z_i}{V}$$

对于连续体，用积分表示：
$$x_C = \frac{\int_V x \, dV}{V}, \quad y_C = \frac{\int_V y \, dV}{V}, \quad z_C = \frac{\int_V z \, dV}{V}$$

==== 3.6.3 常见形体的重心位置 ====

**三角形**：重心位于三条中线的交点，距底边高度为 $h/3$

**梯形**：距底边高度 $y_C = \frac{h}{3} \cdot \frac{a + 2b}{a + b}$（$a$、$b$ 为上下底）

**圆弧**：半径 $R$，圆心角 $2\alpha$，重心距圆心 $x_C = \frac{R\sin\alpha}{\alpha}$

**扇形**：半径 $R$，圆心角 $2\alpha$，重心距圆心 $x_C = \frac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$

**半球**：半径 $R$，重心距底面 $z_C = \frac{3R}{8}$

**圆锥**：高 $h$，重心距底面 $z_C = \frac{h}{4}$

===== 3.7 典型例题 =====

==== 例题3.1 空间力系简化 ====

边长为 $a = 1 \text{ m}$ 的正方体上作用三个力：$F_1 = 100 \text{ N}$ 沿 $x$ 轴正方向作用于原点，$F_2 = 150 \text{ N}$ 沿 $y$ 轴正方向作用于点 $(a, 0, 0)$，$F_3 = 200 \text{ N}$ 沿 $z$ 轴正方向作用于点 $(0, a, 0)$。试将该力系向原点 $O$ 简化，并求最终的简化结果。

**解答**：

**步骤1：计算主矢**

$$\vec{F}_R' = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 100\vec{i} + 150\vec{j} + 200\vec{k} \text{ N}$$

主矢大小：
$$F_R' = \sqrt{100^2 + 150^2 + 200^2} = \sqrt{72500} = 269.3 \text{ N}$$

**步骤2：计算主矩**

各力作用点相对于原点的矢径：
$$\vec{r}_1 = 0, \quad \vec{r}_2 = a\vec{i} = \vec{i}, \quad \vec{r}_3 = a\vec{j} = \vec{j}$$

各力对原点的矩：
$$\vec{M}_O(\vec{F}_1) = \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 = 0$$

$$\vec{M}_O(\vec{F}_2) = \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = \vec{i} \times 150\vec{j} = 150\vec{k} \text{ N·m}$$

$$\vec{M}_O(\vec{F}_3) = \vec{r}_3 \times \vec{F}_3 = \vec{j} \times 200\vec{k} = 200\vec{i} \text{ N·m}$$

主矩：
$$\vec{M}_O = 200\vec{i} + 150\vec{k} \text{ N·m}$$

**步骤3：判断简化结果**

检验 $\vec{F}_R'$ 与 $\vec{M}_O$ 的关系：
$$\vec{F}_R' \cdot \vec{M}_O = 100 \times 200 + 150 \times 0 + 200 \times 150 = 20000 + 30000 = 50000 \neq 0$$

由于点积不为零，两者不垂直，需要进一步分析：

计算平行分量：
$$M_{\parallel} = \frac{\vec{F}_R' \cdot \vec{M}_O}{F_R'} = \frac{50000}{269.3} = 185.7 \text{ N·m}$$

简化结果为力螺旋。

==== 例题3.2 空间力系平衡 ====

图示空间结构中，水平杆 $AB$ 长 $L = 2 \text{ m}$，在 $A$ 端由球铰支座固定，$B$ 端用三根绳子 $BC$、$BD$、$BE$ 拉住。已知 $C$、$D$、$E$ 在同一水平面内，且 $\angle CBD = \angle DBE = 60°$。在 $B$ 端作用铅垂向下的力 $P = 1000 \text{ N}$。求三根绳子的张力。

**解答**：

建立坐标系：以 $A$ 为原点，$AB$ 沿 $x$ 轴正方向，$z$ 轴铅垂向上。

设绳 $BC$ 与水平面夹角为 $\alpha$，则各绳方向：

绳 $BC$：在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴夹角 $60°$（向 $y$ 正向偏）
绳 $BD$：沿 $x$ 轴负方向（水平）
绳 $BE$：在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴夹角 $-60°$（向 $y$ 负向偏）

由几何关系，若绳与水平面夹角均为 $\alpha$：

各绳的单位矢量：
$$\vec{e}_{BC} = (-\cos\alpha, \sin\alpha\cos60°, \sin\alpha)$$

由对称性：$F_{BC} = F_{BE} = F_1$，$F_{BD} = F_2$

节点 $B$ 平衡方程：
$$\sum F_x = 0: \quad -2F_1\cos\alpha - F_2 + P_{x} = 0$$
$$\sum F_y = 0: \quad F_1\sin\alpha\cos60° - F_1\sin\alpha\cos60° = 0$$（自动满足）
$$\sum F_z = 0: \quad 2F_1\sin\alpha - P = 0$$

由 $\sum F_z = 0$：
$$F_1 = \frac{P}{2\sin\alpha}$$

若 $\alpha = 45°$：
$$F_1 = \frac{1000}{2 \times 0.707} = 707 \text{ N}$$

由 $\sum F_x = 0$：
$$F_2 = -2F_1\cos\alpha = -2 \times 707 \times 0.707 = -1000 \text{ N}$$

负号表示实际方向与假设相反。

==== 例题3.3 重心计算 ====

求图示均质 $Z$ 形薄板的重心位置。薄板由三个矩形组成：矩形 $I$ 尺寸 $20 \times 2 \text{ cm}$（水平放置在最上方），矩形 $II$ 尺寸 $2 \times 20 \text{ cm}$（铅垂放置在中间），矩形 $III$ 尺寸 $15 \times 2 \text{ cm}$（水平放置在最下方）。

