====== 第七章 条件期望与鞅 ======

===== 7.1 引言 =====

鞅论是现代概率论的核心分支之一，由Doob等人在20世纪中叶系统发展起来。鞅描述了"公平游戏"的数学模型，在金融学（有效市场假说）、统计学（序贯分析）、随机过程等领域有广泛应用。

**鞅的核心思想**：给定当前信息，未来期望等于当前值。这与Markov性（未来只依赖于现在）不同，鞅关注的是期望值的条件特征。

===== 7.2 条件期望 =====

==== 7.2.1 关于$\sigma$-代数的条件期望 ====

**定义7.1（条件期望）** 设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是概率空间，$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$ 是子$\sigma$-代数，$X$ 是可积随机变量。$X$ 关于 $\mathcal{G}$ 的**条件期望**是满足以下条件的随机变量 $E[X|\mathcal{G}]$：
  * $E[X|\mathcal{G}]$ 是 $\mathcal{G}$-可测的
  * 对任意 $A \in \mathcal{G}$，$\int_A E[X|\mathcal{G}]dP = \int_A X dP$

**存在唯一性**：由Radon-Nikodym定理保证存在性和在a.s.意义下的唯一性。

==== 7.2.2 条件期望的性质 ====

**定理7.1（基本性质）**

(1) **线性性**：$E[aX + bY|\mathcal{G}] = aE[X|\mathcal{G}] + bE[Y|\mathcal{G}]$

(2) **单调性**：若 $X \leq Y$ a.s.，则 $E[X|\mathcal{G}] \leq E[Y|\mathcal{G}]$ a.s.

(3) **塔性质**（Tower Property）：若 $\mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2$，则
$$E[E[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1] = E[X|\mathcal{G}_1]$$
特别地，$E[E[X|\mathcal{G}]] = E[X]$。

(4) **取性质**：若 $X$ 是 $\mathcal{G}$-可测的，则 $E[XY|\mathcal{G}] = X E[Y|\mathcal{G}]$

(5) **独立性**：若 $X$ 与 $\mathcal{G}$ 独立，则 $E[X|\mathcal{G}] = E[X]$

(6) **Jensen不等式**：若 $\varphi$ 是凸函数，则 $\varphi(E[X|\mathcal{G}]) \leq E[\varphi(X)|\mathcal{G}]$

==== 7.2.3 条件期望的收敛定理 ====

**定理7.2（条件单调收敛定理）** 若 $0 \leq X_n \uparrow X$ a.s.，则 $E[X_n|\mathcal{G}] \uparrow E[X|\mathcal{G}]$ a.s.

**定理7.3（条件Fatou引理）** 若 $X_n \geq 0$，则 $E[\liminf X_n|\mathcal{G}] \leq \liminf E[X_n|\mathcal{G}]$

**定理7.4（条件控制收敛定理）** 若 $|X_n| \leq Y$，$Y$ 可积，$X_n \to X$ a.s.，则 $E[X_n|\mathcal{G}] \to E[X|\mathcal{G}]$ a.s.

==== 7.2.4 关于随机变量的条件期望 ====

**定义7.2** $E[X|Y] = E[X|\sigma(Y)]$，其中 $\sigma(Y)$ 是 $Y$ 生成的$\sigma$-代数。

$E[X|Y]$ 是 $Y$ 的Borel可测函数，可写为 $g(Y)$。

===== 7.3 鞅的定义与基本性质 =====

==== 7.3.1 滤子与适应过程 ====

**定义7.3（滤子）** 概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的**滤子**（Filtration）是单调递增的$\sigma$-代数序列 $\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\}$：
$$\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}$$

**解释**：$\mathcal{F}_n$ 表示到时刻 $n$ 为止可获得的全部信息。

**定义7.4（适应过程）** 随机序列 $\{X_n\}$ 称为**适应**于滤子 $\{\mathcal{F}_n\}$，如果对每个 $n$，$X_n$ 是 $\mathcal{F}_n$-可测的。

==== 7.3.2 鞅的定义 ====

**定义7.5（鞅）** 适应序列 $\{X_n, \mathcal{F}_n, n \geq 0\}$ 称为**鞅**，如果：
  * $E[|X_n|] < \infty$ 对所有 $n$
  * $E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n$ a.s. 对所有 $n$

