====== 第六章 刚体的简单运动 ======

===== 6.1 引言 =====

刚体（Rigid Body）是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变的物体。实际物体受力后都会产生变形，但当变形很小可以忽略不计时，可将物体抽象为刚体。

本章研究刚体的两种简单运动形式：**平移**（Translation）和**定轴转动**（Rotation about a Fixed Axis）。这两种运动是研究刚体复杂运动的基础。

===== 6.2 刚体的平行移动（平移） =====

==== 6.2.1 定义 ====

如果在运动过程中，刚体上任意一条直线始终与初始位置保持平行，则这种运动称为**平行移动**，简称**平移**或**平动**。

==== 6.2.2 平移的分类 ====

**直线平移**：刚体上各点的轨迹为直线。

**曲线平移**：刚体上各点的轨迹为曲线（如汽车转弯时车身的运动）。

==== 6.2.3 平移刚体上各点的运动特点 ====

**定理**：刚体平移时，其上各点在任一瞬时具有相同的速度和相同的加速度。

**证明**：

设刚体上任意两点 $A$ 和 $B$，位置矢量为 $\vec{r}_A$ 和 $\vec{r}_B$，则：
$$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$$

由于平移时 $\vec{r}_{AB}$ 为常矢量（大小方向均不变）：
$$\vec{v}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = \vec{v}_A$$

$$\vec{a}_B = \frac{d\vec{v}_B}{dt} = \frac{d\vec{v}_A}{dt} = \vec{a}_A$$

**推论**：研究刚体的平移，可以归结为研究刚体上任意一点（通常取质心）的运动。

===== 6.3 刚体绕定轴转动 =====

==== 6.3.1 定义 ====

如果在运动过程中，刚体内（或其延伸部分）有一条直线始终保持不动，则这种运动称为**刚体绕定轴转动**，简称**定轴转动**。不动的直线称为**转轴**。

==== 6.3.2 转动方程 ====

过转轴作固定半平面 $P_0$ 和随刚体转动的半平面 $P$，两平面间的夹角 $\varphi$ 称为**转角**。

$$\varphi = f(t)$$

这就是刚体的**转动方程**。

**符号规定**：从转轴正向往负向看，逆时针为正，顺时针为负。单位为弧度（rad）。

==== 6.3.3 角速度 ====

**角速度**是描述刚体转动快慢和方向的物理量。

$$\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt} = \dot{\varphi}$$

**符号规定**：与转角一致，单位为 rad/s。

==== 6.3.4 角加速度 ====

**角加速度**是描述角速度变化快慢的物理量。

$$\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2} = \ddot{\varphi}$$

单位为 rad/s²。

**符号规定**：与角速度一致时为加速转动，相反时为减速转动。

==== 6.3.5 匀速转动和匀变速转动 =====

**匀速转动**：$\omega = \text{常数}$
$$\varphi = \varphi_0 + \omega t$$

工程中常用转速 $n$（单位：r/min）表示转动快慢：
$$\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{\pi n}{30} \text{ rad/s}$$

**匀变速转动**：$\alpha = \text{常数}$
$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$
$$\varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$
$$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\varphi - \varphi_0)$$

