====== 线性代数 (Linear Algebra) ======

线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换以及线性方程组等内容。它是现代科学和工程的基础工具，在物理学、计算机科学、经济学、统计学等领域有广泛应用。

===== 课程简介 =====

本课程系统地介绍线性代数的核心概念和方法，从矩阵和行列式的基础知识出发，逐步深入到向量空间、线性变换、特征值理论以及内积空间等高级主题。

===== 学习目标 =====

完成本课程后，你将能够：
  * 熟练进行矩阵运算和行列式计算
  * 理解向量空间的抽象结构
  * 掌握线性方程组的求解方法
  * 理解线性变换的几何意义
  * 应用特征值和特征向量解决实际问题
  * 在内积空间中进行正交分解
  * 分析和化简二次型

===== 课程目录 =====

  - [[线性代数:第一章_矩阵与行列式|第一章 矩阵与行列式]]
    * 矩阵的概念与运算
    * 行列式的定义与性质
    * 逆矩阵与伴随矩阵
    * 矩阵的秩
    * 分块矩阵

  - [[线性代数:第二章_向量空间|第二章 向量空间]]
    * 向量与向量运算
    * 向量空间的定义
    * 子空间
    * 线性相关与线性无关
    * 基与维数
    * 坐标与坐标变换

  - [[线性代数:第三章_线性方程组|第三章 线性方程组]]
    * 高斯消元法
    * 齐次线性方程组
    * 非齐次线性方程组
    * 解的结构理论
    * 克拉默法则

  - [[线性代数:第四章_线性变换|第四章 线性变换]]
    * 线性变换的定义
    * 线性变换的矩阵表示
    * 核与像
    * 维数公式
    * 同构

  - [[线性代数:第五章_特征值与特征向量|第五章 特征值与特征向量]]
    * 特征值与特征向量的定义
    * 特征多项式
    * 相似矩阵
    * 对角化
    * 约当标准形简介

  - [[线性代数:第六章_内积空间|第六章 内积空间]]
    * 内积的定义
    * 正交性
    * 正交基与正交矩阵
    * 正交投影
    * 格拉姆-施密特正交化
    * 最小二乘法

  - [[线性代数:第七章_二次型|第七章 二次型]]
    * 二次型的定义
    * 标准形与规范形
    * 正交变换法
    * 配方法
    * 正定性判定
    * 惯性定理

===== 预备知识 =====

学习本课程需要具备以下基础知识：
  * 高中数学（特别是代数和平面解析几何）
  * 基本的集合论知识
  * 逻辑推理能力

===== 推荐参考书目 =====

  * 《线性代数》 - 同济大学数学系
  * 《Linear Algebra and Its Applications》 - Gilbert Strang
  * 《Linear Algebra Done Right》 - Sheldon Axler
  * 《高等代数》 - 北京大学数学系

===== 符号说明 =====

  * $\mathbb{R}$：实数集
  * $\mathbb{C}$：复数集
  * $\mathbb{R}^n$：n维实向量空间
  * $\mathbb{C}^n$：n维复向量空间
  * $A^T$：矩阵A的转置
  * $A^{-1}$：矩阵A的逆
  * $\det(A)$ 或 $|A|$：矩阵A的行列式
  * $\text{rank}(A)$：矩阵A的秩
  * $\text{tr}(A)$：矩阵A的迹（对角线元素之和）
  * $\dim(V)$：向量空间V的维数
  * $\text{span}\{v_1, v_2, ..., v_n\}$：由向量生成的子空间
  * $\text{ker}(T)$：线性变换T的核
  * $\text{Im}(T)$：线性变换T的像

===== 学习建议 =====

  - 理解概念比记忆公式更重要
  - 多做练习，尤其是证明题
  - 尝试从几何角度理解代数概念
  - 利用计算机软件（如MATLAB、Python）验证计算结果
  - 建立知识点之间的联系，形成知识网络

===== 课程更新日志 =====

  * 2024年：创建课程框架和首批章节

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