====== 第九章 布朗运动 ======

===== 9.1 引言 =====

布朗运动（Brownian Motion）是随机过程理论中最重要的过程之一，最初由Robert Brown在1827年观察花粉颗粒在水中的无规则运动时发现。1905年Einstein给出了其物理解释，1923年Norbert Wiener建立了严格的数学理论，因此也称为**维纳过程**（Wiener Process）。

布朗运动是连续时间随机过程的基石，是随机微积分的基础，在金融数学（Black-Scholes模型）、物理（扩散过程）、生物（群体遗传）等领域有核心应用。

===== 9.2 布朗运动的定义 =====

**定义9.1（标准布朗运动）** 随机过程 $\{B(t), t \geq 0\}$ 称为**标准布朗运动**，如果满足：

  * **(i)** $B(0) = 0$ a.s.
  * **(ii)** 具有**独立增量**：对 $0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_n$，增量 $B(t_2)-B(t_1), \ldots, B(t_n)-B(t_{n-1})$ 相互独立
  * **(iii)** 具有**平稳增量**：对 $s, t > 0$，$B(t+s) - B(s) \sim N(0, t)$
  * **(iv)** **样本路径连续**：$B(t)$ 关于 $t$ 几乎必然连续

===== 9.3 布朗运动的存在性与构造 =====

==== 9.3.1 Wiener定理 ====

**定理9.1（Wiener）** 标准布朗运动存在。

**证明概要**（Levy构造）：在 $[0, 1]$ 上，通过Schauder函数展开构造：
$$B(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{2^n-1} Z_{n,k} \Delta_{n,k}(t)$$

其中 $Z_{n,k} \sim N(0, 1)$ i.i.d.，$\Delta_{n,k}(t)$ 是三角形帐篷函数。

==== 9.3.2 尺度性质 ====

**定理9.2（尺度性质）** 设 $\{B(t)\}$ 是标准布朗运动，则：

(1) **自相似性**：对任意 $c > 0$，$\{c^{-1/2}B(ct)\}$ 也是标准布朗运动

(2) **时间反演**：$\{tB(1/t)\}$（定义 $0 \cdot \infty = 0$）是标准布朗运动

(3) **对称性**：$\{-B(t)\}$ 是标准布朗运动

===== 9.4 布朗运动的数字特征 =====

**均值函数**：
$$E[B(t)] = 0$$

**协方差函数**：对 $s, t \geq 0$，
$$Cov(B(s), B(t)) = \min(s, t)$$

**证明**：设 $s \leq t$，
$$\begin{aligned}
Cov(B(s), B(t)) &= E[B(s)B(t)] = E[B(s)(B(s) + B(t) - B(s))] \\
&= E[B(s)^2] + E[B(s)(B(t) - B(s))] = s + 0 = s = \min(s, t)
\end{aligned}$$

===== 9.5 二次变差 =====

==== 9.5.1 二次变差的定义 ====

**定义9.2（二次变差）** 设 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t\}$ 是 $[0, t]$ 的分割，$\|\Pi\| = \max_i (t_{i+1} - t_i)$。布朗运动的**二次变差**定义为：
$$[B]_t = \lim_{\|\Pi\| \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2$$

==== 9.5.2 二次变差的性质 ====

**定理9.3** 布朗运动的二次变差：
$$[B]_t = t \quad \text{a.s.}$$

**证明**：计算期望和方差。

设 $\Delta B_i = B(t_{i+1}) - B(t_i)$，$\Delta t_i = t_{i+1} - t_i$。

**期望**：
$$E\left[\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta B_i)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t_i = t$$

**方差**：
$$Var((\Delta B_i)^2) = E[(\Delta B_i)^4] - (E[(\Delta B_i)^2])^2 = 3(\Delta t_i)^2 - (\Delta t_i)^2 = 2(\Delta t_i)^2$$

$$Var\left(\sum (\Delta B_i)^2\right) = \sum 2(\Delta t_i)^2 \leq 2\|\Pi\| \cdot t \to 0$$

由 $L^2$ 收敛得结论。

**重要推论**：布朗运动样本路径的**全变差**（Total Variation）几乎必然无限！

===== 9.6 布朗运动的不可微性 =====

**定理9.4** 布朗运动的样本路径几乎必然处处不可微。

**证明思路**：利用二次变差为 $t$ 而非0。若在某点可微，则局部变化线性，二次变差应为0，矛盾。

**推论**：经典的Newton-Leibniz微积分不能直接应用于布朗运动，需要发展**随机微积分**（Ito积分）。

===== 9.7 布朗运动的最大值与首达时 =====

==== 9.7.1 最大值分布 ====

**定理9.5（反射原理）** 设 $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} B(s)$，则对 $a > 0$：
$$P(M(t) \geq a) = 2P(B(t) \geq a) = 2(1 - \Phi(a/\sqrt{t}))$$

