====== 第九章 质点动力学 ======

===== 9.1 引言 =====

动力学（Dynamics）研究物体的运动与作用力之间的关系。与运动学只描述运动的几何性质不同，动力学揭示了运动变化的物理原因。动力学是理论力学中最核心的部分，它将静力学和运动学统一起来，为分析机械运动提供了完整的理论体系。

质点动力学是研究质点运动与受力关系的科学，是整个动力学的基础。本章将从牛顿运动定律出发，建立质点运动微分方程，讨论质点动力学的两类基本问题。

===== 9.2 动力学基本定律 =====

==== 9.2.1 牛顿第一定律（惯性定律） ====

**定律内容**：质点如不受力作用，将保持静止或匀速直线运动状态。

**意义**：
  * 揭示了物体具有保持运动状态不变的性质——**惯性**
  * 定义了惯性参考系（牛顿定律成立的参考系）
  * 定性地建立了力与运动变化的关系

==== 9.2.2 牛顿第二定律（力与加速度关系定律） ====

**定律内容**：质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力，加速度的方向与力的方向相同。

$$m\vec{a} = \vec{F}$$

或
$$\vec{F} = m\vec{a}$$

**意义**：
  * 定量建立了力与运动变化的关系
  * 定义了力的度量标准
  * 说明质量是物体惯性的度量

==== 9.2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律） ====

**定律内容**：两物体间的作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用线相同，分别作用在两个物体上。

$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$$

**注意**：作用力与反作用力不是平衡力，因为它们作用在不同物体上。

===== 9.3 质点运动微分方程 =====

==== 9.3.1 矢量形式 ====

由牛顿第二定律和加速度定义：

$$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}$$

或
$$m\ddot{\vec{r}} = \vec{F}$$

这是质点运动微分方程的矢量形式。

==== 9.3.2 直角坐标形式 ====

在直角坐标系 $Oxyz$ 中：

$$m\ddot{x} = F_x$$
$$m\ddot{y} = F_y$$
$$m\ddot{z} = F_z$$

其中 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 为力在各坐标轴上的投影。

==== 9.3.3 自然坐标形式 ====

在自然坐标系（切向、法向、副法向）中：

$$m\frac{dv}{dt} = F_\tau$$
$$m\frac{v^2}{\rho} = F_n$$
$$0 = F_b$$

**说明**：
  * 切向方程描述速度大小的变化
  * 法向方程描述速度方向的变化
  * 副法向无运动（质点在密切平面内运动）

===== 9.4 质点动力学的两类基本问题 =====

==== 第一类问题：已知运动求力 ====

**问题描述**：已知质点的运动方程或速度、加速度，求作用于质点的力。

**解法**：
  * 由运动方程求加速度
  * 代入运动微分方程求力

这是比较简单的微分问题。

==== 第二类问题：已知力求运动 ====

**问题描述**：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动方程。

**解法**：
  * 建立运动微分方程
  * 积分求解
  * 利用初始条件确定积分常数

这是积分问题，通常比第一类问题复杂。

==== 混合问题 ====

部分力已知、部分运动已知，需要联合求解。

===== 9.5 常见力的分析 =====

==== 9.5.1 重力 ====

$$\vec{G} = m\vec{g}$$

方向铅垂向下。

==== 9.5.2 弹性力（弹簧力） ====

$$F = k\delta$$

其中 $k$ 为弹簧刚度系数，$\delta$ 为弹簧变形量。

方向：指向弹簧原长位置（恢复力）。

==== 9.5.3 万有引力 ====

$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$

其中 $G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$ 为引力常量。

==== 9.5.4 介质阻力 ====

$$F = cv^n$$

其中 $c$ 为阻力系数，$n$ 通常在 1-2 之间。

低速时（$n = 1$）：线性阻力 $F = cv$
高速时（$n = 2$）：平方阻力 $F = cv^2$

方向与速度方向相反。

==== 9.5.5 牵连惯性力和科氏惯性力 ====

在非惯性参考系中，需引入惯性力：
  * **牵连惯性力**：$\vec{F}_e = -m\vec{a}_e$
  * **科氏惯性力**：$\vec{F}_C = -m\vec{a}_C = -2m\vec{\omega} \times \vec{v}_r$

===== 9.6 典型例题 =====

==== 例题9.1 电梯中的物体 ====

质量为 $m$ 的物体放在电梯地板上，电梯以加速度 $a$ 上升。求物体对地板的压力。

**解答**：

**受力分析**：
  * 重力 $G = mg$（向下）
  * 支持力 $F_N$（向上）

**建立方程**（向上为正）：
$$ma = F_N - mg$$

**求解**：
$$F_N = m(g + a)$$

由牛顿第三定律，物体对地板的压力：
$$F_N' = F_N = m(g + a)$$

**讨论**：
  * $a > 0$（加速上升）：$F_N > mg$，超重
  * $a < 0$（加速下降）：$F_N < mg$，失重
  * $a = -g$（自由落体）：$F_N = 0$，完全失重

==== 例题9.2 单摆的运动 ====

质量为 $m$ 的小球用长为 $L$ 的轻绳悬挂，在铅垂面内摆动。求摆的运动微分方程和小球的速度（表示为摆角 $\theta$ 的函数）。

**解答**：

**建立坐标**：切向和法向

**受力分析**：
  * 重力 $mg$（向下）
  * 绳张力 $F_T$（沿绳指向悬点）

**切向方程**（向 $\theta$ 增大的方向为正）：
$$ma_\tau = -mg\sin\theta$$

$$mL\ddot{\theta} = -mg\sin\theta$$

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$$

这就是单摆的运动微分方程。

**小角度近似**（$\sin\theta \approx \theta$）：
$$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

简谐振动，周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

**速度求解**：

利用 $\ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d\dot{\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}$