**解答**：

建立坐标系：以左下角为原点，$x$ 轴水平向右，$y$ 轴铅垂向上。

**矩形 I**：$A_1 = 40 \text{ cm}^2$
形心坐标：$x_1 = 10 \text{ cm}$，$y_1 = 21 \text{ cm}$

**矩形 II**：$A_2 = 40 \text{ cm}^2$
形心坐标：$x_2 = 1 \text{ cm}$，$y_2 = 11 \text{ cm}$

**矩形 III**：$A_3 = 30 \text{ cm}^2$
形心坐标：$x_3 = 9.5 \text{ cm}$，$y_3 = 1 \text{ cm}$

总面积：$A = 40 + 40 + 30 = 110 \text{ cm}^2$

重心坐标：
$$x_C = \frac{A_1x_1 + A_2x_2 + A_3x_3}{A} = \frac{40 \times 10 + 40 \times 1 + 30 \times 9.5}{110}$$
$$= \frac{400 + 40 + 285}{110} = \frac{725}{110} = 6.59 \text{ cm}$$

$$y_C = \frac{A_1y_1 + A_2y_2 + A_3y_3}{A} = \frac{40 \times 21 + 40 \times 11 + 30 \times 1}{110}$$
$$= \frac{840 + 440 + 30}{110} = \frac{1310}{110} = 11.9 \text{ cm}$$

===== 3.8 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 3.1**
空间汇交力系作用于原点，$F_1 = 100 \text{ N}$ 沿 $x$ 轴正向，$F_2 = 150 \text{ N}$ 沿 $y$ 轴正向，$F_3 = 200 \text{ N}$ 与三轴正向夹角相等。求合力。

**习题 3.2**
力 $F = 500 \text{ N}$ 作用在边长为 $a = 0.5 \text{ m}$ 的立方体的顶点，方向沿从该顶点出发的体对角线。求该力对立方体中心的矩。

**习题 3.3**
均质杆 $AB$ 长 $L$，重 $P$，$A$ 端用球铰固定，$B$ 端靠在光滑铅垂墙上，并用水平绳 $BC$ 拉住。已知杆与水平面夹角 $\alpha = 30°$，绳与水平面夹角 $\beta = 45°$。求绳的张力和墙对杆的约束反力。

**习题 3.4**
求图示均质 $L$ 形薄板的重心位置。薄板由两个矩形组成：水平部分 $10 \times 2 \text{ cm}$，铅垂部分 $2 \times 8 \text{ cm}$，两者在拐角处相连。

==== 提高题 ====

**习题 3.5**
图示三脚圆桌，半径 $R = 0.5 \text{ m}$，重 $P = 600 \text{ N}$，三脚 $A$、$B$、$C$ 形成等边三角形。在桌面上的 $D$ 点作用铅垂力 $F = 1500 \text{ N}$，$D$ 点位于通过圆心且与 $BC$ 平行的直线上，距圆心 $a = 0.1 \text{ m}$。求三脚所受的压力。

**习题 3.6**
空间桁架由六根杆组成，各杆长度相等为 $L$，形成正四面体结构。在节点 $A$ 作用水平力 $F_x$ 和铅垂力 $F_z$。求各杆内力。

**习题 3.7**
证明：空间力系向两点简化，若主矢相等且主矩在平行于主矢方向的分量相等，则力系等效于一个力螺旋。

==== 挑战题 ====

**习题 3.8**
设计一实验方案测定不规则三维物体的重心位置。要求：
  * 基于静力学平衡原理
  * 给出详细的测量步骤
  * 推导重心坐标计算公式
  * 分析误差来源及减小误差的方法

**习题 3.9**
求图示均质圆锥体的重心位置。圆锥底面半径 $R$，高 $H$，在距底面 $h$ 处被一平行于底面的平面截去顶部小圆锥。求剩余部分的重心位置。

**习题 3.10**
讨论力螺旋的中心轴方程。设空间力系向原点简化的主矢为 $\vec{F}_R'$，主矩为 $\vec{M}_O$，证明力螺旋中心轴上任意点 $P$ 的位置矢量 $\vec{r}$ 满足：
$$\vec{r} = \frac{\vec{F}_R' \times \vec{M}_O}{F_R'^2} + \lambda\vec{F}_R'$$
其中 $\lambda$ 为任意实数。

===== 3.9 本章小结 =====

本章要点总结：

  * **空间汇交力系**：
    - 合力：$\vec{F}_R = \sum \vec{F}_i$
    - 平衡：$\sum F_x = 0$，$\sum F_y = 0$，$\sum F_z = 0$

  * **空间力偶系**：
    - 合力偶矩：$\vec{M} = \sum \vec{M}_i$
    - 平衡：$\sum M_x = 0$，$\sum M_y = 0$，$\sum M_z = 0$

  * **空间任意力系**：
    - 简化：主矢 $\vec{F}_R' = \sum \vec{F}_i$，主矩 $\vec{M}_O = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_i)$
    - 简化结果可能是合力、合力偶、力螺旋或平衡
    - 平衡方程：6 个独立方程

  * **重心计算**：
    - 分割法：$x_C = \frac{\sum P_i x_i}{\sum P_i}$
    - 积分法：$x_C = \frac{\int_V x \, dV}{V}$
    - 负体积法（用于有空洞的物体）

**空间问题与平面问题的区别**：
  * 未知量增多（最多 6 个）
  * 需要考虑三个方向的力和力矩
  * 可能出现力螺旋这种平面问题没有的简化结果
  * 几何关系更复杂，需要较强的空间想象能力

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