定义5.1.1（Laplace方程）
$$\Delta u = 0, \quad \text{或} \quad \nabla^2 u = 0$$
其中 $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$ 是Laplace算子。
定义5.1.2（Poisson方程）
$$-\Delta u = f$$
其中 $f$ 为已知函数。
定义5.1.2（调和函数）
满足Laplace方程的 $C^2$ 函数称为调和函数（Harmonic Function）。
定理5.2.1（弱极值原理）
设 $u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$，$\Omega$ 为有界区域。
定理5.2.2（强极值原理）
若 $u$ 在 $\Omega$ 内下调和且在内部点达到最大值，则 $u$ 为常数。
推论5.2.3（解的唯一性）
Poisson方程的Dirichlet问题至多有一个解。
定理5.3.1（平均值性质）
设 $u$ 在 $\Omega$ 内调和，$B_r(x) \subset \Omega$。则：
球面平均：$u(x) = \frac{1}{|\partial B_r|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)dS_y$
球体平均：$u(x) = \frac{1}{|B_r|}\int_{B_r(x)} u(y)dy$
定理5.3.2（逆定理）
若 $u \in C(\Omega)$ 满足平均值性质，则 $u$ 调和。
定义5.4.1（基本解）
$$\Gamma(x) = \begin{cases}\frac{1}{n(2-n)\omega_n}|x|^{2-n}, & n \geq 3
\frac{1}{2\pi}\ln|x|, & n = 2\end{cases}$$
其中 $\omega_n$ 是 $n$ 维单位球体积。
满足：$-\Delta \Gamma = \delta$（Dirac函数）
表示公式： $$u(x) = \int_{\Omega}\Gamma(x-y)f(y)dy + \int_{\partial\Omega}\left[\Gamma(x-y)\frac{\partial u}{\partial n} - u(y)\frac{\partial\Gamma}{\partial n}(x-y)\right]dS_y$$
定义5.4.2（Green函数）
$$G(x, y) = \Gamma(x-y) + g(x, y)$$
其中 $g(x, \cdot)$ 满足：$\Delta_y g = 0$ 在 $\Omega$ 内，$g(x, y) = -\Gamma(x-y)$ 在 $\partial\Omega$ 上。
性质：$G(x,y) = G(y,x)$，$G|_{\partial\Omega} = 0$
Dirichlet问题解： $$u(x) = \int_\Omega G(x,y)f(y)dy - \int_{\partial\Omega}\frac{\partial G}{\partial n_y}(x,y)\varphi(y)dS_y$$
5.5.1 球上的Green函数（n≥3）
设 $B_R$ 为以原点为中心、半径为 $R$ 的球。对 $x \neq 0$，定义镜像点 $x^* = \frac{R^2}{|x|^2}x$。
$$G(x, y) = \frac{1}{n(2-n)\omega_n}\left[|x-y|^{2-n} - \left(\frac{|x|}{R}\right)^{2-n}|x^*-y|^{2-n}\right]$$
Poisson公式： $$u(x) = \frac{R^2-|x|^2}{n\omega_n R}\int_{\partial B_R}\frac{\varphi(y)}{|x-y|^n}dS_y$$
5.5.2 半空间的Green函数
设 $\mathbb{R}^n_+ = \{x_n > 0\}$，镜像点为 $x^* = (x_1, \ldots, x_{n-1}, -x_n)$。
$$G(x, y) = \Gamma(x-y) - \Gamma(x^*-y)$$
定理5.6.1（Harnack不等式）
设 $u \geq 0$ 在 $B_R$ 内调和，则对 $x \in B_r$（$r < R$）： $$\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}}u(0) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(0)$$
推论：非负调和函数在紧子集上一致有界。
定理5.7.1（Weyl引理）
调和函数是光滑的（$C^\infty$），实际上是实解析的。
定理5.7.2（内部估计）
设 $u$ 在 $B_R$ 内调和，则对任意多指标 $\alpha$： $$|D^\alpha u(0)| \leq \frac{n^{|\alpha|}e^{|\alpha|-1}|\alpha|!}{R^{|\alpha|}}\max_{B_R}|u|$$
习题5.1：验证 $u(x,y) = e^x\sin y$ 是调和函数。
习题5.2：用极值原理证明：若 $u$ 在有界区域 $\Omega$ 内调和，在 $\bar{\Omega}$ 连续，则 $\max_{\bar{\Omega}}|u| = \max_{\partial\Omega}|u|$。
习题5.3：求单位圆上的Dirichlet问题的解，边界条件为 $u(1,\theta) = \sin^2\theta$。
习题5.4：设 $u$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上有上界且下调和，证明 $u$ 为常数（Liouville定理）。
习题5.5：用Green函数法求解半空间 $x > 0$ 上的Dirichlet问题。
习题5.6：证明Harnack不等式当 $n = 2$ 时的形式。