代入方程并积分（设 $\theta = \theta_0$ 时 $\dot{\theta} = 0$）：
$$\int_0^{\dot{\theta}} \dot{\theta} d\dot{\theta} = -\frac{g}{L}\int_{\theta_0}^{\theta} \sin\theta d\theta$$

$$\frac{1}{2}\dot{\theta}^2 = \frac{g}{L}(\cos\theta - \cos\theta_0)$$

速度：
$$v = L\dot{\theta} = \sqrt{2gL(\cos\theta - \cos\theta_0)}$$

**法向方程**（求绳张力）：
$$m\frac{v^2}{L} = F_T - mg\cos\theta$$

$$F_T = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{L} = mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$$

==== 例题9.3 斜抛运动考虑空气阻力 ====

质点以初速度 $v_0$ 水平抛出，受重力 $mg$ 和与速度成正比的空气阻力 $F = cv$ 作用。求质点的运动方程。

**解答**：

**建立坐标**：水平向右为 $x$ 轴，铅垂向下为 $y$ 轴。

**运动微分方程**：

$$m\ddot{x} = -cv_x = -c\dot{x}$$
$$m\ddot{y} = mg - cv_y = mg - c\dot{y}$$

**求解 $x$ 方向**：

$$\frac{d\dot{x}}{\dot{x}} = -\frac{c}{m}dt$$

积分（$t = 0$ 时 $\dot{x} = v_0$）：
$$\ln\frac{\dot{x}}{v_0} = -\frac{c}{m}t$$

$$\dot{x} = v_0e^{-\frac{c}{m}t}$$

再积分（$t = 0$ 时 $x = 0$）：
$$x = \frac{mv_0}{c}(1 - e^{-\frac{c}{m}t})$$

**求解 $y$ 方向**：

令 $u = \dot{y}$，则：
$$\frac{du}{dt} = g - \frac{c}{m}u$$

分离变量并积分：
$$\int_0^{\dot{y}} \frac{du}{g - \frac{c}{m}u} = \int_0^t dt$$

$$-\frac{m}{c}\ln\frac{g - \frac{c}{m}\dot{y}}{g} = t$$

$$\dot{y} = \frac{mg}{c}(1 - e^{-\frac{c}{m}t})$$

再积分：
$$y = \frac{mg}{c}t - \frac{m^2g}{c^2}(1 - e^{-\frac{c}{m}t})$$

**讨论**：
  * 当 $t \to \infty$ 时，$\dot{x} \to 0$，$\dot{y} \to \frac{mg}{c}$（终极速度）
  * 阻力使水平运动减速，铅垂运动趋于匀速

===== 9.7 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 9.1**
质量为 $m$ 的物体放在倾角为 $\alpha$ 的光滑斜面上，求物体沿斜面下滑的加速度和斜面对物体的支持力。

**习题 9.2**
小车以加速度 $a$ 沿水平直线运动，车内用绳悬挂一小球，球相对小车静止时绳与铅垂线的偏角是多少？绳的张力是多少？

**习题 9.3**
质点质量 $m = 1 \text{ kg}$，受变力 $F = 2t$（$F$ 单位为 N，$t$ 单位为 s）作用沿直线运动。初速度 $v_0 = 1 \text{ m/s}$。求 $t = 5 \text{ s}$ 时的速度。

**习题 9.4**
弹簧-质量系统，质量 $m$，弹簧刚度 $k$，从平衡位置给予初速度 $v_0$。求质点的运动方程和最大位移。

==== 提高题 ====

**习题 9.5**
圆锥摆：小球用长 $L$ 的绳悬挂，在水平面内作匀速圆周运动，绳与铅垂线保持夹角 $\theta$。求小球的速度和周期。

**习题 9.6**
质点在介质中铅直上抛，初速度 $v_0$，阻力 $F = cv$。求上升的最大高度和回到抛出点时的速度。

**习题 9.7**
证明：在均匀重力场中，质点运动的轨迹为平面曲线。

==== 挑战题 ====

**习题 9.8**
质量为 $m$ 的质点在平方反比引力 $F = -\frac{k}{r^2}$ 作用下运动。利用比耐公式证明轨道为圆锥曲线，并讨论能量与轨道形状的关系。

**习题 9.9**
考虑地球自转，在北半球纬度 $\lambda$ 处以初速度 $v_0$ 铅直上抛一物体，上升高度 $h$。求物体落回地面时与抛出点的水平偏离（科氏力效应）。

**习题 9.10**
设计一个测量重力加速度 $g$ 的实验。要求：
  * 基于质点动力学原理
  * 测量精度达到 $1\%$
  * 给出详细的实验步骤、数据记录表格和误差分析方法

===== 9.8 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **牛顿运动定律**：
    - 第一定律：惯性定律，定义惯性参考系
    - 第二定律：$\vec{F} = m\vec{a}$，力与加速度的定量关系
    - 第三定律：作用力与反作用力

  * **质点运动微分方程**：
    - 矢量形式：$m\ddot{\vec{r}} = \vec{F}$
    - 直角坐标形式
    - 自然坐标形式

  * **两类基本问题**：
    - 已知运动求力（微分问题）
    - 已知力求运动（积分问题）

  * **常见力**：
    - 重力、弹力、万有引力
    - 介质阻力
    - 惯性力（非惯性系中）

**解题步骤**：
  1. 确定研究对象（质点）
  2. 受力分析（画受力图）
  3. 运动分析
  4. 建立坐标系
  5. 列运动微分方程
  6. 求解

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