偏微分方程

偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDE) 是数学中最重要的分支之一，它研究包含多元未知函数及其偏导数的方程。偏微分方程在物理学、工程学、经济学、生物学等众多领域都有广泛应用。

本课程系统地介绍偏微分方程的基本理论、求解方法和应用。课程内容包括：

• 偏微分方程的基本概念和分类
• 经典方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）的理论与求解
• 各种求解方法（分离变量法、积分变换法、格林函数法等）
• Sobolev空间理论与弱解
• 非线性偏微分方程简介

1. 第一章 偏微分方程的基本概念
   • 偏微分方程的定义与例子
   • 阶、线性与非线性
   • 定解条件：初值条件与边值条件
   • 定解问题的适定性

1. 第二章 一阶偏微分方程
   • 线性一阶偏微分方程
   • 特征线法
   • Cauchy问题
   • 首次积分

1. 第三章 波动方程
   • 一维波动方程的推导
   • 达朗贝尔公式
   • 能量不等式与唯一性
   • 高维波动方程

1. 第四章 热传导方程
   • 热传导方程的推导
   • 基本解与热核
   • 最大值原理
   • 唯一性与稳定性

1. 第五章 拉普拉斯方程
   • 调和函数
   • 平均值性质
   • 极值原理
   • Dirichlet问题

1. 第六章 分离变量法
   • Sturm-Liouville问题
   • 正交函数展开
   • 矩形区域与圆形区域问题
   • 非齐次问题的处理

1. 第七章 傅里叶变换法
   • 傅里叶变换回顾
   • 广义函数初步
   • 基本解与卷积
   • 应用实例

1. 第八章 拉普拉斯变换法
   • 拉普拉斯变换回顾
   • 半无限区域问题
   • 初边值问题
   • 延迟方程

1. 第九章 格林函数法
   • 格林函数的定义与性质
   • 位势理论
   • 各种边界条件下的格林函数
   • 镜像法

1. 第十章 特征线法与守恒律
   • 一阶守恒律
   • 特征线方法
   • 激波与弱解
   • 熵条件

1. 第十一章 Sobolev空间
   • 弱导数
   • Sobolev空间的定义与性质
   • 嵌入定理
   • 迹定理

1. 第十二章 变分原理与弱解
   • 弱解的定义
   • 变分原理
   • Lax-Milgram定理
   • 存在性与唯一性

1. 第十三章 正则性理论
   • 内部正则性
   • 边界正则性
   • Schauder估计
   • L^p估计

1. 第十四章 高阶偏微分方程
   • 双调和方程
   • Plate方程
   • 高阶椭圆方程
   • 高阶抛物方程

1. 第十五章 非线性偏微分方程
   • 守恒律方程组
   • KdV方程
   • 孤立子
   • 非线性Schrodinger方程

学习本课程需要以下数学基础：

• 数学分析：多元微积分、级数、一致收敛
• 线性代数：矩阵、特征值、内积空间
• 常微分方程：初值问题、边值问题、基本解
• 复变函数：解析函数、留数定理
• 泛函分析（可选）：Banach空间、Hilbert空间

• Lawrence C. Evans, “Partial Differential Equations”, AMS, 2010.
• Fritz John, “Partial Differential Equations”, Springer, 1991.
• Walter A. Strauss, “Partial Differential Equations: An Introduction”, Wiley, 2007.
• 谷超豪等，《数学物理方程》，高等教育出版社。
• 陈恕行，《现代偏微分方程导论》，科学出版社。

完成本课程后，学生应能够：

• 理解偏微分方程的基本概念和分类
• 掌握经典方程的性质和求解方法
• 熟练运用各种解析方法求解定解问题
• 理解弱解理论和Sobolev空间
• 了解非线性偏微分方程的基本理论

如有问题或建议，欢迎通过以下方式联系：

• 邮箱：pde_course@example.edu
• 答疑时间：每周三下午 2:00-4:00

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最后更新时间：2024年

版本：v1.0