===== 6.4 转动刚体上各点的运动 =====

==== 6.4.1 运动方程 ====

设点 $M$ 到转轴的距离为 $R$（转动半径），则点 $M$ 作圆周运动。

弧坐标形式：
$$s = R\varphi$$

==== 6.4.2 速度 ====

$$v = \frac{ds}{dt} = R\frac{d\varphi}{dt} = R\omega$$

速度方向：沿圆周切线，指向转动方向。

==== 6.4.3 加速度 ====

**切向加速度**：
$$a_\tau = \frac{dv}{dt} = R\frac{d\omega}{dt} = R\alpha$$

方向：沿切线，指向与 $\alpha$ 一致。

**法向加速度**：
$$a_n = \frac{v^2}{R} = R\omega^2$$

方向：指向圆心（转轴）。

**全加速度**：
$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$$

方向：
$$\tan\theta = \frac{|a_\tau|}{a_n} = \frac{|\alpha|}{\omega^2}$$

其中 $\theta$ 为全加速度与法向的夹角。

==== 6.4.4 重要结论 ====

  * 各点速度大小与转动半径成正比
  * 各点加速度大小与转动半径成正比
  * 各点全加速度与法向的夹角相同

===== 6.5 轮系的传动比 =====

==== 6.5.1 齿轮传动 ====

两个齿轮啮合传动，接触点速度相等：
$$v = R_1\omega_1 = R_2\omega_2$$

**传动比**：
$$i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{z_2}{z_1}$$

其中 $z$ 为齿数。

外啮合时两齿轮转向相反，内啮合时转向相同。

==== 6.5.2 带轮传动 ====

假设皮带不可伸长，两轮缘速度相等：
$$v = R_1\omega_1 = R_2\omega_2$$

传动比：
$$i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{R_2}{R_1}$$

两轮转向相同。

===== 6.6 角速度和角加速度的矢量表示 =====

==== 6.6.1 角速度矢量 ====

定义角速度矢量 $\vec{\omega}$：
  * 大小：$|\vec{\omega}| = |\omega|$
  * 方向：沿转轴，按右手螺旋法则确定

==== 6.6.2 角加速度矢量 ====

$$\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$$

对于定轴转动，转轴方向不变，则：
$$\vec{\alpha} = \alpha\vec{k}$$

==== 6.6.3 点的速度和加速度的矢积表示 ====

设转轴上任意一点 $O$ 为原点，点 $M$ 的矢径为 $\vec{r}$，则：

**速度**：
$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

**加速度**：
$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$$

其中：
  * $\vec{\alpha} \times \vec{r} = \vec{a}_\tau$（切向加速度）
  * $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \vec{a}_n$（法向加速度）

===== 6.7 典型例题 =====

==== 例题6.1 提升重物系统 ====

图示提升重物装置中，鼓轮半径 $r = 0.2 \text{ m}$，轮 $A$ 半径 $R = 0.4 \text{ m}$，重物 $B$ 以匀速 $v_B = 2 \text{ m/s}$ 下降。求轮 $A$ 的角速度和角加速度，以及轮缘上点 $C$ 的速度和加速度。

**解答**：

**鼓轮运动**：

重物速度与鼓轮缘速度相等：
$$v_B = r\omega_{鼓}$$
$$\omega_{鼓} = \frac{v_B}{r} = \frac{2}{0.2} = 10 \text{ rad/s}$$

由于 $v_B$ 为常数，$\alpha_{鼓} = 0$。

**轮 A 运动**：

设轮 $A$ 与鼓轮固连（同轴），则：
$$\omega_A = \omega_{鼓} = 10 \text{ rad/s}$$
$$\alpha_A = \alpha_{鼓} = 0$$

**点 C 的运动**：

$$v_C = R\omega_A = 0.4 \times 10 = 4 \text{ m/s}$$

由于 $\alpha_A = 0$：
$$a_{C\tau} = R\alpha_A = 0$$
$$a_{Cn} = R\omega_A^2 = 0.4 \times 100 = 40 \text{ m/s}^2$$

$$a_C = a_{Cn} = 40 \text{ m/s}^2$$

方向指向轮心。

==== 例题6.2 搅拌机机构 ====

图示搅拌机机构中，主动轮 $O_1$ 转速 $n = 950 \text{ r/min}$，$O_1A = O_2B = 0.25 \text{ m}$，$AB = O_1O_2$。求搅拌端点 $C$ 的速度和轨迹。

**解答**：

**分析机构**：

由于 $AB = O_1O_2$ 且 $AB \parallel O_1O_2$，杆 $AB$ 作平移。

**计算角速度**：
$$\omega = \frac{\pi n}{30} = \frac{950\pi}{30} = 99.5 \text{ rad/s}$$

**点 A 的速度**：
$$v_A = O_1A \cdot \omega = 0.25 \times 99.5 = 24.9 \text{ m/s}$$

**点 C 的速度**：

由于杆 $ABC$ 平移：
$$v_C = v_A = 24.9 \text{ m/s}$$

**轨迹**：

点 $C$ 与点 $A$ 轨迹相同，为半径 $0.25 \text{ m}$ 的圆。

==== 例题6.3 齿轮传动系统 ====

减速箱由四个齿轮组成：齿轮 $I$ 与电机相连，$z_1 = 20$；齿轮 $II$，$z_2 = 50$；齿轮 $III$ 与齿轮 $II$ 同轴，$z_3 = 25$；齿轮 $IV$ 为输出，$z_4 = 75$。电机转速 $n_1 = 1450 \text{ r/min}$。求输出转速 $n_4$。

**解答**：

**第一级传动**（齿轮 $I$ 与 $II$）：
$$i_{12} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{50}{20} = 2.5$$
$$n_2 = \frac{n_1}{2.5} = \frac{1450}{2.5} = 580 \text{ r/min}$$

齿轮 $II$ 与 $III$ 同轴：
$$n_3 = n_2 = 580 \text{ r/min}$$

**第二级传动**（齿轮 $III$ 与 $IV$）：
$$i_{34} = \frac{n_3}{n_4} = \frac{z_4}{z_3} = \frac{75}{25} = 3$$
$$n_4 = \frac{n_3}{3} = \frac{580}{3} = 193.3 \text{ r/min}$$

**总传动比**：
$$i_{14} = \frac{n_1}{n_4} = i_{12} \times i_{34} = 2.5 \times 3 = 7.5$$

==== 例题6.4 飞轮制动 ====

飞轮半径 $R = 0.5 \text{ m}$，由静止开始以匀加速转动，经过 $10 \text{ s}$ 后转速达到 $n = 600 \text{ r/min}$。求：
  * (a) 角加速度和转过的圈数
  * (b) $t = 5 \text{ s}$ 时轮缘上点的速度和加速度