**定义7.6（下鞅/上鞅）**
  * **下鞅**（Submartingale）：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] \geq X_n$（期望上升）
  * **上鞅**（Supermartingale）：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] \leq X_n$（期望下降）

**直观理解**：鞅 = 公平游戏，下鞅 = 有利游戏，上鞅 = 不利游戏。

==== 7.3.3 基本性质 ====

**定理7.5**

(1) $\{X_n\}$ 是鞅 $\Rightarrow$ $E[X_n] = E[X_0]$ 对所有 $n$

(2) $\{X_n\}$ 是下鞅 $\Rightarrow$ $E[X_n] \geq E[X_0]$，且单调递增

(3) $\{X_n\}$ 是鞅，$\varphi$ 是凸函数，则 $\{\varphi(X_n)\}$ 是下鞅（若可积）

(4) $\{X_n\}$ 是鞅，则 $\{|X_n|\}$ 和 $\{X_n^2\}$（若可积）是下鞅

===== 7.4 鞅的例子 =====

==== 7.4.1 随机游动 =====

**例7.1** 设 $\{\xi_n\}$ 独立，$E[\xi_n] = 0$，$X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$。则 $\{X_n\}$ 是鞅。

**证明**：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[X_n + \xi_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n + E[\xi_{n+1}] = X_n$。

==== 7.4.2 Wald鞅 ====

**例7.2** 设 $\{\xi_n\}$ 独立同分布，矩母函数 $\phi(t) = E[e^{t\xi_1}]$ 存在。定义：
$$M_n = \frac{e^{tS_n}}{\phi(t)^n}, \quad S_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$$
则 $\{M_n\}$ 是鞅。

==== 7.4.3 条件期望鞅 ====

**例7.3** 设 $X$ 可积，$\{\mathcal{F}_n\}$ 是滤子，定义 $X_n = E[X|\mathcal{F}_n]$。则 $\{X_n\}$ 是鞅。

**证明**：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[E[X|\mathcal{F}_{n+1}]|\mathcal{F}_n] = E[X|\mathcal{F}_n] = X_n$。

==== 7.4.4 金融中的应用：贴现股价 ====

**例7.4（Black-Scholes框架）** 在风险中性测度下，贴现股价过程是鞅：
$$M_n = e^{-rn}S_n$$
其中 $r$ 是无风险利率，$S_n$ 是股价。

===== 7.5 停时与可选停时定理 =====

==== 7.5.1 停时的定义 ====

**定义7.7（停时）** 取值于 $\{0, 1, 2, \ldots, +\infty\}$ 的随机变量 $\tau$ 称为关于滤子 $\{\mathcal{F}_n\}$ 的**停时**，如果对每个 $n$，事件 $\{\tau \leq n\} \in \mathcal{F}_n$。

**等价条件**：$\{\tau = n\} \in \mathcal{F}_n$ 对每个 $n$。

**直观**：停时的决策"是否现在停止"只依赖于当前和过去的信息，不依赖于未来。

**例7.5**
  * 首达时：$\tau_a = \inf\{n \geq 0: X_n = a\}$
  * 退出时：$\tau = \inf\{n \geq 0: X_n \notin (a, b)\}$

==== 7.5.2 可选停时定理（Optional Stopping Theorem）====

**定理7.6（Doob可选停时定理）** 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$\tau$ 是停时。在一定条件下：
$$E[X_\tau] = E[X_0]$$

**定理7.7** 可选停时定理成立的条件（满足其一即可）：

(1) $\tau$ 有界（存在 $N$ 使 $\tau \leq N$ a.s.）

(2) $E[\tau] < \infty$ 且 $|X_{n+1} - X_n| \leq C$（有界增量）

(3) $|X_{n \wedge \tau}| \leq Y$ 对某个可积随机变量 $Y$

==== 7.5.3 应用：赌徒输光问题 =====

**例7.6** 简单随机游动，$p = q = 1/2$，$X_0 = i$，$0 < i < N$。求被0吸收的概率。

设 $\tau = \inf\{n: X_n = 0 \text{ 或 } N\}$。由可选停时定理：
$$E[X_\tau] = E[X_0] = i$$

又 $E[X_\tau] = 0 \cdot P(X_\tau = 0) + N \cdot P(X_\tau = N)$，故：
$$P(X_\tau = N) = \frac{i}{N}, \quad P(X_\tau = 0) = \frac{N-i}{N}$$

