定义7.1.1（傅里叶变换）
设 $f \in L^1(\mathbb{R})$，其傅里叶变换定义为： $$\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}[f](\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$$
逆傅里叶变换： $$f(x) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$$
定义7.1.2（卷积）
$$(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y)g(y)dy$$
定理7.2.1（基本性质）
设 $\hat{f} = \mathcal{F}[f]$，$\hat{g} = \mathcal{F}[g]$：
| 性质 | 时域 | 频域 | ||
| —— | —— | —— | ||
| 线性 | $af + bg$ | $a\hat{f} + b\hat{g}$ | ||
| 平移 | $f(x-a)$ | $e | {-ia\xi}\hat{f}(\xi)$ | |
|---|---|---|---|---|
| 调制 | $e | {iax}f(x)$ | $\hat{f}(\xi-a)$ | |
| 尺度 | $f(ax)$ | $\frac{1}{ | a | }\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)$ |
| 微分 | $f'(x)$ | $i\xi\hat{f}(\xi)$ | ||
| 高阶导 | $f | {(n)}(x)$ | $(i\xi) | n\hat{f}(\xi)$ |
| 卷积 | $f * g$ | $\hat{f} \cdot \hat{g}$ | ||
| 乘积 | $f \cdot g$ | $\frac{1}{2\pi}\hat{f} * \hat{g}$ |
定理7.2.2（Parseval等式）
$$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi$$
例7.1：$f(x) = e^{-a|x|}$（$a > 0$） $$\hat{f}(\xi) = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$$
例7.2：Gaussian函数 $f(x) = e^{-x^2/2}$ $$\hat{f}(\xi) = \sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}$$
例7.3：矩形函数 $f(x) = \chi_{[-a,a]}(x)$ $$\hat{f}(\xi) = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$$
例7.4：Delta函数 $\delta(x)$ $$\hat{\delta}(\xi) = 1$$
例7.5：常数函数 $f(x) = 1$ $$\hat{f}(\xi) = 2\pi\delta(\xi)$$
Cauchy问题：$u_t = a^2 u_{xx}$，$x \in \mathbb{R}$，$t > 0$
初始条件：$u(x,0) = \varphi(x)$
求解：对空间变量作Fourier变换：$\hat{u}(\xi,t) = \int u(x,t)e^{-i\xi x}dx$
方程变为：$\hat{u}_t = -a^2\xi^2\hat{u}$
解：$\hat{u}(\xi,t) = \hat{\varphi}(\xi)e^{-a^2\xi^2 t}$
逆变换：利用卷积定理，$e^{-a^2\xi^2 t}$ 的逆变换为 $\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}$
热核（基本解）： $$K(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4a^2t}\right)$$
解的表达式： $$u(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} K(x-y,t)\varphi(y)dy = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4a^2t}\right)\varphi(y)dy$$
性质：
Cauchy问题：$u_{tt} = a^2 u_{xx}$
初始条件：$u(x,0) = \varphi(x)$，$u_t(x,0) = \psi(x)$
Fourier变换后：$\hat{u}_{tt} + a^2\xi^2\hat{u} = 0$
通解：$\hat{u}(\xi,t) = A(\xi)\cos(a\xi t) + B(\xi)\sin(a\xi t)$
由初始条件：$A = \hat{\varphi}$，$B = \frac{\hat{\psi}}{a\xi}$
逆变换：
d'Alembert公式（重新得到）： $$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(y)dy$$
定义7.6.1（n维Fourier变换）
$$\hat{f}(\boldsymbol{\xi}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x})e^{-i\mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}}d\mathbf{x}$$
$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\boldsymbol{\xi})e^{i\mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}}d\boldsymbol{\xi}$$
热方程的基本解（n维）： $$K(\mathbf{x},t) = \frac{1}{(4\pi a^2 t)^{n/2}}\exp\left(-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4a^2t}\right)$$
定义7.7.1（离散傅里叶变换DFT）
对序列 $\{x_n\}_{n=0}^{N-1}$： $$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2\pi kn}{N}}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$
快速傅里叶变换（FFT）：计算复杂度 $O(N\log N)$ 而非 $O(N^2)$。
习题7.1：计算 $f(x) = e^{-|x|}\cos x$ 的Fourier变换。
习题7.2：用Fourier变换求解 $u_{xx} + u_{yy} = 0$（$y > 0$），$u(x,0) = \frac{1}{1+x^2}$，$u$ 有界。
习题7.3：证明热核满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} K(x,t)dx = 1$。
习题7.4：用Fourier变换求解 $u_t + u_x = 0$，$u(x,0) = \varphi(x)$，解释结果的物理意义。
习题7.5：设 $\hat{f}(\xi) = e^{-|\xi|}$，求 $f(x)$。
习题7.6：证明Plancherel定理：$\int |f|^2 = \frac{1}{2\pi}\int |\hat{f}|^2$。