**解答**：

**(a) 角加速度和转数**

末角速度：
$$\omega = \frac{\pi n}{30} = \frac{600\pi}{30} = 20\pi \text{ rad/s}$$

角加速度：
$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{20\pi - 0}{10} = 2\pi \text{ rad/s}^2 = 6.28 \text{ rad/s}^2$$

转角：
$$\varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2\pi \times 100 = 100\pi \text{ rad}$$

转数：
$$N = \frac{\varphi}{2\pi} = 50 \text{ 圈}$$

**(b) $t = 5 \text{ s}$ 时的运动参数**

角速度：
$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ rad/s}$$

轮缘速度：
$$v = R\omega = 0.5 \times 10\pi = 15.7 \text{ m/s}$$

切向加速度：
$$a_\tau = R\alpha = 0.5 \times 2\pi = 3.14 \text{ m/s}^2$$

法向加速度：
$$a_n = R\omega^2 = 0.5 \times (10\pi)^2 = 493.5 \text{ m/s}^2$$

全加速度：
$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{9.86 + 243531} \approx 493.5 \text{ m/s}^2$$

===== 6.8 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 6.1**
刚体绕定轴转动，运动方程为 $\varphi = 2t^2$（rad）。求 $t = 2 \text{ s}$ 时的角速度和角加速度。若刚体上一点距转轴 $0.5 \text{ m}$，求该点的速度和加速度。

**习题 6.2**
杆 $AB$ 长 $2 \text{ m}$，$A$ 端沿水平面以匀速 $v_A = 1 \text{ m/s}$ 向右运动，$B$ 端沿铅垂墙面下滑。求当杆与水平面成 $30°$ 时，$B$ 端的速度和杆的角速度。

**习题 6.3**
带轮传动系统中，主动轮直径 $D_1 = 0.2 \text{ m}$，转速 $n_1 = 1500 \text{ r/min}$；从动轮直径 $D_2 = 0.5 \text{ m}$。求从动轮转速和传动比。

**习题 6.4**
飞轮作匀减速转动，初始转速 $n_0 = 1200 \text{ r/min}$，经过 $5 \text{ min}$ 停止。求角加速度和停止前转过的圈数。

==== 提高题 ====

**习题 6.5**
图示机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，带动连杆 $AB$ 和滑块 $B$ 运动，$AB = 2r$。求连杆 $AB$ 的运动性质，并分析滑块 $B$ 的运动。

**习题 6.6**
减速器由三级齿轮传动组成，各级传动比分别为 $i_1 = 4$，$i_2 = 5$，$i_3 = 3$。输入转速 $n_1 = 1440 \text{ r/min}$。求输出转速和总传动比。

**习题 6.7**
证明：刚体平移时，若某瞬时各点速度相同，则各点加速度也相同。

==== 挑战题 ====

**习题 6.8**
图示曲柄滑块机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，连杆 $AB$ 长 $L$，曲柄以匀角速度 $\omega$ 转动。用解析法推导滑块 $B$ 的位移、速度和加速度公式（表示为曲柄转角 $\varphi$ 的函数）。

**习题 6.9**
设计一个测量刚体角速度和角加速度的实验方案。要求：
  * 可同时测量转动和平移运动
  * 给出测量原理、所需仪器和数据处理方法
  * 分析测量误差来源

**习题 6.10**
讨论：当刚体同时具有平移和转动时，如何定义"纯滚动"？推导纯滚动条件，并分析轮子在水平面上纯滚动时轮缘各点的速度分布。

===== 6.9 本章小结 =====

本章核心内容：

  * **刚体平移**：
    - 定义：任一直线始终平行于初始位置
    - 特点：各点轨迹相同（形状相同），同一瞬时各点速度、加速度相同
    - 可简化为一个点的运动来研究

  * **刚体定轴转动**：
    - 转动方程：$\varphi = f(t)$
    - 角速度：$\omega = \dot{\varphi}$
    - 角加速度：$\alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi}$

  * **转动刚体上各点的运动**：
    - 速度：$v = R\omega$
    - 切向加速度：$a_\tau = R\alpha$
    - 法向加速度：$a_n = R\omega^2$
    - 全加速度：$a = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$

  * **传动比**：
    - 齿轮：$i = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{R_2}{R_1}$
    - 带轮：$i = \frac{R_2}{R_1}$

  * **矢量表示**：
    - $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
    - $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$

**学习要点**：
  * 注意区分刚体整体运动参数（角速度、角加速度）与点的运动参数（速度、加速度）
  * 理解平移与转动的本质区别
  * 掌握传动比的计算方法

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