===== 7.6 鞅变换与Doob分解 =====

==== 7.6.1 可料序列 ====

**定义7.8（可料序列）** 序列 $\{H_n\}$ 称为**可料**的，如果 $H_n$ 是 $\mathcal{F}_{n-1}$-可测的（$H_0$ 为常数）。

==== 7.6.2 鞅变换 ====

**定义7.9（鞅变换）** 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$\{H_n\}$ 可料且有界，定义：
$$(H \cdot X)_n = \sum_{k=1}^n H_k(X_k - X_{k-1})$$
称为**鞅变换**或**离散随机积分**。

**定理7.8** $\{(H \cdot X)_n\}$ 是鞅。

**金融解释**：$X_n$ 是股价，$H_n$ 是基于前 $n-1$ 期信息的持仓量，$(H \cdot X)_n$ 是累积收益。鞅变换表示"无法战胜市场"。

===== 7.7 连续时间鞅 =====

**定义7.10（连续时间鞅）** 适应过程 $\{X(t), \mathcal{F}_t, t \geq 0\}$ 称为**鞅**，如果：
  * $E[|X(t)|] < \infty$ 对所有 $t$
  * $E[X(t)|\mathcal{F}_s] = X(s)$ a.s. 对 $s < t$

**例7.7（布朗运动）** 标准布朗运动 $\{B(t)\}$ 是鞅。

**证明**：$E[B(t)|\mathcal{F}_s] = E[B(s) + (B(t) - B(s))|\mathcal{F}_s] = B(s) + 0 = B(s)$。

**例7.8** $B(t)^2 - t$ 是鞅。

===== 7.8 本章例题详解 =====

**例题1** 证明：若 $\{X_n\}$ 是下鞅，则存在唯一的分解 $X_n = M_n + A_n$，其中 $\{M_n\}$ 是鞅，$\{A_n\}$ 是可料递增过程，$A_0 = 0$。

**证明（Doob分解）**：令 $A_0 = 0$，$A_{n+1} = A_n + E[X_{n+1} - X_n|\mathcal{F}_n]$，$M_n = X_n - A_n$。

验证：$M_n$ 是鞅，$A_n$ 可料递增。

**例题2** 利用Wald鞅求简单随机游动首达时的分布。

**解**：设 $\phi(t) = pe^t + qe^{-t}$，$M_n = e^{tS_n}/\phi(t)^n$ 是鞅。

对首达时 $\tau$ 应用可选停时（需验证条件），得：
$$E\left[\frac{e^{tS_\tau}}{\phi(t)^\tau}\right] = 1$$

由此可导出 $\tau$ 的生成函数。

===== 7.9 本章习题 =====

**习题7.1** 证明条件期望的性质：(1) 塔性质 (2) 取性质。

**习题7.2** 设 $\{X_n\}$ 是鞅，证明 $E[X_n|\mathcal{F}_m] = X_m$ 对 $m < n$。

**习题7.3** 设 $\xi_n$ 独立，$P(\xi_n = 1) = P(\xi_n = -1) = 1/2$，$X_n = \prod_{k=1}^n \xi_k$。证明 $\{X_n\}$ 是鞅。

**习题7.4** 简单对称随机游动，$X_0 = 0$。求 $E[\tau]$，其中 $\tau = \inf\{n: X_n = 1\}$。

**习题7.5** 设 $\{X_n\}$ 是下鞅，$\varphi$ 是增凸函数。证明 $\{\varphi(X_n)\}$ 是下鞅（若可积）。

**习题7.6** 证明：连续时间过程 $X(t)$ 是鞅当且仅当对所有停时 $\tau$，$E[X(t \wedge \tau)] = E[X(0)]$。

**习题7.7** 设 $B(t)$ 是标准布朗运动，$M(t) = \exp(\theta B(t) - \theta^2 t/2)$。证明 $\{M(t)\}$ 是鞅。

**习题7.8** 设 $\tau$ 是停时，证明 $\tau \wedge n$ 也是停时，且对鞅 $\{X_n\}$，$E[X_{\tau \wedge n}] = E[X_0]$。

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