====== 随机过程 ======

===== 课程概述 =====

**随机过程**（Stochastic Process）是概率论的重要分支，研究随时间演变的随机现象。它不仅是现代概率论的核心内容，也是金融工程、信号处理、排队论、生物统计等领域的重要数学工具。

本课程系统介绍随机过程的基本理论与方法，涵盖泊松过程、马尔可夫链、鞅论、布朗运动、随机微分方程等核心内容，并探讨其在金融与工程中的应用。

===== 课程目标 =====

完成本课程学习后，学生将能够：

  * 理解随机过程的数学定义与分类方法
  * 掌握泊松过程、更新过程的基本性质与应用
  * 熟练运用马尔可夫链分析随机系统的演化规律
  * 理解鞅论的基本概念及其在概率论中的重要作用
  * 掌握布朗运动的性质与随机积分理论
  * 建立随机微分方程并求解常见问题
  * 应用随机过程理论解决金融与工程实际问题

===== 先修课程 =====

学习本课程需要具备以下数学基础：

  * **概率论**：概率空间、随机变量、分布函数、期望与方差
  * **数理统计**：参数估计、假设检验
  * **数学分析**：极限理论、级数、微积分
  * **线性代数**：矩阵运算、特征值与特征向量
  * **常微分方程**：基本解法、存在唯一性定理

===== 课程结构 =====

本课程共分为四大部分，十五章：

==== 第一部分：基础理论 ====

  - [[第一章_随机过程的基本概念]] - 定义、有限维分布、数字特征、分类
  - [[第二章_泊松过程]] - 定义与性质、到达时间间隔、等待时间、复合泊松过程
  - [[第三章_更新过程]] - 更新函数、更新方程、极限定理

==== 第二部分：马尔可夫过程 ====

  - [[第四章_离散时间马尔可夫链]] - 转移概率、Chapman-Kolmogorov方程、遍历性
  - [[第五章_状态的分类与极限分布]] - 常返与非常返、周期、平稳分布
  - [[第六章_连续时间马尔可夫链]] - 转移速率、Kolmogorov方程、生灭过程

==== 第三部分：鞅论 ====

  - [[第七章_条件期望与鞅]] - 条件期望、鞅的定义、停时
  - [[第八章_鞅的收敛定理]] - Doob分解、上穿不等式、鞅收敛

==== 第四部分：布朗运动与随机积分 ====

  - [[第九章_布朗运动]] - 定义与性质、二次变差、最大值分布
  - [[第十章_随机积分]] - Ito积分、Ito公式、随机微分方程
  - [[第十一章_随机微分方程]] - 存在唯一性、强解与弱解、线性SDE

==== 第五部分：平稳过程与时间序列 ====

  - [[第十二章_平稳过程]] - 宽平稳、谱分解、遍历性
  - [[第十三章_时间序列分析]] - ARMA模型、预测、估计

==== 第六部分：应用 ====

  - [[第十四章_随机过程在金融中的应用]] - Black-Scholes模型、期权定价
  - [[第十五章_随机过程在工程中的应用]] - 排队论、可靠性、信号处理

===== 主要参考书目 =====

  * **Ross, S. M.** (2014). Introduction to Probability Models (11th ed.). Academic Press.
  * **Karlin, S. & Taylor, H. M.** (1975). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press.
  * **Øksendal, B.** (2003). Stochastic Differential Equations (6th ed.). Springer.
  * **Shreve, S. E.** (2004). Stochastic Calculus for Finance I & II. Springer.
  * **何书元** (2008). 随机过程. 北京大学出版社.
  * **张波、商豪** (2013). 应用随机过程. 清华大学出版社.
  * **林元烈** (2002). 应用随机过程. 清华大学出版社.

===== 学习建议 =====

  * **理论联系实际**：每个概念都要思考其实际背景与应用场景
  * **重视推导过程**：自己动手推导重要定理，加深理解
  * **多做习题**：通过习题巩固所学知识，培养解决问题的能力
  * **编程实践**：使用Python/MATLAB进行数值模拟，直观理解随机过程
  * **阅读文献**：关注随机过程在金融、工程领域的最新应用

===== 相关资源 =====

  * 概率论基础：[[概率论:start]]
  * 数学分析：[[数学分析:start]]
  * 线性代数：[[线性代数:start]]
  * 常微分方程：[[常微分方程:start]]

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**最后更新**：2024年

**版权所有**：本课程内容仅供学习交流使用