其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。

**证明**：利用对称性（反射原理）。
$$\begin{aligned}
P(M(t) \geq a) &= P(M(t) \geq a, B(t) \geq a) + P(M(t) \geq a, B(t) < a) \\
&= P(B(t) \geq a) + P(B(t) \geq a) = 2P(B(t) \geq a)
\end{aligned}$$

第二个等号由反射对称性得到。

==== 9.7.2 首达时 ====

**定义9.3（首达时）** 对 $a \in \mathbb{R}$，定义：
$$T_a = \inf\{t \geq 0: B(t) = a\}$$

**定理9.6** 
$$P(T_a \leq t) = 2(1 - \Phi(|a|/\sqrt{t}))$$

**推论**：$T_a < \infty$ a.s.，但 $E[T_a] = \infty$。

==== 9.7.3 反正弦律 ====

**定理9.7（反正弦律）** 设 $A(t) = \int_0^t 1_{\{B(s) > 0\}}ds$ 是 $[0, t]$ 中布朗运动为正的时间比例，则：
$$P(A(t) \leq x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{\frac{x}{t}}, \quad 0 \leq x \leq t$$

===== 9.8 多维布朗运动 =====

**定义9.4** $d$ 维**标准布朗运动**是 $B(t) = (B_1(t), \ldots, B_d(t))$，其中分量是独立的标准布朗运动。

**性质**：
  * $E[B(t)] = \mathbf{0}$
  * $Cov(B_i(s), B_j(t)) = \delta_{ij}\min(s, t)$
  * 具有旋转不变性：对任意正交矩阵 $\mathbf{Q}$，$\{\mathbf{Q}B(t)\}$ 也是标准布朗运动

===== 9.9 几何布朗运动 ======

**定义9.5（几何布朗运动）** 
$$S(t) = S(0) \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B(t)\right)$$

**应用**：Black-Scholes期权定价模型中，股价被建模为几何布朗运动。

**性质**：
  * $\log S(t)$ 服从正态分布
  * $E[S(t)] = S(0)e^{\mu t}$
  * 满足随机微分方程：$dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)dB(t)$

===== 9.10 布朗桥 =====

**定义9.6（布朗桥）** 
$$W^0(t) = B(t) - tB(1), \quad 0 \leq t \leq 1$$

**性质**：
  * $W^0(0) = W^0(1) = 0$
  * 是高斯过程，$E[W^0(t)] = 0$，$Cov(W^0(s), W^0(t)) = s(1-t)$ 对 $s \leq t$

**应用**：统计中的Kolmogorov-Smirnov检验。

===== 9.11 本章例题详解 =====

**例题1** 求 $P(B(1) > 0, B(2) > 0)$。

**解**：$(B(1), B(2))$ 服从二元正态，$Var(B(1)) = 1$，$Var(B(2)) = 2$，$Cov(B(1), B(2)) = 1$。

相关系数 $\rho = 1/\sqrt{2}$。

$$P(B(1) > 0, B(2) > 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi}\arcsin\rho = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3}{8}$$

**例题2** 证明 $\{B(t)^2 - t\}$ 是鞅。

**解**：对 $s < t$，
$$\begin{aligned}
E[B(t)^2 - t|\mathcal{F}_s] &= E[(B(s) + B(t) - B(s))^2 - t|\mathcal{F}_s] \\
&= B(s)^2 + 2B(s)E[B(t)-B(s)] + E[(B(t)-B(s))^2] - t \\
&= B(s)^2 + 0 + (t-s) - t = B(s)^2 - s
\end{aligned}$$

===== 9.12 本章习题 =====

**习题9.1** 证明布朗运动的有限维分布是多维正态分布。

**习题9.2** 计算 $E[B(s)B(t)^2]$ 和 $E[B(s)^2B(t)^2]$ 对 $s < t$。

**习题9.3** 证明 $\{B(t)^3 - 3tB(t)\}$ 是鞅。

**习题9.4** 设 $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} B(s)$，求 $E[M(t)]$ 和 $Var(M(t))$。

**习题9.5** 证明 $T_a$ 的Laplace变换：$E[e^{-\lambda T_a}] = e^{-|a|\sqrt{2\lambda}}$。

**习题9.6** 设 $B(t)$ 是布朗运动，证明 $X(t) = e^{-t}B(e^{2t})$ 是Ornstein-Uhlenbeck过程。

**习题9.7** 证明几何布朗运动的二次变差 $[\log S]_t = \sigma^2 t$。

**习题9.8** 利用反射原理求 $P(B(t) \in dx, M(t) \in dy)$ 的联合密度，$y > 0$，$x \leq y$。

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